Aufgabe 1

Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung $f(x)=9\cdot(x-3)\cdot \mathbb{e}^{-1,5\cdot(x-3)},$ $x\in\mathbb{R}.$ Der Graph der Funktion $f$ ist in Abbildung 1 dargestellt.

Abbildung 1

(1)

Der Graph der Funktion $f$ hat genau einen Schnittpunkt $N$ mit der $x$ -Achse und genau einen Hochpunkt $H.$
Gib die Koordinaten von $N$ an.
Ermittle die Koordinaten des Punktes $H.$

(2)

Der Graph der Funktion $f,$ die $x$ -Achse und die Gerade mit der Gleichung $x = 7$ schließen eine Fläche ein.
Bestimme den Inhalt dieser Fläche.

(3)

Gib den Wert von $\displaystyle\int_{3}^{w}f(x)\;\mathrm dx$ für $w\rightarrow\infty$ und die geometrische Bedeutung dieses Wertes an.

(4)

Für jedes $3\lt u\leq9$ sind $N(3\mid0),$ $P(9\mid0)$ und $Q_u(u\mid f(u))$ die Eckpunkte eines Dreiecks.

(i)

Begründe, dass sich der Flächeninhalt des Dreiecks $NPQ_u$ in Abhängigkeit von $u$ mit der Gleichung $A_{NPQ_u}(u)=3\cdot f(u)$ berechnen lässt.

(ii)

Begründe ohne weitere Rechnung, für welchen Wert von $u$ der Flächeninhalt des Dreiecks $NPQ_u$ maximal wird.

(iii)

Bestimme alle Werte von $u,$ für die das Dreieck $NPQ_u$ einen Flächeninhalt von $4$ Flächeneinheiten hat.

(3 + 2 + 2 + 6 Punkte)

Für ein $z$ mit $\dfrac{11}{3}\lt z\lt\dfrac{13}{3}$ ist der Punkt $R(z\mid f(z))$ gegeben. Der Graph der Funktion $t$ ist die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $R.$ Für $x\lt z$ wird der Graph von $f$ betrachtet. Für $x\geq z$ wird der Graph von $t$ betrachtet. Abbildung 2 auf der folgenden Seite veranschaulicht diese Situation für das Beispiel $z = 3,9.$
Die betrachteten Graphen der Funktionen $f$ und $t$ schließen mit der $x$ -Achse die in Abbildung 2 farbig dargestellte Fläche ein. Der Wert von $z$ kann mithilfe der folgenden Bedingungen so bestimmt werden, dass diese Fläche einen Flächeninhalt von $4$ Flächeneinheiten hat:

$I:$

$t(z)=f(z)$

$II:$

$\(t$

$III:$

$\displaystyle\int_{3}^{z}f(x)\;\mathrm dx+\displaystyle\int_{z}^{c}t(x)\;\mathrm dx=4,$ wobei $c$ die Nullstelle von $t$ ist.

Abbildung 2

(1)

(i)

Begründe die Wahl der Bedingungen $I$ und $II.$

(ii)

Erläutere die linke Seite der Gleichung in Bedingung $III.$

(2)

Aus den Bedingungen folgt $z\approx3,9428.$

(i)

Bestimme für $z = 3,9428$ rechnerisch eine Gleichung der Funktion $t ,$ deren Graph die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $R(z\mid f(z))$ ist.

(ii)

Ermittle die Nullstelle dieser Funktion $t.$

(4 + 4 Punkte)

Für $k\in\mathbb{R}$ und $k\gt0$ ist die Funktionenschar $g_k$ gegeben durch die Gleichung $g_k(x)=4\cdot k^2\cdot (x-3)\cdot \mathbb{e}^{-k\cdot(x-3)},$ $x\in\mathbb{R}.$
Es gilt $g_{1,5}=f.$

(1)

Begründe, dass alle Graphen von Funktionen der Schar $g_k$ nur einen Schnittpunkt mit der $x$ -Achse haben.

(2)

Bestimme rechnerisch die Koordinaten und die Art des Extrempunktes des Graphen von $g_k$ in Abhängigkeit von $k.$
[Zur Kontrolle: Die Extremstelle ist $x=3+\dfrac{1}{k}.$ ]

(3)

Gegeben ist die Funktion $h$ mit $h(x)=\dfrac{4}{\mathbb{e}\cdot(x-3)}$ für $x\in\mathbb{R},$ $x\neq3.$

(i)

Weise nach, dass alle Extrempunkte der Graphen der Funktionenschar $g_k$ auf dem Graphen der Funktion $h$ liegen.

(ii)

Gib einen Punkt des Graphen der Funktion $h$ an, der kein Extrempunkt eines Graphen der Funktionenschar $g_k$ mit $k\gt0$ ist.

(4)

Für $x\geq3$ liegt zwischen der $x$ -Achse und dem Graphen der Funktion $g_k$ die nach recht offene Fläche $A.$
Prüfe rechnerisch, ob der Inhalt der Fläche $A$ vom Parameter $k$ abhängt.

(5)

Die Graphen der Funktionen $g_{1,5}$ und $g_{2,6}$ schneiden sich nur im Punkt $N(3\mid0)$ und in einem weiteren Punkt $S.$

(i)

Gib die Koordinaten des Hochpunktes des Graphen von $g_{2,6}$ an und bestimme die Koordinaten des Schnittpunktes $S$ der Graphen von $g_{1,5}$ und $g_{2,6}.$

(ii)

Skizziere mithilfe dieser Punkte den Graphen der Funktion $g_{2,6}$ in Abbildung 3.

(6)

Für $a\gt 0$ ist der Graph der Funktion $g_a$ in Abbildung 3 dargestellt.

Begründe anhand des Hochpunktes $H_a$ ohne weitere Berechnung, ob der Wert von $a$ größer oder kleiner ist als $1,5.$

Abbildung 3

(2 + 5 + 3 + 3 + 4 + 2 Punkte)

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(1)

Aus der Abbildung kann $N(3\mid0)$ abgelesen werden. Die Koordinaten des Hochpunktes ergeben sich aus der graphischen Analyse mithilfe des GTRs $H\left(\dfrac{11}{3}\,\bigg \vert \,\dfrac{6}{\mathrm e}\right).$

(2)

$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{3}^{7}f(x)\;\mathrm dx&=& F(7)-F(3) \\[5pt] &\approx& 3,93\;\text{[FE]} \end{array}$

(3)

$\lim\limits_{w\to\infty}\displaystyle\int_{3}^{w}f(x)\;\mathrm dx=4\;\text{[FE]}$

Der Flächeninhalt der nach rechts offenen Fläche zwischen dem Graphen von $f$ und der $x$ -Achse beträgt $4\,\text{FE}.$

(4)

(i)

Als Grundseite des Dreiecks $NPQ_u$ kann die Strecke $\overline{NP}$ verwendet werden. Deren Länge ist $9-3=6$ Längeneinheiten. Die Länge der zugehörigen Höhe ist durch $f(u)$ gegeben. Für den Flächeninhalt des Dreiecks gilt:

$A_{NPQ_u}(u)=\dfrac{1}{2}\cdot 6\cdot f(u)=3\cdot f(u)$

(ii)

Da der Flächeninhalt immer der dreifache Wert des Funktionswertes $f(u)$ und der Funktionswert im Hochpunkt maximal ist, wird der Flächeninhalt des Dreiecks $NPQ_u$ für $u=\dfrac{11}{3}$ maximal.

(iii)

$\begin{array}[t]{rll} A_{NPQ_u}&=& 4 \\[5pt] 3\cdot f(u)&=& 4 \\[5pt] 27\cdot (u-3)\mathrm e^{-1,5(u-3)}&=& 4 \end{array}$

Mit dem solve Befehl des CAS ergibt sich $u_1\approx3,20$ und $u_2\approx4,58.$

Für diese beiden Werte hat das Dreieck $NPQ_u$ einen Flächeninhalt von $4$ Flächeneinheiten.

(1)

(i)

Die Bedingungen $I$ und $II$ stellen sicher, dass es sich bei der Funktion $t$ um die Tangente an den Graphen der Funktion $f$ im Punkt $R$ handelt bzw. dass der Übergang „knickfrei“ erfolgt.

(ii)

Mit dem ersten Integral wird der Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von $f$ und der $x$ -Achse über dem Intervall $[3 ; z]$ berechnet. Mit dem zweiten Integral wird der Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von $t$ und der $x$ -Achse über dem Intervall $[z;c]$ berechnet, wobei $c$ die Nullstelle der Funktion $t$ ist. Die Addition ergibt den Flächeninhalt der in der Aufgabe beschriebenen Fläche.

(2)

(i)

Mithilfe des CAS ergibt sich die erste Ableitung von $f$ als:

$\(f$

Es gilt:

$\(f$

$f(3,9428)\approx2,0629$

Somit lautet die Gleichung der Funktion:

$\begin{array}[t]{rll} t(x)&=& -0,9063\cdot (x-3,9428)+2,0629 \\[5pt] &=& -0,9063\cdot x +5,6363 \end{array}$

(ii)

$\begin{array}[t]{rll} t(x)&=& 0 \\[5pt] -0,9063\cdot x +5,6363&=& 0 \end{array}$

Mit dem CAS ergibt sich die Lösung $x\approx6,22.$

(1)

$\begin{array}[t]{rll} g_k(x)&=& 0 \\[5pt] 4\cdot k^2 \cdot (x-3)\cdot \mathrm e^{-k\cdot(x-3)}&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; :4\cdot k^2 \\[5pt] (x-3)\cdot \mathrm e^{-k\cdot(x-3)}&=& 0 \end{array}$

Da $\mathrm e^{-k\cdot(x-3)}\neq0$ und $k^2\neq 0$ gilt, haben alle Graphen von Funktionen der Schar $g_k$ nach dem Satz vom Nullprodukt nur eine Nullstelle bei $x=3.$

(2)

Mit der Produkt- und Kettenregel ergibt sich:

Rechenweg anzeigen

$\( g_k$

1. Schritt: Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden

Rechenweg anzeigen

$\(\begin{array}[t]{rll} g_k$

2. Schritt: Hinreichende Bedingung für Extremstellen anwenden

$\(g_k$ , da $k\gt 0$

Somit befindet sich an der Stelle $x=3+\dfrac{1}{k}$ ein Hochpunkt.

3. Schritt: Koordinaten des Hochpunktes bestimmen

$g_{k}\left(3+\dfrac{1}{k}\right)=4 \cdot k \cdot \mathrm e^{-1}$

Somit liegt der Hochpunkt bei $H\left(3+\dfrac{1}{k}\mid \dfrac{4\cdot k}{\mathrm e}\right)$

(3)

(i)

$h\left(3+\dfrac{1}{k}\right)=\dfrac{4 \cdot k}{\mathrm e}$ . Somit liegen alle Extrempunkte auf dem Graphen von $h.$

(ii)

$\left(0 \mid \dfrac{4}{-3 \cdot \mathrm e }\right)$

Alle Punkte des Graphen von $h$ mit $x\lt 3$ sind zulässige Lösungen.

(4)

Mit dem CAS ergibt sich eine Stammfunktion von der Funktion $g_k$ als:

$G_{k}(x)=-4 \cdot k \cdot\left(x-3+\dfrac{1}{k}\right) \cdot \mathrm e^{-k \cdot(x-3)}$

Rechenweg anzeigen

$\displaystyle\int_{3}^{w}g_k(x)\;\mathrm dx$ $=-4 \cdot k \cdot\left(w-3+\dfrac{1}{k}\right) \cdot \mathrm e^{-k \cdot(w-3)} + 4$

$\lim\limits_{w\to\infty}-4 \cdot k \cdot\left(w-3+\dfrac{1}{k}\right) \cdot \mathrm e^{-k \cdot(w-3)} + 4$

Der erste Summand wird von $\mathrm e ^{-k \cdot(w-3)}$ dominiert. Mit $k>0$ gilt: $\lim _{w \rightarrow \infty}\left( \mathrm e ^{-k \cdot(w-3)}\right)=0.$ Somit gilt $\lim\limits_{w\to\infty}\left(\displaystyle\int_{3}^{w}g_k(x)\;\mathrm dx \right)=4.$ Der Flächeninhalt der Fläche $A$ beträgt also, unabhängig von $k$ , $4\;\text{FE}.$

(5)

(i)

Mithilfe des CAS kann der Hochpunkt des Graphen von $g_{2,6}$ als ungefähr $(3,38 \mid 3,83)$ bestimmt werden und der Schnittpunkt als $S(4\mid2).$

(ii)

(6)

Die $y$ -Koordinate des Hochpunktes $H_a$ des Graphen von $g_a$ ist größer als die $y$ -Koordinate des Hochpunktes des Graphen von $g_{1,5}$ . Da die $y$ -Koordinate des Hochpunktes linear mit $k$ wächst, muss der Parameter $a$ größer sein als $1,5.$

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