Aufgabe 1

In einem Entwicklungslabor wird der Ladevorgang bei Akkus an verschiedenen Ladegeräten getestet. Der zeitliche Verlauf des Ladezustands für verschiedene Ladegeräte wird durch Funktionen $Q_k$ mit $Q_k(t)=1000\left(1-\mathrm e^{-k\cdot t}\right),$ $k\in \mathbb{R},$ $k\gt 0,$ modelliert und ist für $k = 0,2;$ $k = 0,4;$ $k = 0,6$ und $k = 0,95$ in Abbildung 1 dargestellt.

Abbildung 1

Dabei gibt $t$ die seit Beginn des Ladevorgangs vergangene Zeit in Stunden und $Q_k(t)$ die Ladung des Akkus zum Zeitpunkt $t$ (Einheit: $\,\text{mAh}$ ) an.

Der Ladevorgang beginnt im Folgenden stets zum Zeitpunkt $t=0$ und es gilt $Q_k(0) =0,$ d.h., in der Modellierung wird vereinfachend davon ausgegangen, dass die Ladung des Akkus zu Beginn immer den Wert $0$ hat.

(1)

Der Verlauf des Graphen legt die Vermutung nahe, dass sich die Funktionen $Q_k$ für große Werte von $t$ unabhängig von $k$ dem Wert $1000$ annähern und ihn nicht überschreiten.
Entscheide begründet, ob diese Vermutung wahr ist.

(3 Punkte)

Die maximale Ladung, die ein Akku unter idealen Bedingungen aufnehmen kann, wird Kapazität genannt. In diesem Falle hat der Akku eine Kapazität von $1000\,\text{mAh}.$ Eine Balkenanzeige am Ladegerät signalisiert während des Ladevorgangs den momentanen Ladezustand des Akkus mit folgenden Symbolen:

kein Balken:

Die Ladung beträgt weniger als $33\,\%$ der Kapazität.

ein Balken:

Die Ladung beträgt mindestens $33\,\%$ und weniger als $66\,\%$ der Kapazität.

zwei Balken:

Die Ladung beträgt mindestens $66\,\%$ und weniger als $99\,\%$ der Kapazität.

drei Balken:

Die Ladung beträgt mindestens $99\,\%$ der Kapazität.

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(2)

Bestimme in Abhängigkeit von $k,$ wie viele Minuten es ab dem Start des Ladevorgangs dauert, bis die Balkenanzeige den ersten Balken anzeigt. Begründe anschaulich, ggf. mit Abbildung 1, dass die Zeitdauer bis zum Erscheinen eines weiteren Balkens von Balken zu Balken immer größer wird.

(4 Punkte)

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(3)

Beschreibe die Bedeutung größer werdender Werte für den Parameter $k$ im Sachzusammenhang und gib begründet an, welcher Graph in Abbildung 1 zum Parameter $k=0,4$ gehört.

(3 Punkte)

Die momentane Änderungsrate der Ladung $Q_k$ wird Ladestrom $I_k$ genannt (Einheit: $\,\text{mA}$ ).
Der Ladestrom wird zur Kontrolle des Ladungsvorgangs benutzt. In diesem Falle lautet also die Funktionsgleichung für den Ladestrom: $I_k(t)=Q_k‘(t)=1000\cdot k\cdot\mathrm e^{-k\cdot t}.$

(1)

Um den Akku zu schonen, soll der Ladestrom während des Ladevorgangs nicht zu groß werden.
Begründe, dass der Ladestrom in einem beliebigen Zeitintervall jeweils am Intervallrand maximal ist, und gib begründet an, an welchem der beiden Intervallränder das Maximum liegt.

(3 Punkte)

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(2)

Für den vorliegenden Akku soll der Ladestrom während des Ladevorgangs den Wert $500$ zu keinem Zeitpunkt überschreiten.
Bestimme, für welche Werte von $k$ die Vorgabe eingehalten wird. Gib an, welche der Ladegeräte aus a) die Vorgabe nicht erfüllen.

(3 Punkte)

$\,$

(3)

Der Ladevorgang wird abgebrochen, wenn der Ladestrom $I_k$ den Wert $10k$ unterschreitet.
Bestimme die von $k$ abhängige Dauer eines solches Ladevorgangs. Zeige, dass die Abschaltbedingung bewirkt, dass der Ladevorgang unabhängig von $k$ immer in dem Moment abgeschaltet wird, wenn die Anzeige zum letzten Balken wechselt.

(3 Punkte)

Ein defektes Ladegerät steuert den Ladestrom fälschlicherweise nach der Funktionsvorschrift $I_d(t)= (100t+50)\mathrm e^{-0,4t+0,1}.$

Nach $12$ Stunden wird der Ladevorgang an diesem Ladegerät abgebrochen.

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(1)

Zeige rechnerisch, dass die Funktion $I_d$ genau ein lokales Maximum besitzt.

(5 Punkte)

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(2)

Begründe, dass der Ladestrom $I_d$ während des Ladevorgangs den Wert $150$ nie überschreitet.

(2 Punkte)

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(3)

Bestimme die Ladung $Q$ des Akkus und die Anzahl der Balken in der Balkenanzeige an diesem Ladegerät, wenn der Ladevorgang nach $12$ Stunden abgebrochen wird.

(3 Punkte)

Ein Powerladegerät soll den Akku schnell aufladen. Dazu wird der Akku zunächst mit einem konstanten Ladestrom von $500\,\text{mA}$ geladen, bis der Akku eine Ladung von $900\,\text{mAh}$ erreicht hat. Ab diesem Zeitpunkt $t_1$ wird der Ladestrom gemäß der Funktion $\tilde{I}_k$ mit $\tilde{I}_k(t)= A\cdot \mathrm e^{-k(t-t_1)},$ $A,k\in \mathbb{R},$ verringert bis zum Zeitpunkt $t_2,$ wenn der Wert $\tilde{I}_k(t_2) = 10$ erreicht wird und der Ladevorgang abgeschaltet wird. Ein solcher Ladevorgang ist in Abbildung 2 dargestellt.

Abbildung 2

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(1)

Begründe, dass sich ein lückenloser Graphenverlauf ergibt, wenn $A=500$ gilt.

(2 Punkte)

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Im Folgenden sei $A=500.$

(2)

Bestimme die Zeitpunkte $t_1$ und $t_2.$

[Zur Kontrolle: $t_2 =1,8-\frac{\ln(0,02)}{k}$ ]

(4 Punkte)

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(3)

Bestimme $k$ so, dass die Ladung $Q$ am Ende des Ladevorgangs den Wert $998$ erreicht.

[Zur Kontrolle: $k\approx 5$ ]

(3 Punkte)

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(4)

Bestimme die Dauer des gesamten Ladevorgangs in Stunden und Minuten.

(2 Punkte)

(1)

$\blacktriangleright$ Vermutung überprüfen

Der Funktionsterm von $Q_k$ ist $Q_k(t)= 1.000\left(1-\mathrm e^{-k\cdot t}\right).$ Für größer werdende Werte von $t$ wird aufgrund des negativen Vorzeichens im Exponenten und $k\gt 0$ der Wert $e^{-k\cdot t}$ immer kleiner, bleibt aber immer positiv. Dieser Wert nähert sich also Null an, erreicht Null aber niemals. Insgesamt nähert sich damit der Wert $1-\mathrm e^{-k\cdot t}$ immer mehr dem Wert $1$ an, nimmt diesen aber niemals an und überschreitet ihn demnach auch nicht, da immer etwas subtrahiert wird.
Insgesamt wird daher $1.000$ immer mit einem Wert $\lt 1$ multipliziert, der sich für größere Werte von $t$ immer mehr dem Wert $1$ annähert, diesen aber nicht überschreitet. Der gesamte Funktionsterm nähert sich für große Werte von $t$ daher immer mehr dem Wert $1.000$ an ohne diesen zu überschreiten.
Die Vermutung ist also wahr.

$\,$

(2)

Der erste Balken erscheint, wenn mindestens $33\,\%$ des Akkus geladen sind, wenn also die Ladung $Q_k(t)=330$ beträgt. Die Gleichung kannst du mit dem solve-Befehl deines CAS lösen:

$\begin{array}[t]{rll} Q_k(t) &=& 330 \\[5pt] 1.000\cdot(1-\mathrm e^{-k\cdot t}) &=& 330 &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] t&=& -\frac{\ln 0,67}{k} \end{array}$

Nach $-\frac{\ln 0,67}{k}$ Stunden zeigt die Balkenanzeige den ersten Balken.

In Abbildung 1 lässt sich erkennen, dass die Graphen von $Q_k$ mit größer werdenden Werten von $t$ immer weniger stark ansteigt, da er sich der Asymptote $y=1.000$ annähert.
Die Ladung des Akkus nimmt also immer langsamer zu je weiter der Akku schon geladen ist. Mit zunehmender Ladung braucht der Akku also immer länger, um die gleiche Ladung dazuzugewinnen.
Da die Balken jeweils in einem konstanten Ladungsabstand von $33\,\%$ bzw. $330\,\text{mAh}$ angezeigt werden, dauert es also immer länger, bis der nächste Balken angezeigt wird.

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(3)

$\blacktriangleright$ Bedeutung der Parameterwerte im Sachzusammenhang beschreiben

Je größer der Wert $k$ ist desto größer ist auch der Funktionswert $Q_k(t)$ an einer bestimmten Stelle $t\gt 0.$ Die Funktion steigt für einen größeren Wert von $k$ also schneller an. Der Akku gewinnt somit schneller an Ladung und hat so schneller eine bestimmte Ladung erreicht.
Der Wert $k=0,4$ ist der drittgrößte der angegebenen Werte. Der Graph zu Ladegerät 3 gehört also zum Parameter $k=0,4.$

(1)

Der Ladestrom wird durch die Funktion $I_k$ mit $I_k(t) = 1.000\cdot k\cdot\mathrm e^{-k\cdot t}$ beschrieben.
Für größer werdende Werte von $t$ wird $\mathrm e^{-k\cdot t}$ immer kleiner, der Faktor $1.000\cdot k$ bleibt dagegen konstant. Die Funktion $I_k$ ist also für $t\geq0$ streng monoton fallend. Der Ladestrom ist also immer zum Startzeitpunkt des Intervalls am größten.

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(2)

Da der Ladestrom in jedem Intervall zu Beginn des Intervalls am größten ist, müssen die Werte des Ladestroms zu Beginn des Ladevorgangs in Abhängigkeit von $k$ untersucht werden. Überschreiten diese nicht den Wert $500,$ so wird der Wert während des gesamten Ladevorgangs nicht überschritten.

$\begin{array}[t]{rll} I_k(0)&=& 1.000\cdot k\cdot \mathrm e^{-k\cdot 0} \\[5pt] &=& 1.000\cdot k \\[5pt] \end{array}$

Es soll gelten $I_k(0)\leq 500:$

$\begin{array}[t]{rll} I_k(0)&\leq& 500 \\[5pt] 1.000\cdot k&\leq& 500 &\quad \scriptsize \mid\; :1.000\\[5pt] k&\leq& 0,5 \end{array}$

Die Vorgabe wird unter der Voraussetzung $k\gt 0$ für $k\leq 0,5$ eingehalten. Die Ladegeräte 1 und 2 erfüllen die Vorgabe also nicht.

$\,$

(3)

$\blacktriangleright$ Dauer des Ladevorgangs bestimmen

Löse die Gleichung $I_k(t)=10k$ mit dem solve-Befehl deines CAS.

$t\approx - \frac{\ln 0,01}{k}$

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Die Dauer des Ladesvorgangs mit dem Ladestrom $I_k$ beträgt $- \frac{\ln 0,01}{k}$ Stunden.

$\blacktriangleright$ Anzahl der Balken bestimmen

Die Anzahl der Balken richtet sich nach der Ladung. Diese wird durch $Q_k$ beschrieben.

$Q_k\left(- \frac{\ln 0,01}{k}\right)= 990$

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Beim Beenden des Ladevorgangs beträgt die Ladung also unabhängig von $k$ $990\,\text{mAh},$ was $99\,\%$ entspricht. Die Anzeige wechselt also zum letzten Balken.

(1)

$\blacktriangleright$ Lokales Maximum nachweisen

1. Schritt: Ableitungen bilden

Mit der Produkt- und der Kettenregel folgt:

$\begin{array}[t]{rll} I_d(t) &=& ... \\[5pt] I_d‘(t)&=& ... \\[10pt] I_d‘‘(t)&=& ... \\[10pt] \end{array}$

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2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden

$\begin{array}[t]{rll} I_d‘(t)&=& 0 \\[5pt] ... \\[5pt] t&=& 2 \end{array}$

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Die Funktion $I_d$ kann also höchstens ein lokales Maximum besitzen, da nur an der Stelle $t=2$ das notwendige Kriterium für lokale Extremstellen erfüllt ist.

3. Schritt: Hinreichendes Kriterium anwenden

$I_d‘‘(2) \lt 0$

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An der einzigen Stelle, an der das notwendige Kriterium für ein lokales Extremum erfüllt ist, besitzt $I_d$ also ein Maximum. $I_d$ besitzt daher genau ein lokales Maximum.

$\,$

(2)

$\blacktriangleright$ Grenze begründen

An der Stelle $t=2$ hat $I_d$ laut d) (1) ein lokales Maximum. Der Funktionswert beträgt dort:

$I_d(2)\approx 124,15$

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Da dies die einzige lokale Extremstelle von $I_d$ ist, kann es keine Randextrema geben. Der maximale Wert, den der Ladestrom annimmt, ist daher $124,15.$ Er kann also den Wert $150$ nie überschreiten.

$\,$

(3)

$\blacktriangleright$ Ladung bestimmen

Zu Beginn des Ladevorgangs beträgt die Ladung Null. Daher kann die Ladung nach $12$ Stunden mithilfe des Integrals von $0$ bis $12$ über $I_d$ bestimmt werden. Zur Berechnung des Integrals kannst du dein CAS verwenden:

$\blacktriangleright$ TI nspire CAS

menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 3: Integral

$\blacktriangleright$ Casio Classpad II

keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\int_{\Box}^{\Box}\Box$

$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{0}^{12}I_d(t)\;\mathrm dx&\approx& 795 \\[5pt] \end{array}$

Wenn der Ladevorgang nach $12$ Stunden abgebrochen wird, beträgt die Ladung des Akkus an diesem Ladegerät ca. $795\,\text{mAh}.$ Dies entspricht $79,5\,\%.$ Die Balkenanzeige zeigt also zwei Balken.

(1)

$\blacktriangleright$ Lückenlosen Verlauf begründen

Für $A= 500$ gilt:

$\tilde{I}_k(t_1) = 500\cdot \mathrm e^{-k\cdot (t_1 -t_1)}=500$

Der Funktionswert von $\tilde{I}_k$ an der Übergangsstelle $t_1$ entspricht für $A=500$ also dem vorherigen Wert des Ladestroms $500.$ Die beiden Graphen schließen daher lückenlos aneinander an.

$\,$

(2)

$\blacktriangleright$ Zeitpunkte bestimmen

Der Zeitpunkt $t_1$ ist der Zeitpunkt, an dem der konstante Ladestrom mit $500\,\text{mA}$ in den Ladestrom $\tilde{I}_k$ wechselt. Dies passiert, wenn die Ladung des Akkus $900\,\text{mAh}$ beträgt.

$t_1 = \dfrac{900\,\text{mAh}}{500\,\text{mA}} = 1,8\,\text{h}$

Nach $1,8$ Stunden hat der Akku also eine Ladung von $900\,\text{mAh}$ erreicht und wechselt in den Ladestrom, der durch die Funktion $\tilde{I}_k$ beschrieben wird. Der Ladevorgang bricht dann ab, wenn dieser den Wert $10$ erreicht. Die Gleichung $\tilde{I}_k(t_2)= 10$ kannst du mit dem solve-Befehl deines CAS nach $t_2$ lösen.

$t_2 = -\frac{\ln 0,02}{5} +1,8$

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$\,$

(3)

$\blacktriangleright$ Parameterwert bestimmen

Zum Zeitpunkt $t_1$ beträgt die Ladung $Q$ bereits $900\,\text{mAh}.$ Der Zuwachs der Ladung von $t_1$ bis $t_2$ kann durch ein Integral beschrieben werden. Die Gleichung kannst du dann wieder mit dem solve-Befehl deines CAS lösen: