Aufgabe 5

Für ein Schwimmbad besitzen $2\,000$ Personen eine Jahreskarte. Für einen bestimmten Tag beschreibt die Zufallsgröße $X$ die Anzahl der Jahreskartenbesitzer, die das Schwimmbad besuchen. Vereinfachend soll davon ausgegangen werden, dass $X$ binomialverteilt ist. Dabei beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Jahreskartenbesitzer an diesem Tag das Schwimmbad besucht, $10\,\%.$

(1)

Es gilt $P(X=210)\approx 2,2\,\%.$

Interpretiere diese Aussage im Sachzusammenhang.

(2)

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mehr als $210$ Jahreskartenbesitzer das Schwimmbad besuchen.

(3)

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Wert von $X$ höchstens um eine halbe Standardabweichung vom Erwartungswert der Zufallsgröße abweicht.

(4)

Bestimme die größte natürliche Zahl $k,$ für die die Wahrscheinlichkeit dafür, dass weniger als $k$ Jahreskartenbesitzer das Schwimmbad besuchen, kleiner als $10\,\%$ ist.

(5)

Beschreibe im Sachzusammenhang ein Zufallsexperiment, das durch das abgebildete Baumdiagramm dargestellt wird.
Gib ein Ereignis an, dessen Wahrscheinlichkeit $1-(r+s)$ beträgt.

Abbildung 1

(2 + 3 + 6 + 4 + 4 Punkte)

Auf dem Gelände des Schwimmbades wird ein Kiosk betrieben. Der Besitzer nimmt vereinfachend an, dass jeder Gast $4\,€,$ $12\,€$ oder gar kein Geld an seinem Kiosk ausgibt. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gast $4\,€$ ausgibt, betrage $50\,\%,$ die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gast $12\,€$ ausgibt, betrage $30\,\%.$

(1)

An dem betrachteten Tag besuchen $660$ Personen das Bad. Bestimme die Höhe der Einnahmen, mit denen der Besitzer des Kiosks rechnen kann.

(2)

Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Besitzer des Kiosks an dem betrachteten Tag erwartete Einnahmen von den Jahreskartenbesitzern hat, die mindestens $1\,000\,€$ betragen.

(3 + 4 Punkte)

An einem bestimmten Tag ist das Schwimmbad zwischen $07:00\,\text{Uhr}$ und $21:00\,\text{Uhr}$ geöffnet. Es soll davon ausgegangen werden, dass der Zeitpunkt, zu dem ein zufällig ausgewählter Badegast das Schwimmbad betritt, mithilfe einer normalverteilten Zufallsgröße mit dem Erwartungswert $14,5$ und der Standardabweichung $2$ beschrieben werden kann. Die zugehörige Dichtefunktion ist in der Abbildung 2 dargestellt; dabei ist $t$ die seit $00:00\,\text{Uhr}$ vergangene Zeit in Stunden.

Abbildung 2

(1)

Gib den Zeitraum mit einer Länge von einer Stunde an, für den mit der größten Anzahl eintreffender Badegäste zu rechnen ist.

(2)

Ermittle grafisch, ob die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Badegast das Schwimmbad zwischen $12:00\,\text{Uhr}$ und $16:00\,\text{Uhr}$ betritt, größer als $50\,\%$ ist.
Erläutere dein Vorgehen.

(3)

Am betrachteten Tag wird das Schwimmbad von $2\,500$ Badegästen besucht. Ermittle, zu welchem Zeitpunkt mit dem Eintreffen des eintausendfünfhundertsten Badegasts zu rechnen ist.

(4)

Beurteile mithilfe einer Rechnung die folgende Argumentation:

„Das Schwimmbad ist nur zwischen $07:00\,\text{Uhr}$ und $21:00\,\text{Uhr}$ geöffnet. Deshalb ist es nicht sinnvoll, das Eintreffen der Badegäste mithilfe einer normalverteilten Zufallsgröße zu beschreiben, die für alle reellen Zahlen definiert ist.“

(2 + 4 + 4 + 4 Punkte)

(1)

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $2,2\,\%$ besuchen an einem bestimmten Tag genau $210$ Jahreskartenbesitzer das Schwimmbad.

(2)

$\blacktriangleright$ TI nspire CAS

menu $\to$ 5 $\to$ 5 $\to$ E: Binomial Cdf

$\blacktriangleright$ Casio Classpad II

Interaktiv $\to$ Verteilungsfunktionen $\to$ Diskret $\to$ binomial CDf

$\begin{array}[t]{rll} P(X \gt 210)&=& 1-P(X\leq 210) \\[5pt] &\approx& 1-0,784 \\[5pt] &=& 0,216 \\[5pt] &=& 21,6\,\% \end{array}$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $21,6\,\%$ besuchen mehr als $210$ Jahreskartenbesitzer das Schwimmbad.

(3)

Da $X$ binomialverteilt ist, folgt:

$\begin{array}[t]{rll} E(X)&=& n\cdot p \\[5pt] &=& 2\,000 \cdot 0,1 \\[5pt] &=& 200\\[10pt] \sigma(X) &=& \sqrt{n\cdot p \cdot (1-p)} \\[5pt] &=& \sqrt{2\,000\cdot 0,1 \cdot 0,9}\\[5pt] &=& \sqrt{180} \\[5pt] &\approx& 13,4 \\[5pt] \end{array}$

Für die Wahrscheinlichkeit folgt:

$\begin{array}[t]{rll} &P(200-\frac{13,4}{2} \leq X \leq 200 +\frac{13,4}{2}) \\[5pt] = & P(200-6 \leq X \leq 200+6) \\[5pt] \approx& 0,372 \\[5pt] =& 37,2\,\% \end{array}$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $37,2\,\%$ weicht der Wert von $X$ um höchstens eine halbe Standardabweichung vom Erwartungswert der Zufallsgröße ab.

(4)

Gesucht ist das größte $k$ mit:

$P(X \lt k) \lt 0,1$

Durch systematisches Ausprobieren mit dem CAS für $P(X \lt k)$ ergibt sich:

$P(X \lt 183) = P(X\leq 182) \approx 0,09$

und

$P(X \lt 184) = P(X\leq 183) \approx 0,11$

Also ist $k=183.$

(5)

Zwei der $2000$ Jahreskartenbesitzer werden zufällig ausgewählt und es wird überprüft, ob diese an diesem Tag das Schwimmbad besuchen.

An dem betrachteten Tag besuchen entweder beide überprüften Jahreskartenbesitzer oder keiner von beiden das Schwimmbad.

(1)

$0,5\cdot 660 \cdot 4\,€ + 0,3\cdot 660 \cdot 12\,€ = 3.696\,€$

Der Kioskbesitzer kann am betrachteten Tag mit Einnahme in einer Höhe von $3.696\,€$ rechnen.

(2)

$n$ bezeichnet die benötigte Anzahl an Jahreskartenbesitzern, die an dem Tag in das Schwimmbad kommen.

$\begin{array}[t]{rll} 0,5\cdot n \cdot 4\,€ + 0,3\cdot n\cdot 12\,€ &\geq & 1\,000\,€ \\[5pt] 2\,€\cdot n + 3,6\,€ \cdot n &\geq& 1\,000\,€ \\[5pt] 5,6\,€ \cdot n&\geq & 1\,000\,€ &\quad \scriptsize \mid\; : 5,6\,€\\[5pt] n&\geq& 178,57 \end{array}$

Für die Wahrscheinlichkeit folgt mit dem CAS:

$P(X\geq 179) \approx 0,947 = 94,7\,\%$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $94,7\,\%$ hat der Kioskbesitzer erwartete Einnahmen von den Jahreskartenbesitzern, die mindestens $1\,000\,€$ betragen.

(1)

Im Zeitraum von $14:00$ Uhr bis $15:00$ Uhr ist mit der größten Anzahl eintreffender Badegäste zu rechnen.

(2)

Der Flächeninhalt der in der Abbildung grün eingezeichneten Fläche entspricht der Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Badegast das Schwimmbad zwischen $12:00$ Uhr und $16:00$ Uhr betritt.
Die Fläche ist eindeutig größer als $12$ Kästchen. Jedes Kästchen hat einen Flächeninhalt von $1\cdot 0,05 =0,05.$ Der Flächeninhalt der grün markierten Fläche beträgt also mehr als $12\cdot 0,05 = 0,6 \gt 0,5.$
Die zugehörige gesuchte Wahrscheinlichkeit ist damit größer als $50\,\%.$

(3)

Am betrachteten Tag betreten $2\,500$ Badegäste das Schwimmbad. Wenn der Eintausendfünfhundertste Badegast das Schwimmbad betritt, haben $\frac{1\,500}{2\,500} =60\,\%$ der Badegäste das Schwimmbad betreten. Es ist also der Zeitpunkt gesucht, bis zu dem ein Badegast mit einer Wahrscheinlichkeit von $60\,\%$ das Schwimmbad betreten hat.
Bezeichne mit $Y$ die Zufallsgröße, die die zufällige Uhrzeit beschreibt, zu der ein Besucher des Schwimmbades das Schwimmbad betritt. Diese ist laut Aufgabenstellung normalverteilt mit $\mu=14,5$ und $\sigma= 2.$
Bestimme also $k$ mit $P(7\leq Y\leq k) = 0,6.$ Löse die Gleichung mit dem solve-Befehl des CAS.
Es ergibt sich $k\approx 15.$

Etwa gegen $15:00\,\text{Uhr}$ kann man damit rechnen, dass der Eintausendfünfhundertste Besucher das Schwimmbad betritt.

(4)

Die Argumentation würde nur dann greifen, wenn eine nicht vernachlässigbare Wahrscheinlichkeit der Besuchszeiten außerhalb der Öffnungszeiten liegen würde.
Mit dem CAS erhält man:

$... \approx 0,000666$

Vollständige Lösung anzeigen

Die Modellierung ordnet den Zeiten außerhelb der Öffnungszeiten also eine Wahrscheinlichkeit zu, die nahezu Null und damit vernachlässigbar ist.

Die Argumentation trifft auf den vorliegenden Sachverhalt also nicht zu.