Aufgabe 1

Flüsse treten manchmal über ihre Ufer. Zur Vermeidung solcher Überschwemmungen werden große Wasserbecken eingesetzt, sogenannte Rückhaltebecken. Droht eine Überschwemmung, so wird ein Teil des Flusswassers in das Rückhaltebecken geleitet. Dort wird das Wasser zunächst zurückgehalten und später kontrolliert in den Fluss geleitet.

Im Folgenden soll zunächst der Zufluss in und anschließend der Abfluss des Wassers aus einem Rückhaltebecken betrachtet werden.

Zur Modellierung der momentanen Zuflussrate, mit der das Wasser des Flusses während eines Beobachtungszeitraumes von 40 Stunden in das Rückhaltebecken fließt, wird für $0\leq t\leq 40$ die Funktion $f$ mit der Gleichung

$f(\mathrm{t})=7200\cdot \mathrm{t}^{2}\cdot \mathrm e^{-0,25\cdot \mathrm{t}}$ , mit $\mathrm{t}\in \mathbb{R},$

verwendet. Dabei ist $t$ die Zeit seit Beobachtungsbeginn in Stunden und $f(t)$ die momentane Zuflussrate in $\mathrm{m}^{3}$ Wasser pro Stunde.

In der folgenden Abbildung 1 ist der Graph von $f$ im Intervall $[0;40]$ dargestellt.

Abbildung 1

(1)

Gib den Funktionswert von $f$ an der Stelle $t=20$ an und interpretiere diesen Wert im Sachzusammenhang.

(2)

Weise rechnerisch nach, dass die momentane Zuflussrate im Modell 8 Stunden nach Beobachtungsbeginn maximal ist, und gib die maximale momentane Zuflussrate an.

(3 + 7 Punkte)

(1)

Gib einen Term zur Berechnung der Wassermenge $w(t)$ (in $\text{m}^3$ ) an, die vom Beginn der Beobachtung bis zu einem Zeitpunkt $t$ im Beobachtungszeitraum in das Rückhaltebecken fließt.

[Hinweis: Der Term muss nicht ausgerechnet oder vereinfacht werden.]

(2)

Im Beobachtungszeitraum fließen ungefähr $919\;000\,\text{m}^3$ Wasser in das Rückhaltebecken.

Die Gleichung $\displaystyle\int_{t}^{t+8}f(x)\;\mathrm dx=\dfrac{1}{2}\cdot 919\; 000$ hat die Lösungen $t_1,$ $t_2$ und $t_3$ mit $t_1\approx -4,19,$ $t_2\approx4,26$ und $t_3\approx5,06$ . [Nachweis nicht erforderlich.]

Interpretiere die Gleichung und die Lösungen im Sachzusammenhang.

(3 + 3 Punkte)

Die momentane Abflussrate vom Rückhaltebecken in den Fluss im Beobachtungszeitraum wird für $0\leq t\leq 40$ durch eine Funktion der Schar $g_a$ modelliert:

$g_a(\mathrm{t})=3600\cdot a\cdot t^{3}\cdot \mathrm e^{-0,25t}$ , mit $t\in \mathbb{R},$ $a\in\mathbb{R},$ $a\gt 0$

Dabei ist $g_a(\mathrm{t})$ die momentane Abflussrate in $\mathrm{m}^{3}$ Wasser pro Stunde. Durch den Parameter $a$ wird berücksichtigt, dass der Abfluss reguliert werden kann.

(1)

Zeige, dass für alle $a\gt 0$ ein lokales Maximum von $g_a$ bei $t=12$ vorliegt.

(2)

Bestimme den Wert für den Parameter $a$ so, dass zum Zeitpunkt $t=12$ die momentane Abflussrate $46\;800 \,\text{m}^{3}$ Wasser pro Stunde beträgt.

(5 + 3 Punkte)

Im Folgenden wird zunächst davon ausgegangen, dass der Abfluss so reguliert wird, dass $a = 0,15$ gilt.
Der Graph von $f$ und der Graph von $g_{0,15}$ sind in der Abbildung dargestellt.

Abbildung 2

(1)

Ermittle anhand von der Abbildung 2 näherungsweise den Zeitpunkt im Beobachtungszeitraum, zu dem die Wassermenge im Rückhaltebecken maximal ist, und begründe dein Vorgehen.

(2)

Die Funktion $d$ ist durch die Gleichung $d ( t) = f ( t )-g_{0,15} (t)$ gegeben. Ermittle anhand von der Abbildung näherungsweise den absoluten Hochpunkt $H(t_\text{max} \mid d(t_\text{max}))$ von $d$ im Intervall $[0;40].$
Interpretiere den Zeitpunkt $t_{\text{max}}$ und das Maximum $d(t_\text{max})$ im Sachzusammenhang.

(3)

Weise nach, dass sich am Ende des Beobachtungszeitraumes mehr Wasser im Rückhaltebecken befindet als zu Beginn des Beobachtungszeitraumes.

(4)

Es gibt einen Wert für $a > 0$ , sodass sich am Ende des Beobachtungszeitraumes genauso viel Wasser im Rückhaltebecken befindet wie zu Beginn.

Gib einen Ansatz an, mit dem dieser Wert von $a$ bestimmt werden kann.

(5 + 5 + 3 + 3 Punkte)

(1)

$f(20) \approx 19405,3$

20 Stunden nach Beobachtungsbeginn beträgt die momentane Zuflussrate, mit der das Wasser in das Rückhaltebecken fließt, $19405 \, \text{m}^3$ pro Stunde.

(2)

1. Schritt: Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Da $7200 \neq 0$ und $\mathrm e^{-0,25t}\gt0$ gilt, ergibt sich mit dem Satz vom Nullprodukt:

$\begin{array}[t]{rll} -0,25 t^2 +2t&=& 0 & \\[5pt] t\cdot (-0,25 t +2)&=& 0 \end{array}$

Es folgen also $t_1=0$ und $t_2=8.$

2. Schritt: Hinreichende Bedingung für Extremstellen anwenden

Zweite Ableitung anzeigen

$\( f$

Rechenweg anzeigen

$\( f$

Rechenweg anzeigen

Somit nimmt die momentane Zuflussrate nach $8$ Stunden ihr Maximum an.

Maximale Zuflussrate

$f(8)= 7200 \cdot 8^2\cdot \mathrm e^{-0,25\cdot 8} \approx 62362,5 \left[\dfrac{\,\text{m}^3}{\,\text{h}}\right]$

(1)

$w(t) = \displaystyle\int_{0}^{t}f(x)\;\mathrm dx.$

(2)

Die Zeitpunkte $t_2\approx 4,26$ und $t_3 \approx 5,06$ liegen im Beobachtungszeitraum.
In den Intervallen der Länge 8 Stunden $[4,26 \, (\text{h}) ; \, 12,26\, (\text{h})]$ und $[5,06 \, (\text{h}) ; \, 13,06\, (\text{h})]$ , fließen jeweils $50\,\%$ der im gesamten Beobachtungszeitraum ungefähr zufließenden Wassermenge in das Rückhaltebecken.

(1)

1. Schritt: Ableitungen bestimmen

$g_a(t)=3600\cdot a\cdot t^3 \cdot \mathrm e^{-0,25 \cdot t}$

Mit der Produktregel folgt:

Rechenweg anzeigen

$\( g_a$

Erneute Anwendung der Produktregel ergibt:

Rechenweg anzeigen

$\( g_a$

2. Schritt: Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden

Rechenweg anzeigen

$\( g_a$

3. Schritt: Hinreichende Bedingung für Extremstellen anwenden

$\(g_a$

Rechenweg anzeigen

Für alle $a\gt 0$ ist $-129600\cdot a \cdot \mathrm e^{-3} \lt 0.$ Es liegt folglich für alle $a\gt 0$ ein lokales Maximum an der Stelle $t=12$ vor.

(2)

$\begin{array}[t]{rll} g_a(12)&=& 46800 & \\[5pt] 3600 \cdot a \cdot 12^3 \cdot \mathrm e^{-0,25 \cdot 12} &=& 46800 \end{array}$

Mit dem solve-Befehl des CAS folgt $a \approx 0,15.$

(1)

Die momentane Zuflussrate ist zunächst größer als die momentane Abflussrate, weshalb die Wassermenge im Rückhaltebecken zunimmt. Zum Zeitpunkt $t \approx 13$ sind beide Raten gleich groß, danach ist die momentane Zuflussrate kleiner als die momentane Abflussrate. Die Wassermenge im Rückhaltebecken nimmt deshalb ab.
Die Wassermenge im Rückhaltebecken ist nach etwa 13 Stunden maximal.

(2)

Nach circa 5 Stunden ist die Differenz zwischen der momentanen Zuflussrate und der momentanen Abflussrate am größten. Zu genau diesem Zeitpunkt nimmt die Wassermenge im Rückhaltebecken am schnellsten zu. Der Hochpunkt liegt bei $H(5 \mid 30000)$ , d.h. die Wassermenge im Rückhaltebecken nimmt zu diesem Zeitpunkt um ca. $30000 \,\text{m}^3$ Wasser zu.