Aufgabe 2

Gegeben sind die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a$ und $g_a$ mit
$f_a(x)=-\dfrac{a}{250} x^4+ \dfrac{1}{25}x^3,$ $a \in \mathbb{R},$ $a>0$ sowie
$g_a(x)=f_a(x)-\dfrac{3}{5}x.$

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $g_1.$

Graph einer Funktion mit x- und y-Achse, zeigt eine kurvenförmige Linie.

Abbildung 1

(1)

Berechne für den Graphen von $f_1$ die Koordinaten der Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen sowie die Koordinaten des Extrempunktes.
Zeichne den Graphen von $f_1$ in die Abbildung 1 ein.

(6 P)

(2)

Gib an, für welche Werte von $x$ der Graph von $f_1$ oberhalb des Graphen von $g_1$ verläuft und für welche unterhalb. Beründe deine Angabe.

(3 P)

(3)

Für jeden Wert von $a$ gilt:

$\text{I}$ Die Funktionsterme von $f_a$ und $g_a$ unterscheiden sich nur um den Summanden $-\dfrac{3}{5}x.$

$\text{II}$ Der Graph von $f_a$ hat genau zwei Wendepunkte, deren $x$ -Koordinaten 0 und $\dfrac{5}{a}$ sind.

Gib an, was sich aus $\text{I}$ und $\text{II}$ hinsichtlich der Anzahl und der Lage der Wendepunkte des Graphen von $g_a$ im Vergleich zu den Wendepunkten des Graphen von $f_a$ folgern lässt. Begründe deine Angabe ausgehend von $\text{I}$ und $\text{II}.$

(5 P)

Die Tangente $t_{f_a}$ an den Graphen von $f_a$ im Punkt $\bigg( \dfrac{5}{a} \; \bigg| \; f_a \bigg( \dfrac{5}{a } \bigg) \bigg)$ hat die Steigung $\dfrac{1}{a^2},$ die Tangente $t_{g_a}$ an den Graphen von $g_a$ im Punkt $\bigg( \dfrac{5}{a} \; \bigg| \; g_a \bigg( \dfrac{5}{a}\bigg) \bigg)$ hat die Steigung $\dfrac{5-3a^2}{5a^2}$ .
Der Schnittpunkt dieser beiden Tangenten wird mit $S_a$ bezeichnet.

(1)

Weise nach, dass $S_a$ für jeden Wert von $a$ auf der $y$ -Achse liegt.

(3 P)

(2)

Die Gerade mit der Gleichung $x= \dfrac{5}{a}$ schneidet die $t_{f_a}$ im Punkt $F_a$ und $t_{g_a}$ im Punkt $G_a.$ Das Dreieck $S_aG_aF_a$ hat für keinen Wert von $a$ einen rechten Winkel beim Punkt $S_a.$ [Nachweis nicht erforderlich]

Untersuche, für welche Werte von $a \in \mathbb{R}$ mit $a > 0$ das Dreieck $S_aG_aF_a$ rechtwinklig ist.

(5 P)

Abbildung 2 zeigt schematisch die Profillinie des Längsschnittes einer Skipiste in einer Skihalle. Die Piste ist in Querrichtung nicht geneigt und durchgehend $30 \;\text{m}$ breit.

Grafik eines aufsteigenden Funktionsverlaufs in einem Koordinatensystem mit Achsenbeschriftung.

Abbildung 2

Die Profilinie wird für $0\leq x \leq 41,5$ modellhaft durch den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $p$ mit

Vollständige Funktionsgleichung anzeigen

$p(x)=...$

dargestellt.
Im verwendeten Koordinatensystem beschreibt die $x$ -Achse die Horizontale; eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht $10\; \text{m}$ in der Realität.

(1)

Berechne die größte Neigung der Piste gegenüber der Horizontalen in Prozent.

[Hinweis: Die Randwerte müssen nicht betrachtet werden.]

(4 P)

Über der Piste verläuft in deren Längsrichtung ein Seil. Die beiden Enden des Seils werden im Modell durch $A(5 \mid 2,31)$ und $B(37 \mid 10,68)$ dargestellt; der Verlauf des Seils kann mithilfe einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $h$ mit $h(x)=b \cdot c^x,$ $b>0,$ $c>0$ beschrieben werden.

(2)

Bestimme die Werte von $b$ und $c.$

[Zur Kontrolle: $b\approx 1,818,$ $c \approx 1,049$ ]

(2 P)

(3)

Untersuche, in welchen Bereichen der vertikale Abstand des Seils zur Piste mindestens $3\; \text{m}$ beträgt.

Ermittle die Höhendifferenz, um die die beiden Enden des Seils gemeinsam mindestens angehoben werden müssten, damit das Seil an jeder Stelle von der Piste einen vertikalen Abstand von mindestens $3\; \text{m}$ hat.

(7 BE)

Abbildung 3 zeigt grau markiert die Schneeauflage im unteren Bereich der Piste; dazu wurde Abbildung 2 in Richtung der $y$ -Achse stärker vergrößert als in Richtung der $x$ -Achse. Der Untergrund, auf dem der Schnee aufgebracht ist, wird für $0\leq x \leq 5$ durch die $x$ -Achse dargestellt. Für den übrigen Teil der Piste soll davon ausgegangen werden, dass die in vertikaler Richtung gemessene Schneehöhe $60\; \text{cm}$ beträgt.

Diagramm zur Profilinie einer Piste mit Beschriftungen für Schneeauflage und Untergrund.

Abbildung 3

(4)

Bestimme das Volumen der Schneeauflage der gesamten Piste.

(5)

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(1)

$f_1(x)= -\dfrac{1}{250} x^4 +\dfrac{1}{25}x^3$

Koordinaten der Schnittpunkte von $f_1$ mit den Koordinatenachsen bestimmen

$\begin{array}[t]{rlll} f_1(x) &=& 0 \\[5pt] -\dfrac{1}{250} x^4 +\dfrac{1}{25}x^3 &=& 0 \\[5pt] \dfrac{1}{25}\cdot x^3 \cdot \left( -\dfrac{1}{10} x +1 \right) &=& 0\\[5pt] \end{array}$

Mit dem Satz vom Nullprodukt muss $\dfrac{1}{25}\cdot x^3=0$ oder $-\dfrac{1}{10} x+1=0$ gelten. Daraus folgt $x=0$ oder $x=10.$

Somit sind die Koordinaten der Schnittpunkte mit der $x$ -Achse $\left(0\mid 0 \right)$ und $\left(10\mid 0\right).$ Da $f_1(0)=0$ gilt, befindet sich die Schnittstelle mit der $y$ -Achse ebenfalls im Ursprung.

Koordinaten des Extrempunktes

1. Schritt: Ableitungen von $f_1(x)$ bestimmen

$\(\begin{array}[t]{rlll} f$

$\( f$

2. Schritt: Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden

$\(\begin{array}[t]{rlll} f$

Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt $x^2=0$ ist oder $-\dfrac{2}{125} x+\dfrac{3}{25}=0.$ Daraus folgt $x_1= 0$ und $x_2= \dfrac{15}{2}.$

3. Schritt: Hinreichende Bedingung für lokale Extremstellen anwenden

Wegen $\(f$ ist $x_1=0$ keine Extremstelle.

$\( f$ $= -\dfrac{6}{125}\cdot \left(\dfrac{15}{2}\right)^2+\dfrac{6}{25}\cdot \dfrac{15}{2}$ $= 0,9 \lt 0$

$f_1\left(\dfrac{15}{2}\right)= -\dfrac{1}{250} \left(\dfrac{15}{2}\right)^4 +\dfrac{1}{25} \left(\dfrac{15}{2}\right)^3$ $=\dfrac{135}{32}$

Die Koordinaten des Hochpunktes ergeben sich mit $H \left(\frac{15}{2} \mid \frac{135}{32}\right).$

3. Graphen von $f_1$ einzeichnen

Grafik mit zwei Funktionen, dargestellt in einem Koordinatensystem. Eine Kurve ist grün, die andere grau.

(2)

Es gilt $g_1 (x)= f_1(x)-\dfrac{3}{5}x.$
Die Funktionsterme von $g_1$ und $f_1$ unterscheiden sich folglich nur im Summanden $-\dfrac{3}{5}x.$

Für $x \lt 0$ ist $-\dfrac{3}{5}x \gt 0$ und deshalb verläuft der Graph von $f_1$ unterhalb des Graphen von $g_1.$ Für $x \gt 0$ ist $-\dfrac{3}{5}x \lt0$ und deshalb verläuft der Graph von $f_1$ für $x \gt 0$ oberhalb des Graphen von $g_1.$

(3)

Der Term $-\dfrac{3}{5}x$ hängt linear von $x$ ab, deshalb gilt $\(f_a$ und somit haben die Graphen von $f_a$ und $g_a$ die gleiche Anzahl an Wendepunkten mit denselben Wendestellen.

Die $y$ -Koordinate an $x=0$ ist mit $-\dfrac{3}{5} \cdot 0 = 0$ bei den beiden Graphen gleich. Die $y$ -Koordinate an der Stelle $\dfrac{5}{a}$ ist beim Graphen von $g_a$ kleiner als beim Graphen von $f_a.$

(1)

1. Schritt: Tangentengleichungen aufstellen

Die allgemeine Tangentengleichung ist $t=m\cdot x +b.$

Es gilt $f_a\left(\dfrac{5}{a} \right) = \dfrac{5}{2a^3}.$ Mit der Steigung $\dfrac{1}{a^2}$ und den Koordinaten des Punktes wird der $y$ -Achsenabschnitt bestimmt:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{5}{2a^3}&=& \dfrac{1}{a^2} \cdot \dfrac{5}{a} +b \\[5pt] \dfrac{5}{2a^3}&=& \dfrac{5}{a^3} +b &\quad \scriptsize \mid\; - \dfrac{5}{a^3} \\[5pt] -\dfrac{5}{2a^3}&=&b \end{array}$

Die Tangentengleichung $t_{f_a}$ wird durch $y=\dfrac{1}{a^2}\cdot x -\dfrac{5}{2a^3}$ beschrieben.

Es gilt $g_a\left(\dfrac{5}{a} \right) = \dfrac{5-6a^2}{2a^3}.$ Mit der Steigung $\dfrac{5-3a^2}{5a^2}$ und den Koordinaten des Punktes wird der $y$ -Achsenabschnitt bestimmt:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{5-6a^2}{2a^3}&=& \dfrac{5-3a^2}{5a^2} \cdot \dfrac{5}{a} +b \\[5pt] \dfrac{5-6a^2}{2a^3}&=& \dfrac{25-15a^2}{5a^3} +b & \quad \scriptsize \mid\;-\dfrac{25-15a^2}{5a^3}\\[5pt] -\dfrac{5}{2a^3}&=&b \end{array}$

Die Tangentengleichung $t_{g_a}$ wird durch $y= \dfrac{5-3a^2}{5a^2}\cdot x -\dfrac{5}{2a^3}$ beschrieben.

2. Schritt: $S_a$ bestimmen

Bei den beiden Gleichungen fällt auf, dass der $y$ -Achsenabschnitt $-\dfrac{5}{2a^3}$ ist. Somit folgen die Koordinaten des Schnittpunktes mit $S_a \left(0 \mid -\frac{5}{2a^3}\right)$ und $S_a$ liegt für jeden Wert von $a$ auf der $y$ -Achse.

(2)

Für $t_{f_a}$ gilt $\frac{1}{a^2}\lt0.$ Somit kann für $a\in \mathbb{R}^+,$ kein rechter Winkel liegen im Eckpunkt $F_a$ liegen.
Der rechte Winkel muss folglich im Eckpunkt $G_a$ liegen.

Mit der Tangentengleichung $t_{f_a}$ folgt:

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$a= \pm \frac{1}{3}\sqrt{15}$

Da $a\gt0$ ist, muss $a$ positiv sein. Somit ist das Dreieck $S_aG_aF_a$ für $a=\frac{1}{3}\sqrt{15}$ rechtwinklig.

(1)

Zu berechnen ist die maximale Steigung der Profillinie der Skipiste, also das Maximum von $\(p$

1. Schritt: Ableitungen bilden

$\(p$

2. Schritt: Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden

$\(\begin{array}[t]{rll} p$

Mit dem solve-Befehl des CAS ergibt sich $x=25.$

3. Schritt: Hinreichende Bedingung für Extremstellen anwenden

$\(p$

Das Maximum von $\(p$ ist bei $x=25.$

Die maximale Neigung ergibt sich mit $\(p$ und somit entspricht die Neigung der Piste gegenüber der Horizontalen $40 \,\%.$

(2)

Koordinaten von $A$ in $h(x)$ einsetzen:

$\begin{array}[t]{rlll} h(5) &=& 2,31 & \quad \scriptsize \\[5pt] 2,31 &=& b\cdot c^{ 5} & \quad \scriptsize \mid :c^{ 5}\\[5pt] \frac{2,31}{ c^{ 5}}&=& b \\[5pt] b&=& \frac{2,31}{ c^{ 5}} \\[5pt] \end{array}$

Koordinaten von $B$ in $h(x)$ einsetzen:

$\begin{array}[t]{rlll} h(37) &=& 10,68 & \quad \scriptsize \\[5pt] 10,68 &=& b\cdot c^{ 37} & \quad \scriptsize \mid :c^{ 37} \\[5pt] \frac{10,68}{c^{37}} &=&b \\[5pt] b &=& \frac{10,68}{c^{37}} \\[5pt] \end{array}$

Gleichsetzen mit dem solve-Befehl des CAS liefert $c\approx 1,049.$ Einsetzen in einer der beiden Gleichungen ergibt $b \approx 1,818.$

(3)

Der vertikale Abstand des Seils zur Piste kann für jeden Punkt der Profillinie mithilfe der folgenden Funktionsgleichung angegeben werden:

Vollständige Funktionsgleichung anzeigen

Um den Bereich zu finden, in dem das Seil $3\;\text{m}$ über der Piste hängt, wird $d(x)=3$ mit dem solve-Befehl des CAS gelöst.

Für $5 \lt x\lt 37$ ergeben sich die Stellen $x_1\approx 27,3$ und $x_2 \approx 32,6.$

Tiefste Stelle ermitteln

Mit der graphischen Analyse des Taschenrechners ergibt sich das absolute Minimum der Funktion $d$ im Bereich $x_1 \lt x \lt x_2.$

$\blacktriangleright$ TI nspire CAS

menu $\to$ 6: Graph analysieren $\to$ 2: Minimum

$\blacktriangleright$ Casio Classpad II

Analyse $\to$ Grafische Lösung $\to$ Minimum

Die Koordinaten des Minimums folgen mit $T(30,09 \mid 0,19).$

Im Sachzusammenhang bedeutet dies, dass die tiefste Stelle des Seils einen minimalen vertikalen Abstand von $1,9 \;\text{m}$ zur Piste hat. Folglich müssen die Enden des Seils um $3 \;\text{m}-1,9 \;\text{m}= 1,1 \;\text{m}$ angehoben werden.

(4)

Das Volumen der Schneeauflage berechnet sich aus dem Flächeninhalt der Fläche, die von der Profillinie mit der $x$ -Achse und mit dem Untergrund eingeschlossen wird (grau markierte Fläche in der Aufgabenstellung in Abbildung 3), und der Breite der Piste von $30 \; \text{m}.$

Integral anzeigen

Das Integral kann mit dem TR gelöst werden.

$\blacktriangleright$ TI 84-PLUS

2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 7: $\int f(x)\;\mathrm dx$

$\blacktriangleright$ Casio fx-CG

F5 (G-Solv) $\to$ F6 $\to$ F3: $\int \;\mathrm dx$

Die Schneeauflage hat somit ein Volumen von $7500 \;\text{m}^3$ .

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