Analysis 1

Ein mit Wasser befülltes Glas wird aus einem Kühlschrank genommen. Die anschließende Entwicklung der Wassertemperatur infolge der höheren Raumtemperatur lässt sich mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f: t \mapsto 25 - 20 \cdot \mathrm{e}^{-0,014t}$ modellhaft beschreiben. Dabei ist $t$ die Zeit in Minuten, die seit der Entnahme aus dem Kühlschrank vergangen ist, und $f(t)$ die Wassertemperatur in $^\circ\text{C}.$ Die Raumtemperatur beträgt konstant $25\;^\circ\text{C}.$

(1)

(i)

Gib die Wassertemperatur zum Zeitpunkt der Entnahme aus dem Kühlschrank an.

(ii)

Bestimme den Zeitpunkt, zu dem die Wassertemperatur $12\;^\circ\text{C}$ beträgt.

(2)

(i)

Bestimme die mittlere Änderungsrate der Wassertemperatur innerhalb der ersten 30 Minuten.

(ii)

Gib $\(f$ und die Bedeutung dieses Werts im Sachzusammenhang an.

(3)

Ausgehend von einem beliebigen Zeitpunkt $t^*$ dauert es eine gewisse Zeit, bis die Wassertemperatur den Mittelwert zwischen der Temperatur zum Zeitpunkt $t^*$ und der Raumtemperatur angenommen hat.

Zeige, dass diese Zeitdauer unabhängig von $t^*$ ist.

Bei einem anderen Vorgang wird die Entwicklung der Temperatur von Wasser in einem zweiten Glas durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $g: t \mapsto 5+20 \cdot \mathrm{e}^{-0,014 t}$ modellhaft beschrieben. Dabei ist $t$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Minuten und $g(t)$ die Wassertemperatur in $^{\circ}\text{C}.$ Bei den durch $f$ und $g$ beschriebenen Vorgängen sind die durch $t=0$ festgelegten Zeitpunkte identisch.

(4)

Beschreibe, durch welche Transformationen der Graph von $g$ aus dem Graphen von $f$ hervorgeht.

(5)

Beurteile jede der folgenden Aussagen:

$\text{I}$

Die Temperatur des Wassers im zweiten Glas nimmt während des gesamten Beobachtungszeitraums ab.

$\text{II}$

Für beide Gläser stimmen zu jedem Zeitpunkt die Beträge der momentanen Änderungsraten der Wassertemperaturen überein.

(3 + 4 + 4 + 2 + 4 Punkte)

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h$ mit $h(x) = (1 - x^2) \cdot \mathrm{e}^x.$ Der Graph von $h$ wird mit $G_h$ bezeichnet.

(1)

Gib den Grenzwert von $h$ für $x \rightarrow -\infty$ an und begründe deine Angabe anhand des Funktionsterms.

$G_h$ schließt mit der $x$ -Achse im ersten und zweiten Quadranten eine Fläche $A$ ein.

(2)

Die Gerade $m$ verläuft parallel zur $y$ -Achse durch den Hochpunkt $H\left(-1 + \sqrt{2} \mid h\left(-1 + \sqrt{2}\right)\right)$ von $G_h$ und teilt die Fläche $A$ in zwei Teilflächen.

Berechne den Anteil, den die größere der beiden Teilflächen an der Fläche $A$ hat.

(3)

Es gibt eine Zahl $b \gt 1$ , sodass die Fläche, die $G_h,$ die $x$ -Achse und die Gerade mit der Gleichung $x = b$ im vierten Quadranten einschließen, den gleichen Inhalt hat wie die Fläche $A.$

Bestimme $b.$

Abbildung

Gegeben ist die für $x \leq-1$ definierte Funktion $k$ mit $k(x)=\displaystyle\int_{x}^{-1}h(t)\;\mathrm dt.$ Ihr Graph wird mit $G_k$ bezeichnet. Die Abbildung zeigt $G_h$ und $G_k.$ Für $x \rightarrow-\infty$ kommt $G_k$ der Geraden $r$ mit der Gleichung $y=-\frac{4}{\mathrm{e}}$ beliebig nahe.

(4)

(i)

Begründe mithilfe des Funktionsterms, dass $k$ die Nullstelle $-1$ besitzt und dass $G_k$ im Bereich $x \lt -1$ unterhalb der $x$ -Achse verläuft.

(ii)

Deute damit unter Verwendung der Abbildung den Wert $-\frac{4}{\mathrm{e}}$ in Bezug auf $G_h$ geometrisch.

Die Funktion $h$ gehört zur Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $h_a$ mit $h_a(x)=\frac{1}{a} \cdot\left(a-x^2\right) \cdot \mathrm{e}^x$ und $a \gt 0.$ Der Graph von $h_a$ wird mit $G_{h_a}$ bezeichnet.

(5)

Begründe anhand des Funktionsterms, dass für jedes $a \gt 0$ die Funktionswerte von $h_a$ nur für $-\sqrt{a} \lt x \lt \sqrt{a}$ positiv sind.

(6)

Es gibt einen Wert von $a,$ sodass das Produkt der $x$ -Koordinaten der beiden Extrempunkte von $G_{h_a}$ gleich dem Produkt der $y$ -Koordinaten dieser beiden Punkte ist.

Berechne diesen Wert von $a.$

(3 + 4 + 3 + 5 + 3 + 5 Punkte)

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(1)

(i)

$\begin{array}[t]{rll} f(0)&=& 25 - 20 \cdot \mathrm{e}^{-0,014\cdot0} \\[5pt] &=& 25 - 20 \\[5pt] &=& 5\;[^\circ\text{C}] \end{array}$

(ii)

$\begin{array}[t]{rll} f(t)&=& 12 \\[5pt] 25 - 20 \cdot \mathrm{e}^{-0,014t}&=& 12 \quad \scriptsize \mid\;-25 \\[5pt] - 20 \cdot \mathrm{e}^{-0,014t}&=& -13 \quad \scriptsize \mid\;:(-20) \\[5pt] \mathrm{e}^{-0,014t}&=&\dfrac{13}{20} \\[5pt] -0,014t&=&\ln\left(\dfrac{13}{20}\right) \quad \scriptsize \mid\;:(-0,014) \\[5pt] t&\approx& 30,77 \end{array}$

Die Wassertemperatur beträgt somit nach etwa $30,77$ Minuten $12\;^\circ\text{C}.$

(2)

(i)

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{f(30)-f(0)}{30-0}&=&\dfrac{25 - 20 \cdot \mathrm{e}^{-0,014\cdot30}-5}{30} \\[5pt] &=&\dfrac{20 - 20 \cdot \mathrm{e}^{-0,42}}{30} \\[5pt] &\approx&0,23\;\left[\dfrac{^\circ\text{C}}{\text{min}}\right] \end{array}$

(ii)

Für die erste Ableitung von $f$ folgt mit dem CAS:

$\(f$

Für $t=30$ folgt:

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Da die erste Ableitung die Steigung von $f$ angibt, besagt dieser Wert, dass die momentane Änderungsrate der Wassertemperatur nach $30$ Minuten $0,18\;\frac{^\circ\text{C}}{\text{min}}$ beträgt.

(3)

Die gesuchte Zeitdauer wird durch einen Wert $t\gt0$ dargestellt. Damit ergibt sich die beschriebene Situation wie folgt:

Rechenweg anzeigen

$\ln(2)-0,014t=0$

Mit dem solve-Befehl des CAS ergibt sich somit $t\approx49,51$ und die gesuchte Zeitdauer ist insbesondere unabhängig von $t^*.$

(4)

Der Graph von $g$ geht aus dem Graphen von $f$ durch eine Spiegelung an der $x$ -Achse und anschließende Verschiebung um $30$ in positive $y$ -Richtung hervor.

(5)

Aussage $\boldsymbol{\text{I}}$ beurteilen

Da die Temperatur im ersten Glas während des gesamten Beobachtungszeitraums zunimmt und der Graph von $g$ aus dem Graphen von $f,$ bis auf Verschiebung, durch Spiegelung an der $x$ -Achse entsteht, nimmt die Temperatur im zweiten Glas während des gesamten Beobachtungszeitraums ab, das heißt die Aussage stimmt.

Aussage $\boldsymbol{\text{II}}$ beurteilen

Anhand der Funktionsterme von $f$ und $g$ lässt sich erkennen, dass die Ableitungen $\(f$ und $\(g$ bis auf das Vorzeichen identisch sind. Somit stimmen die Beträge der momentanen Änderungsraten der Wassertemperaturen der beiden Gläser zu jedem Zeitpunkt überein, das heißt die Aussage ist richtig.

(1)

Für $x \rightarrow -\infty$ strebt der Faktor $\mathrm{e}^x$ gegen null, während der Faktor $1-x^2$ gegen $-\infty$ strebt. Da die $\mathrm e$ -Funktion wesentlich schneller gegen null strebt als der quadratische Term fällt, gilt somit $\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} h(x) = 0.$

(2)

Die graphische Darstellung von $G_h$ liefert, dass die Fläche $A$ von den beiden Nullstellen $x_1=-1$ und $x_2=1$ begrenzt wird. Für den Inhalt der beiden Teilflächen folgt somit mit Hilfe des CAS:

Rechenweg anzeigen

$A_1 \approx 0,95\;[\text{FE}]$

Rechenweg anzeigen

$A_2 \approx 0,52\;[\text{FE}]$

Somit gilt $A=A_1+A_2$ $\approx0,95+0,52=1,47\;[\text{FE}].$ Für den Anteil, den die größere Teilfläche $A_1$ an der Fläche $A$ hat folgt somit:

$\dfrac{A_1}{A}=\dfrac{0,95}{1,47}\approx0,6463=64,63\,\%$

(3)

Rechenweg anzeigen

$(b-1)^2\cdot\mathrm e^b=1,47$

Auflösen dieser Gleichung nach $b$ mit dem CAS liefert $b\approx1,56$ als passenden Wert unter der Bedingung $b\gt1.$

(4)

(i)

Die Funktion $k(x)$ hat die Nullstelle $x = -1,$ da für diesen Wert von $x$ die obere mit der unteren Integralgrenze übereinstimmt.
Da $G_h$ für $x\lt-1$ unterhalb der $x$ -Achse verläuft, liefert das Integral, dass den Funktionsterm von $k$ darstellt, für alle $x\lt-1$ negative Werte. Damit verläuft $G_k$ im Bereich $x \lt -1$ unterhalb der $x$ -Achse.

(ii)

Die geometrische Interpretation des Wertes liefert, dass für $x\lt-1$ die Fläche zwischen $G_h$ und der $x$ -Achse $\dfrac{4}{\mathrm{e}}$ beträgt. Da sich diese Fläche unterhalb der $x$ -Achse befindet, ergibt sich zusätzlich das negative Vorzeichen.

(5)

Der Funktionsterm ist genau dann positiv, wenn der Term $\left(a-x^2\right)$ positiv ist. Das ist nur für $-\sqrt{a} \lt x \lt \sqrt{a}$ der Fall.

(6)

Mit dem CAS folgt für die ersten beiden Ableitungen von $h_a:$

$\(h_a$

Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden:

$\(h_a$

Mit dem solve-Befehl des CAS ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} x_1&=&-1-\sqrt{1+a} \\[5pt] x_2&=&-1+\sqrt{1+a} \end{array}$

Aus der Aufgabenstellung geht hervor, dass $G_{h_a}$ für jeden Wert von $a$ genau zwei Extrempunkte besitzt, somit kann auf die Überprüfung der hinreichenden Bedinung verzichtet werden. Einsetzen der Extremstellen in $h_a$ liefert für die $y$ -Koordinaten:

Rechenweg anzeigen

$h_a\left(-1-\sqrt{1+a}\right)$ $= -\dfrac{2}{a} \cdot\left(1+\sqrt{1+a}\right) \cdot \mathrm{e}^{-1-\sqrt{1+a}}$

Rechenweg anzeigen

$h_a\left(-1+\sqrt{1+a}\right)$ $= -\dfrac{2}{a} \cdot\left(1-\sqrt{1+a}\right) \cdot \mathrm{e}^{-1+\sqrt{1+a}}$

Damit ergibt sich:

Rechenweg anzeigen

$a=\dfrac{4}{a^2} \cdot a \cdot \mathrm{e}^{-2}$

Für den gesuchten Wert von $a$ folgt mit dem solve-Befehl des CAS somit $a\approx0,74.$

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