Aufgabe 2

Aufgabenstellung

Grafik einer geschwungenen Struktur mit Bezug zu städtischen Gebäuden und einem Diagramm.

Abbildung 1 zeigt das Eingangsgebäude zu einer U-Bahn-Haltestelle. Auf dem Foto schaut man frontal auf eine ebene Glasfläche, die sich unter dem geschwungenen Dach befindet.
Eine Längeneinheit in dem eingezeichneten Koordinatensystem entspricht $1\,\text{m}$ .
Der höchste Punkt der Dachoberkante befindet sich in diesem Koordinatensystem bei $H (0 \mid5,0)$ und der tiefste Punkt bei $Q (7,3 \mid 3,3)$ . Auch die Punkte $D ( -4 \mid 4)$ und $E ( -2 \mid 4,75)$ liegen auf der Dachoberkante. Der Punkt $A$ liegt an der Stelle $x=2,7$ .
Die Profillinie der Dachoberkante hat eine geschwungene Form, die im Folgenden durch eine ganzrationale Funktion modelliert werden soll.

(1)

Die Profillinie hat im Bereich $-4 \leq x \leq 4$ näherungsweise die Form einer Parabel $2.$ Grades.
Bestimme eine Gleichung dieser Parabel mit dem Hochpunkt $H$ , die durch den Punkt $D$ verläuft.
[Zur Kontrolle: $p(x)= - \dfrac{1}{16} \cdot x^2 + 5$ .]

(2P)

$\,$

(2)

Begründe anhand der Abbildung 1, warum eine ganzrationale Funktion, die zur Modellierung der gesamten Profillinie der Dachoberkante geeignet sein könnte, mindestens $3.$ Grades sein muss.

(3P)

$\,$

(3)

Gib die allgemeine Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion $3.$ Grades an.
Ermittle aus den Informationen über die Punkte $H$ und $Q$ vier Bedingungen, mit denen alle Koeffizienten des Funktionsterms bestimmt werden können.
Gib die Funktionsgleichung an.

(9P)

Um den Verlauf der gesamten Profillinie der Dachoberkante im Bereich von $-4,5 \leq x \leq 10,5$ zu modellieren, wird im Folgenden die Parabelgleichung aus a) (1) erweitert auf eine ganzrationale Funktion $f_a$ mit $f_a(x)=a \cdot x^4 - \dfrac {1}{16} \cdot x^2 + 5$ , $a\gt 0$ .

$\,$

(1)

Begründe, warum durch diese Erweiterung die bei der Parabel vorhandene Symmetrie erhalten bleibt.

(2P)

$\,$

(2)

Abbildung 2 zeigt die Graphen von $f_a$ für $a=0,0002$ , $a=0,0004$ und $a=0,0006$ .
Gib an, welcher Parameterwert zu welchem Graphen gehört.

Diagramm mit mehreren Kurven in verschiedenen Farben auf einem Koordinatensystem.

Abb. 2

(3P)

$\,$

(3)

Bestimme den Tiefpunkt $T_a$ des Graphen von $f_a$ (mit $x\geq 0$ ) in Abhängigkeit von $a$ .
[Kontrollergebnis: $T_a \left(\sqrt{\dfrac{1}{32 \cdot a}} \bigg| 5- \dfrac{1}{32^2 \cdot a} \right)$ ]

(4P)

$\,$

(4)

Ermittle in Abhängigkeit von $a$ die Anzahl der Nullstellen, die der Graph von $f_a$ für $x\geq0$ besitzt.

(3P)

$\,$

(5)

Damit der Graph von $f_a$ ein Modell für die Dachoberkante darstellt, wird gefordert, dass im Bereich $x \geq 0$ der $y$ -Wert des Tiefpunkts $T_a$ mindestens $3,3$ betragen und der $x$ -Wert des Wendepunkts mindestens $4$ sein soll.
Bestimme den Bereich für $a$ , in welchem beide Bedingungen erfüllt sind.

(5P)

Im Folgenden wird die Profillinie der Dachoberkante im Bereich $-4,5 \leq x \leq 10,5$ durch den Graphen der auf $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x) = 0,0006 \cdot x^4 - \dfrac{1}{16} \cdot x^2 +5$ modelliert.
Das Eingangsgebäude ist mit Glas verkleidet. Die eingezeichnete Oberkante der Glasfläche wird im Koordinatensystem von Abbildung 1 im Bereich von $-4 \leq x \leq 7,3$ durch die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h$ mit $h(x) = 0,0006 \cdot x^4 - \dfrac{1}{16} \cdot x^2 + 4,5$ modelliert.

Gehe vereinfachend davon aus, dass es sich bei der in Abbildung 1 umrahmten Glasfläche um eine durchgehende ebene Fläche handelt, die nicht durch Rahmen und Streben unterbrochen wird.

$\,$

(1)

Berechne den Inhalt der Glasfläche von der $y$ -Achse bis zur eingezeichneten Kante durch den Punkt $Q$ in der Ansicht aus Abbildung 1.

(4P)

$\,$

(2)

Beschreibe eine mögliche Lösungsidee zur Bestimmung des Inhalts der umrahmten Glasfläche links von der $y$ -Achse. Gib dabei alle nötigen Ansätze an, die Berechnung konkreter Werte wird hingegen nicht erwartet.

(5P)

$\,$

(3)

Begründe, dass die Fläche zwischen der Oberkante der Glasfläche und der Dachoberkante im Bereich von $-4 \leq x \leq 7,3$ inhaltsgleich ist zur Fläche eines Rechtecks der Länge $11,3$ und der Höhe $0,5$ .

(4P)

Oberhalb des Daches sind geradlinig verlaufende Stahlseile angebracht. Gehe vereinfachend davon aus, dass das Stahlseil von $A (2,7 \mid f (2,7))$ nach $P(6,7 \mid 7,2)$ verläuft.
Das Stahlseil wird für $2,7 \leq x \leq 6,7$ durch eine Gerade $g$ modelliert.
Bestimme rechnerisch die Größe des Winkels, den die Gerade $g$ mit der Tangente an den Graphen von $f$ in $A$ einschließt.

(6P)

Bildnachweise [nach oben]

[1]

[2]

(1)

$\blacktriangleright$ Parabelgleichung bestimmen

Du sollst eine Gleichung der Parabel zweiten Grades bestimmen, die durch den Punkt $D(-4\mid 4)$ verläuft und deren Hochpunkt bei $H(0\mid 5)$ liegt. Die allgemeine Funktionsgleichung einer Parabel $p$ zweiten Grades lautet wie folgt:

$p(x) = ax^2 +bx +c$

Mit Hilfe der beiden angegebenen Punkte $D$ und $H$ kannst du ein Gleichungssystem aufstellen, das du nach den Parametern $a$ , $b$ und $c$ lösen kannst. Beachte dabei auch das notwendige Kriterium für einen Hochpunkt an der Stelle $x_E$ :

$p‘(x_E)=0$

Stelle also ein Gleichungssystem auf und löse dies mit deinem CAS.

Du erhältst folgende Bedingungen:

$p‘(0)=0$
$p(0)=5$
$p(-4)=4$

Du kannst dies mit deinem CAS lösen, indem du zunächst $p(x)$ und $p‘(x)$ definierst. Den Befehl für eine Ableitung findest du wie folgt:

menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 1: Ableitung

Den Befehl für ein Gleichungssystem findest du unter:

menu $\to$ 3: Algebra $\to$ 7 $\to$ 1

Mathematische Gleichungen und Ableitungen in einer Programmoberfläche dargestellt.

Abb. 1: Parabelgleichung bestimmen

Du erhältst folgendes Ergebnis:

$a= \dfrac{-1}{16}$ , $\quad b= 0\quad$ und $\quad c = 5$

Also lautet eine Gleichung der gesuchten Parabel $p(x) = -\dfrac{1}{16}x^2 +5$ .

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(2)

$\blacktriangleright$ Grad der Funktion begründen

Du sollst begründen, dass eine geeignete Funktion zur Modellierung der gesamten Dachoberkante mindestens den Grad drei haben muss. Untersuche den Graphen dafür auf markante Punkte wie Hoch- oder Tiefpunkte und überlege dir, wie viele solcher Punkte eine Funktion mit geringerem Grad höchstens haben kann.

Der Abbildung kannst du entnehmen, dass die Linie der Dachkante einen lokalen Hochpunkt, aber auch einen lokalen Tiefpunkt besitzt. Der Graph einer Funktion zweiten Grades kann aber nur einen lokalen Extrempunkt besitzen und der einer linearen Funktion (Grad eins) besitzt keinen solchen Punkt. Daher muss die Funktion mindestens den Grad drei haben.

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(3)

$\blacktriangleright$ Allgemeine Funktionsgleichung angeben

Eine ganzrationale Funktion hat immer folgende Form:

$f(x)= a_nx^n +... + a_0x^0$

Der Grad der Funktion beschreibt den höchsten Exponenten, der über dem $x$ vorkommt. Also lautet die allgemeine Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades $f(x) = ax^3+bx^2+cx +d$ .

$\blacktriangleright$ Bedingungen ermitteln

Um alle vier Koeffizienten bestimmen zu können, werden vier Bedingungen benötigt. Diese sollst du aus den Angaben zu den Punkten $H$ und $Q$ gewinnen. Dem Aufgabentext kannst du entnehmen, dass $H(0\mid 5)$ ein lokaler Hochpunkt des Graphen sein soll, während $Q(7,3\mid 3,3)$ ein lokaler Tiefpunkt ist.

Aus den Koordinaten erhältst du zwei Bedingungen. Die übrigen zwei Bedingungen erhältst du, indem du das notwendige Kriterium für eine Extremstelle $x_E$ beachtest:

$f‘(x_E) =0$

Es ergeben sich also die folgenden Bedingungen:

$f(0)=5$
$f(7,3)=3,3$
$f‘(0)=0$
$f‘(7,3)=0$

$\blacktriangleright$ Funktionsgleichung angeben

Oben hast du bereits die allgemeine Funktionsgleichung aufgestellt und alle notwendigen Bedingungen für die Bestimmung der Koeffizienten bestimmt. Du kannst nun wie in Aufgabe a) (1) vorgehen, um die Koeffizienten mit Hilfe eines Gleichungssystems zu bestimmen.

Nutze hierzu wie oben dein CAS. Dann erhältst du folgendes Ergebnis:

$a= 0,00874$
$b= -0,095703$
$c= 0$
$d =5$

Die gesuchte Funktionsgleichung lautet:

$f(x)=...$

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Mathematische Gleichungen und Ableitungen in einem digitalen Aufgabenformat.

Abb. 2: Funktionsgleichung bestimmen

(1)

$\blacktriangleright$ Symmetrie begründen

Betrachte zunächst den Funktionsterm von $p$ . Dir sollte auffallen, dass dort nur gerade Exponenten vorkommen, der Graph dazu also achsensymmetrisch zur $y$ -Achse ist. Betrachte nun den Term, der ergänzt wird.

Für $f_a$ gilt $f_a(x) = p(x) + a\cdot x^4$ . Hier wurde also ein Term mit ebenfalls geradem Exponenten über dem $x$ addiert. Dadurch enthält $f_a(x)$ ebenfalls nur gerade Exponenten, womit der zugehörige Graph achsensymmetrisch zur $y$ -Achse ist.

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(2)

$\blacktriangleright$ Parameterwerte zuordnen

Um die Parameterwerte $a= 0,0002$ , $a= 0,0004$ und $0,0006$ den entsprechenden Graphen zuzuordnen, berechne die Funktionswerte von $f_a$ an einer Stelle für die verschiedenen Werte von $a$ . Dazu kannst du beispielsweise $x=6$ verwenden. Überprüfe anschließend, welcher Funktionswert von welchem Graphen an dieser Stelle angenommen wird.

\begin{array}[t]{rll} f_{0,0002}(6)&=& 3,0092 \\[10pt] f_{0,0004}(6)&=& 3,2684 \\[10pt] f_{0,0006}(6)&=& 3,5276 \\[10pt] \end{array} 

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Damit gehört Graph $\text(I)$ zu $a= 0,0006$ , $\text{(II)}$ zu $a = 0,0004$ und $\text{(III)}$ zum Wert $a= 0,0002$ .

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(3)

$\blacktriangleright$ Koordinaten des Tiefpunkts bestimmen

Für eine Minimalstelle $x_M$ einer Funktion $f$ gelten die folgenden Kriterien:

Notwendiges Kriterium: $f‘(x_M)=0$
Hinreichendes Kriterium: $f‘‘(x_M)> 0$

Du kannst also wie folgt vorgehen:

Bestimme die ersten beiden Ableitungsfunktionen von $f_a$ .
Wende das notwendige Kriterium an, indem du $f_a‘(x)=0$ setzt und so mögliche Extremstellen bestimmst.
Überprüfe das hinreichende Kriterium durch Einsetzen in die zweite Ableitungsfunktion.
Berechne die $y$ -Koordinate des Tiefpunkts durch Einsetzen in $f_a(x)$ .

1. Schritt: Ableitungen bilden

Du kannst die Funktion $f_a$ und deren Ableitungen in deinem CAS wie oben definieren:

Mathematische Gleichungen und Ableitungen in einem digitalen Lernwerkzeug.

Abb. 3: Funktionen definieren

2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden

Du kannst die Gleichung $f_a‘(x)=0$ mit dem solve-Befehl deines CAS lösen und erhältst dann folgende Ergebnisse:

$x_1= 0$
$x_2 = \dfrac{\sqrt{2}}{8\cdot \sqrt{a}} = \sqrt{\dfrac{1}{32a}}$
$x_3 = \dfrac{-\sqrt{2}}{8\cdot \sqrt{a}} = -\sqrt{\dfrac{1}{32a}}$

Mathematische Aufgabenstellung mit Ableitungen und Lösungen in einem digitalen Format.

Abb. 4: Notwendiges Kriterium

Wegen $x\geq 0$ fällt $x_3$ aus dem betrachteten Bereich. Es befinden sich mögliche Extremstellen bei $x_1=0$ und $x_2 =\sqrt{\dfrac{1}{32a}}$ .

3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen

Einsetzen der oben bestimmten möglichen Extremstellen in die zweite Ableitung ergibt:

$\begin{array}[t]{rll} f_a‘‘(x_1)&=&f_a‘‘(0) \\[5pt] &=& -\frac{1}{8} < 0 \\[10pt] f_a‘‘(x_2)&=&f_a‘‘\left(\sqrt{\dfrac{1}{32a}} \right) \\[5pt] &=& \dfrac{1}{4} > 0 \\[5pt] \end{array}$

Mathematische Aufgabenstellung mit Gleichungen und Berechnungen.

Abb. 5: Hinreichendes Kriterium

An der Stelle $x_1=0$ besitzt der Graph von $f_a$ einen Hochpunkt, während sich bei $x_2= \sqrt{\dfrac{1}{32a}}$ ein Tiefpunkt befindet.

4. Schritt: Fehlende Koordinate berechnen

Du kennst nun die $x$ -Koordinate des Tiefpunkts. Um die $y$ -Koordinate zu berechnen, setze in $f_a(x)$ ein:

Die Koordinaten des Tiefpunkts des Graphen von $f_a$ (für $x \geq 0$ ) lauten $T_a\left(\sqrt{\dfrac{1}{32a}} \,\bigg \vert \, 5-\dfrac{1}{32^2a} \right)$ .

$\,$

(4)

$\blacktriangleright$ Anzahl der Nullstellen ermitteln

Um die Anzahl der Nullstellen in Abhängigkeit von $a$ zu bestimmen, betrachte die Lage des Tiefpunkts des Graphen genauer. $f_a$ besitzt für $x\geq 0$

keine Nullstelle, wenn der Tiefpunkt $T_a$ oberhalb der $x$ -Achse liegt.
genau eine Nullstelle, wenn der Tiefpunkt gerade auf der $x$ -Achse liegt.
zwei Nullstellen, wenn der Tiefpunkt unterhalb der $x$ -Achse liegt.

Überprüfe also die $y$ -Koordinate von $T_a$ daraufhin, für welche Werte von $a$ diese kleiner, größer oder gleich Null ist.

$\begin{array}[t]{rll} y &\geq& 0 \\[5pt] a&\geq& \dfrac{1}{5.120} \\[5pt] \end{array}$

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Für $a =\frac{1}{5.120}$ besitzt $f_a$ genau eine Nullstelle für $x \geq 0$ , für $a \gt \frac{1}{5.120}$ keine und für $a \lt \frac{1}{5.120}$ zwei Nullstellen.

$\,$

(5)

$\blacktriangleright$ Bereich für $\boldsymbol{a}$ bestimmen

Für den Tiefpunkt $T_a\left(\sqrt{\dfrac{1}{32a}} \,\bigg \vert \, 5-\dfrac{1}{32^2a} \right)$ soll $y_{T_a} \geq 3,3$ sein, während für den Wendepunkt $W$ $x_W \geq 4$ gelten soll. Bestimme also zunächst die Wendestelle und forme anschließend diese Ungleichungen jeweils nach $a$ um und bilde zum Schluss die Schnittmenge beider Eingrenzungen für $a$ .

Für eine Wendestelle gibt es ebenfalls zwei Kriterien:

Notwendiges Kriterium: $f_a‘‘(x_W)=0$
Hinreichendes Kriterium: $f_a‘‘‘(x_W)\neq 0$

Gehe also wie bei der Berechnung der Koordinaten des Tiefpunkts vor und nutze dein CAS. Beachte, dass hier nicht die $y$ -Koordinate benötigt wird.

1. Schritt: Wendestelle bestimmen

Mit dem CAS erhältst du folgendes:

$\begin{array}[t]{rll} f_a‘‘(x)&=&0 \\[5pt] x_{1}&=& \sqrt{\dfrac{1}{96a}} \\[5pt] x_2&=& -\sqrt{\dfrac{1}{96a}} \\[5pt] \end{array}$

Da der Wendepunkt im Bereich $x \geq 0$ liegen soll, kommt nur $x_1 = \sqrt{\dfrac{1}{96a}}$ in Frage. Überprüfe nun das hinreichende Kriterium mit deinem CAS:

$\begin{array}[t]{rll} f_a‘‘‘(x_1)&=&f_a‘‘‘\left(\sqrt{\dfrac{1}{96a}} \right) \\[5pt] &=& 24a\cdot \sqrt{\dfrac{1}{96a}} \neq 0 \\[5pt] \end{array}$

Bei $x_1= \sqrt{\dfrac{1}{96a}}$ handelt es sich also um eine Wendestelle.

2. Schritt: Bereich bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} y_{T_a} &\geq& 3,3 \\[5pt] \dfrac{5}{8.704}&\leq& a \\[20pt] x_W&\geq& 4 \\[5pt] \dfrac{1}{1.536}&\geq&a \\[5pt] \end{array}$

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Es muss also insgesamt $\dfrac{5}{8.704}\leq a \leq \dfrac{1}{1.536}$ gelten.

(1)

$\blacktriangleright$ Inhalt der Glasfläche berechnen

Die Glasfläche wird nach unten durch die $x$ -Achse, nach links durch die $y$ -Achse und nach oben durch den Graphen der Funktion $h$ begrenzt. Die rechte Grenze ist die Kante durch den Punkt $Q$ , die durch die $x$ -Koordinate von $Q$ also $x =7,3$ beschrieben wird. Du kannst den Inhalt $A$ der Fläche damit als Integral über $h$ in den Grenzen $a=0$ und $b= 7,3$ berechnen. Du kannst das Integral entweder handschriftlich oder mit deinem CAS berechnen.

$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: CAS

Du kannst die Funktion $h$ wie oben in deinem CAS definieren. Ein Integral kannst du dann mit Hilfe des folgenden Befehls eingeben:

2ND $\to$ TRACE (CALC) $\to$ 7

Du erhältst folgendes Ergebnis:

$A = \displaystyle\int_{0}^{7,3}h(x)\;\mathrm dx \approx 27,23$

Mathematische Gleichung und Integralberechnung in einer Software-Anwendung.

Abb. 6: Integralberechnung

Die Glasfläche besitzt eine Größe von ca. $27,23\,\text{m}^2$ .

$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Handschriftlich

$A\approx 27,23$

Vollständige Lösung anzeigen

Die Glasfläche besitzt eine Größe von ca. $27,23\,\text{m}^2$ .

$\,$

(2)

$\blacktriangleright$ Lösungsidee angeben

Die Fläche links der $y$ -Achse kann man berechnen, indem man sie in einzelne Teilflächen aufteilt. Für diese Aufteilung gibt es viele verschiedene Möglichkeiten. Auf dem folgenden Bild ist eine dieser Möglichkeiten dargestellt.

Diagramm eines Gebäudes mit geometrischen Formen und Linien, Darstellung von Flächen A1, A2 und A3.

Abb. 7: Aufteilung der Fläche

In diesem Fall setzt sich die gesuchte Fläche aus drei Flächen zusammen. Es kann zuerst der Inhalt $A_1$ der Fläche unter dem Graphen von $h$ im Berecih $a=-4$ bis $b = 0$ mit Hilfe eines Integrals berechnet werden. Von diesem Ergebnis müssen allerdings die Inhalte von zwei Flächen abgezogen werden:

$A_2$ : Der Inhalt der blauen dreieckigen Fläche
$A_3$ : Der Inhalt der roten trapezförmigen Fläche

Für die einzelnen Flächen können dabei folgende Ansätze gemäß der entsprechenden Formeln verwendet werden:

$A_1= \displaystyle\int_{-4}^{0}h(x)\;\mathrm dx$

$A_2 = \frac{1}{2}\cdot g\cdot h$

$A_3 = \frac{1}{2}\cdot (a+b)\cdot h$

$\,$

(3)

$\blacktriangleright$ Flächeninhalt begründen

Du sollst begründen, dass der Inhalt der Fläche zwischen den beiden Graphen im angegebenen Intervall gerade der Flächeninhalt eines Rechtecks mit den Seitenlängen $11,3$ und $0,5$ ist. Hierfür gibt es zwei mögliche Lösungswege. Entweder du berechnest die beschriebene Fläche mit Hilfe eines Integrals, sowie den Flächeninhalt des genannten Rechtecks, oder du argumentierst sinngemäß.

$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Rechnerisch

Der gesuchte Flächeninhalt $A_D$ zwischen den beiden Graphen lässt sich als Integral über die Differenz der Funktionen in den Grenzen $a=-4$ und $b =7,3$ berechnen:

$A_D = 5,56$

Vollständige Lösung anzeigen

Der Flächeninhalt des Rechtecks beträgt $A_R = 11,3 \cdot 0,5 = 5,65$ , damit sind die beiden Flächeninhalte identisch.

$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Argumentativ

Der Graph von $h$ liegt an jedem Punkt genau $0,5$ LE unterhalb des Graphen von $f$ . Damit beträgt die Höhe der betrachteten Fläche an jedem Punkt im Intervall $-4\leq x \leq 7,3$ $0,5$ LE. Es macht keinen Unterschied, ob diese Höhen versetzt nebeneinander gelegt werden oder wie in einem Rechteck auf exakter Höhe. Daher entspricht der Flächeninhalt gerade dem des Rechtecks.

$\blacktriangleright$ Schnittwinkel bestimmen

Gesucht ist der Winkel, der von zwei Geraden eingeschlossen wird, also der Schnittwinkel $\alpha$ der beiden. Um diesen zu berechnen gibt es zwei Möglichkeiten:

Nutze die Formel für den Schnittwinkel zweier Geraden:

$\tan(\alpha) = \left|\dfrac{m_1-m_2}{1+m_1\cdot m_2} \right|$
Berechne den Schnittwinkel über die Neigungswinkel der einzelnen Geraden zur Horizontalen. Die Neigungswinkel kannst du mit folgender Formel berechnen:

$\tan(\alpha) = m$

Für beide Wege benötigst du die Steigungswerte $m_t$ und $m_g$ der Geraden. Die Gerade $g$ verläuft durch die Punkte $A\left( 2,7\mid f(2,7)\right)$ und $P(6,7\mid 7,2)$ . Die Steigung kannst du daher mit folgender Formel berechnen:

$m = \dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}$

Die Gerade $t$ soll eine Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $A$ sein. Diese besitzt die gleiche Steigung wie der Graph in diesem Punkt. Du kannst die Steigung $m_t$ also über die erste Ableitung von $f$ berechnen.

$\begin{array}[t]{rll} m_g &\approx& 0,655 \\[10pt] \end{array}$

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Für die Steigung der Tangente $t$ , kannst du wie zuvor zuerst die erste Ableitung $f‘$ im CAS definieren und dann den Funktionswert berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} m_t&=& f‘(2,7) \\[5pt] &\approx& -0,2903 \\[5pt] \end{array}$

$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Formel für den Schnittwinkel

Du kannst die berechneten Steigunswerte direkt in die oben angegebene Formel für den Schnittwinkel einsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} \tan(\alpha)&=& \left|\dfrac{m_g-m_t}{1+m_g\cdot m_t} \right| \\[5pt] \tan(\alpha)&=& \left|\dfrac{0,655+0,2903}{1-0,655\cdot 0,2903} \right| \\[5pt] \tan(\alpha)&\approx& 1,167 \\[5pt] \alpha&\approx&\tan^{-1}(1,167) \\[5pt] &\approx & 49,4\,^{\circ} \\[5pt] \end{array}$

Die beiden Geraden $g$ und $t$ schließen einen Winkel $\alpha$ mit einer Größe von ca. $49,4^{\circ}$ ein.

$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Neigungswinkel der jeweiligen Gerade

Zeichne dir eine Skizze. Hier schneiden sich zwei Geraden, von denen eine eine negative Steigung besitzt, also fällt, und die andere steigt. Im Schaubild sind die Steigungswinkel der beiden Geraden eingezeichnet.

Der gesuchte Winkel $\alpha$ setzt sich aus den beiden Neigungswinkeln $\alpha_t$ und $\alpha_g$ wie folgt zusammen: $\quad \alpha= \alpha_t +\alpha_g$

Berechne also zunächst diese Neigungswinkel. Beachte dabei, dass die Tangente $t$ eine negative Steigung besitzt, die Formel also auch einen negativen Wert liefert. Für die Berechnung des Schnittwinkels benötigst du aber den Betrag.

Grafik mit Winkeln und Linien in verschiedenen Farben, die geometrische Beziehungen darstellen.

Abb. 8: Schnittwinkel

$\begin{array}[t]{rll} \tan(\alpha_t)&=& m_t \\[5pt] \tan(\alpha_t)&=& -0,2903 \\[5pt] \alpha_t&=& \tan^{-1}(-0,2903) \\[5pt] &\approx& -16,2^{\circ} \\[10pt] \tan(\alpha_g)&=& m_g \\[5pt] \tan(\alpha_g)&=& 0,655 \\[5pt] \alpha_g&=&\tan^{-1}(0,655) \\[5pt] &\approx& 33,2^{\circ} \end{array}$

Die beiden Geraden schließen also einen Winkel mit einer Größe von ca. $16,2^{\circ}+33,2^{\circ} = 49,4^{\circ}$ ein.

Bildnachweise [nach oben]

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(1)

$\blacktriangleright$ Parabelgleichung bestimmen

$p(x) = ax^2 +bx +c$

$p‘(x_E)=0$

Stelle also ein Gleichungssystem auf und löse dies mit deinem CAS.

Du erhältst folgende Bedingungen:

$p‘(0)=0$
$p(0)=5$
$p(-4)=4$

Du kannst dies mit deinem CAS lösen, indem du zunächst $p(x)$ und $p‘(x)$ definierst. Den Befehl für eine Ableitung findest du wie folgt:

keyboard $\to$ Math 2

Den Befehl für ein Gleichungssystem findest du unter:

keyboard $\to$ Math1

Mathematische Gleichungen und Definitionen zur Ableitung einer Funktion in einem Software-Interface.

Abb. 1: Parabelgleichung bestimmen

Du erhältst folgendes Ergebnis:

$a= \dfrac{-1}{16}$ , $\quad b= 0\quad$ und $\quad c = 5$

Also lautet eine Gleichung der gesuchten Parabel $p(x) = -\dfrac{1}{16}x^2 +5$ .

$\,$

(2)

$\blacktriangleright$ Grad der Funktion begründen

$\,$

(3)

$\blacktriangleright$ Allgemeine Funktionsgleichung angeben

Eine ganzrationale Funktion hat immer folgende Form:

$f(x)= a_nx^n +... + a_0x^0$

$\blacktriangleright$ Bedingungen ermitteln

Aus den Koordinaten erhältst du zwei Bedingungen. Die übrigen zwei Bedingungen erhältst du, indem du das notwendige Kriterium für eine Extremstelle $x_E$ beachtest:

$f‘(x_E) =0$

Es ergeben sich also die folgenden Bedingungen:

$f(0)=5$
$f(7,3)=3,3$
$f‘(0)=0$
$f‘(7,3)=0$

$\blacktriangleright$ Funktionsgleichung angeben

Nutze hierzu wie oben dein CAS. Dann erhältst du folgendes Ergebnis:

$a= 0,00874$
$b= -0,095703$
$c= 0$
$d =5$

Die gesuchte Funktionsgleichung lautet:

$f(x)=...$

Vollständige Lösung anzeigen

Mathematische Software zeigt Funktionen und Ableitungen an. Beispielhafte Definitionen und Berechnungen sind zu sehen.

Abb. 2: Funktionsgleichung bestimmen

(1)

$\blacktriangleright$ Symmetrie begründen

$\,$

(2)

$\blacktriangleright$ Parameterwerte zuordnen

\begin{array}[t]{rll} f_{0,0002}(6)&=& 3,0092 \\[10pt] f_{0,0004}(6)&=& 3,2684 \\[10pt] f_{0,0006}(6)&=& 3,5276 \\[10pt] \end{array} 

Vollständige Lösung anzeigen

Damit gehört Graph $\text(I)$ zu $a= 0,0006$ , $\text{(II)}$ zu $a = 0,0004$ und $\text{(III)}$ zum Wert $a= 0,0002$ .

$\,$

(3)

$\blacktriangleright$ Koordinaten des Tiefpunkts bestimmen

Für eine Minimalstelle $x_M$ einer Funktion $f$ gelten die folgenden Kriterien:

Notwendiges Kriterium: $f‘(x_M)=0$
Hinreichendes Kriterium: $f‘‘(x_M)> 0$

Du kannst also wie folgt vorgehen:

Bestimme die ersten beiden Ableitungsfunktionen von $f_a$ .
Wende das notwendige Kriterium an, indem du $f_a‘(x)=0$ setzt und so mögliche Extremstellen bestimmst.
Überprüfe das hinreichende Kriterium durch Einsetzen in die zweite Ableitungsfunktion.
Berechne die $y$ -Koordinate des Tiefpunkts durch Einsetzen in $f_a(x)$ .

1. Schritt: Ableitungen bilden

Du kannst die Funktion $f_a$ und deren Ableitungen in deinem CAS wie oben definieren:

Mathematische Gleichungen und Definitionen zur Ableitung in einer Softwareanwendung.

Abb. 3: Funktionen definieren

2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden

Du kannst die Gleichung $f_a‘(x)=0$ mit dem solve-Befehl deines CAS lösen und erhältst dann folgende Ergebnisse:

$x_1= 0$
$x_2 = \dfrac{\sqrt{2}}{8\cdot \sqrt{a}} = \sqrt{\dfrac{1}{32a}}$
$x_3 = \dfrac{-\sqrt{2}}{8\cdot \sqrt{a}} = -\sqrt{\dfrac{1}{32a}}$

Mathematische Software mit Gleichung zur Lösung einer Funktion. Ergebnisse sind x-Werte für die Gleichung.

Abb. 4: Notwendiges Kriterium

Wegen $x\geq 0$ fällt $x_3$ aus dem betrachteten Bereich. Es befinden sich mögliche Extremstellen bei $x_1=0$ und $x_2 =\sqrt{\dfrac{1}{32a}}$ .

3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen

Einsetzen der oben bestimmten möglichen Extremstellen in die zweite Ableitung ergibt:

Mathematische Formel und Berechnungen in einem Software-Interface.

Abb. 5: Hinreichendes Kriterium

An der Stelle $x_1=0$ besitzt der Graph von $f_a$ einen Hochpunkt, während sich bei $x_2= \sqrt{\dfrac{1}{32a}}$ ein Tiefpunkt befindet.

4. Schritt: Fehlende Koordinate berechnen

Du kennst nun die $x$ -Koordinate des Tiefpunkts. Um die $y$ -Koordinate zu berechnen, setze in $f_a(x)$ ein:

Die Koordinaten des Tiefpunkts des Graphen von $f_a$ (für $x \geq 0$ ) lauten $T_a\left(\sqrt{\dfrac{1}{32a}} \,\bigg \vert \, 5-\dfrac{1}{32^2a} \right)$ .

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(4)

$\blacktriangleright$ Anzahl der Nullstellen ermitteln

Um die Anzahl der Nullstellen in Abhängigkeit von $a$ zu bestimmen, betrachte die Lage des Tiefpunkts des Graphen genauer. $f_a$ besitzt für $x\geq 0$

keine Nullstelle, wenn der Tiefpunkt $T_a$ oberhalb der $x$ -Achse liegt.
genau eine Nullstelle, wenn der Tiefpunkt gerade auf der $x$ -Achse liegt.
zwei Nullstellen, wenn der Tiefpunkt unterhalb der $x$ -Achse liegt.

Überprüfe also die $y$ -Koordinate von $T_a$ daraufhin, für welche Werte von $a$ diese kleiner, größer oder gleich Null ist.

$\begin{array}[t]{rll} y &\geq& 0 \\[5pt] a&\geq& \dfrac{1}{5.120} \\[5pt] \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Für $a =\frac{1}{5.120}$ besitzt $f_a$ genau eine Nullstelle für $x \geq 0$ , für $a \gt \frac{1}{5.120}$ keine und für $a \lt \frac{1}{5.120}$ zwei Nullstellen.

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(5)

$\blacktriangleright$ Bereich für $\boldsymbol{a}$ bestimmen

Für eine Wendestelle gibt es ebenfalls zwei Kriterien:

Notwendiges Kriterium: $f_a‘‘(x_W)=0$
Hinreichendes Kriterium: $f_a‘‘‘(x_W)\neq 0$

Gehe also wie bei der Berechnung der Koordinaten des Tiefpunkts vor und nutze dein CAS. Beachte, dass hier nicht die $y$ -Koordinate benötigt wird.

1. Schritt: Wendestelle bestimmen

Mit dem CAS erhältst du folgendes:

$\begin{array}[t]{rll} f_a‘‘(x)&=&0 \\[5pt] x_{1}&=& \sqrt{\dfrac{1}{96a}} \\[5pt] x_2&=& -\sqrt{\dfrac{1}{96a}} \\[5pt] \end{array}$

Da der Wendepunkt im Bereich $x \geq 0$ liegen soll, kommt nur $x_1 = \sqrt{\dfrac{1}{96a}}$ in Frage. Überprüfe nun das hinreichende Kriterium mit deinem CAS:

$\begin{array}[t]{rll} f_a‘‘‘(x_1)&=&f_a‘‘‘\left(\sqrt{\dfrac{1}{96a}} \right) \\[5pt] &=& 24a\cdot \sqrt{\dfrac{1}{96a}} \neq 0 \\[5pt] \end{array}$

Bei $x_1= \sqrt{\dfrac{1}{96a}}$ handelt es sich also um eine Wendestelle.

2. Schritt: Bereich bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} y_{T_a} &\geq& 3,3 \\[5pt] \dfrac{5}{8.704}&\leq& a \\[20pt] x_W&\geq& 4 \\[5pt] \dfrac{1}{1.536}&\geq&a \\[5pt] \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Es muss also insgesamt $\dfrac{5}{8.704}\leq a \leq \dfrac{1}{1.536}$ gelten.

(1)

$\blacktriangleright$ Inhalt der Glasfläche berechnen

$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: CAS

Du kannst die Funktion $h$ wie oben in deinem CAS definieren. Ein Integral kannst du dann mit Hilfe des folgenden Befehls eingeben:

keyboard $\to$ Math2

Du erhältst folgendes Ergebnis:

$A = \displaystyle\int_{0}^{7,3}h(x)\;\mathrm dx \approx 27,23$

Mathematische Software zeigt eine Funktion und das Ergebnis eines Integrals an.

Abb. 6: Integralberechnung

Die Glasfläche besitzt eine Größe von ca. $27,23\,\text{m}^2$ .

$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Handschriftlich

$A\approx 27,23$

Vollständige Lösung anzeigen

Die Glasfläche besitzt eine Größe von ca. $27,23\,\text{m}^2$ .

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(2)

$\blacktriangleright$ Lösungsidee angeben

Abb. 7: Aufteilung der Fläche

$A_2$ : Der Inhalt der blauen dreieckigen Fläche
$A_3$ : Der Inhalt der roten trapezförmigen Fläche

Für die einzelnen Flächen können dabei folgende Ansätze gemäß der entsprechenden Formeln verwendet werden:

$A_1= \displaystyle\int_{-4}^{0}h(x)\;\mathrm dx$

$A_2 = \frac{1}{2}\cdot g\cdot h$

$A_3 = \frac{1}{2}\cdot (a+b)\cdot h$

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(3)

$\blacktriangleright$ Flächeninhalt begründen

$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Rechnerisch

Der gesuchte Flächeninhalt $A_D$ zwischen den beiden Graphen lässt sich als Integral über die Differenz der Funktionen in den Grenzen $a=-4$ und $b =7,3$ berechnen:

$A_D = 5,56$

Vollständige Lösung anzeigen

Der Flächeninhalt des Rechtecks beträgt $A_R = 11,3 \cdot 0,5 = 5,65$ , damit sind die beiden Flächeninhalte identisch.

$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Argumentativ

$\blacktriangleright$ Schnittwinkel bestimmen

Gesucht ist der Winkel, der von zwei Geraden eingeschlossen wird, also der Schnittwinkel $\alpha$ der beiden. Um diesen zu berechnen gibt es zwei Möglichkeiten:

Nutze die Formel für den Schnittwinkel zweier Geraden:

$\tan(\alpha) = \left|\dfrac{m_1-m_2}{1+m_1\cdot m_2} \right|$
Berechne den Schnittwinkel über die Neigungswinkel der einzelnen Geraden zur Horizontalen. Die Neigungswinkel kannst du mit folgender Formel berechnen:

$\tan(\alpha) = m$

$m = \dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}$

$\begin{array}[t]{rll} m_g &\approx& 0,655 \\[10pt] \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Für die Steigung der Tangente $t$ , kannst du wie zuvor zuerst die erste Ableitung $f‘$ im CAS definieren und dann den Funktionswert berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} m_t&=& f‘(2,7) \\[5pt] &\approx& -0,2903 \\[5pt] \end{array}$

$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Formel für den Schnittwinkel

Du kannst die berechneten Steigunswerte direkt in die oben angegebene Formel für den Schnittwinkel einsetzen:

Die beiden Geraden $g$ und $t$ schließen einen Winkel $\alpha$ mit einer Größe von ca. $49,4^{\circ}$ ein.

$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Neigungswinkel der jeweiligen Gerade

Der gesuchte Winkel $\alpha$ setzt sich aus den beiden Neigungswinkeln $\alpha_t$ und $\alpha_g$ wie folgt zusammen: $\quad \alpha= \alpha_t +\alpha_g$

Abb. 8: Schnittwinkel

Die beiden Geraden schließen also einen Winkel mit einer Größe von ca. $16,2^{\circ}+33,2^{\circ} = 49,4^{\circ}$ ein.

Bildnachweise [nach oben]

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