Aufgabe 1

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a$ durch die Funktionsgleichung

$f_a(x)= x^2\cdot \mathrm e^{-a\cdot x}$ mit $a \gt 0 .$

Der Graph von $f_a$ wird mit $G_a$ bezeichnet.

(1)

Ermittle denjenigen Wert von $a,$ für den der Punkt $(1 \mid 0,5)$ auf $G_a$ liegt.

(2 BE)

(2)

Berechne die Koordinaten und die Art der Extrempunkte von $G_a$ in Abhängigkeit von $a.$
[Zur Kontrolle: Extremstellen von $f_a$ sind $x = 0$ und $x= \frac{2}{a}.$ ]

(9 BE)

(3)

Begründe, dass der Hochpunkt von $G_a$ für jeden Wert von $a$ im ersten Quadranten liegt, und beschreibe, wie sich seine Lage für wachsende Werte von $a$ ändert.

(3 BE)

(4)

Zeige, dass die Extrempunkte von $G_a$ für alle Werte von $a$ auf dem Graphen der Funktion $g$ mit $g(x) = \dfrac{x^2}{\mathrm e^2}$ liegen.

(3 BE)

Im Folgenden sei $a=0,2$ und $G_{0,2}$ sei der Graph der Funktion $f_{0,2}.$

(1)

Für jeden Wert von $b$ mit $0 \leq b \leq 100$ sind die Punkte $A (0 \mid 0)$ und $B ( b \mid 0)$ sowie der Punkt $C$ gegeben. $C$ hat die $x$ -Koordinate $b$ und liegt auf dem Graphen $G_{0,2}.$
Bestimme denjenigen Wert von $b,$ für den der Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$ maximal ist, und gib den zugehörigen Flächeninhalt an.

(7 BE)

(2)

Die $x$ -Achse, $G_{0,2}$ und die Gerade mit der Gleichung $x = p$ mit $p \gt 0$ schließen ein Flächenstück ein.
Bestimme die Größe dieses Flächenstücks.
Zeige, dass der Inhalt des Flächenstücks auch für beliebig große Werte von $p$ kleiner als $250$ ist.

(6 BE)

In der Abbildung ist der Graph der Funktion $k$ mit $k(x)= -0,3\cdot x^2 \cdot \mathrm e^{-0,2\cdot x}$ für $0\leq x\leq 20$ dargestellt.

Graph einer Funktion mit Achsenbeschriftungen und markierten Punkten A, B, C, D, E.

Abb. 1

(1)

Es gilt $k(x)= -0,3\cdot f_{0,2}(x).$
Beschreibe, wie der Graph von $k$ aus dem Graphen von $f_{0,2}$ hervorgeht.

(2 BE)

(2)

Verbindet man die Punkte $A (0 \mid 0) ,$ $B (5\mid k (5)) ,$ $C(10\mid k (10)) ,$ $D (15\mid k (15))$ und $E (20\mid k (20))$ in dieser Reihenfolge durch Strecken, so liefert die Summe der Längen dieser Strecken einen Näherungswert für die Länge des in der Abbildung dargestellten Graphen von $k$ im Intervall $[0;20].$
Berechne diesen Näherungswert, wobei du $\left|\overline{AB} \right| \approx 5,71 ,$ $\left| \overline{CD} \right| \approx 5,05$ und $\left| \overline{DE} \right| \approx 5,13$ ohne Nachweis verwenden darfst.

(3 BE)

(3)

Beschreibe, wie man unter Verwendung von Strecken zwischen Punkten auf dem in der Abbildung dargestellten Graphen von $k$ im Intervall $[0;20]$ dessen Länge beliebig genau berechnen kann.

(3 BE)

(4)

Die Länge $s$ des Graphen der Funktion $k$ über einem Intervall $[a;b]$ ist gegeben durch

$s= \displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt{1+k‘(x)^2}\;\mathrm dx.$

Bestimme die Länge des Graphen von $k$ im Intervall $[0;20].$

(2 BE)

Bildnachweise [nach oben]

[1]

(1)

$\blacktriangleright$ Wert für $\boldsymbol{a}$ berechnen

Eine Punktprobe liefert:

$-\ln(0,5) = a$

Vollständige Lösung anzeigen

Für $a= -\ln(0,5)$ liegt der Punkt $(1\mid 0,5)$ auf $G_a.$

(2)

$\blacktriangleright$ Koordinaten der Extrempunkte berechnen

1. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden

Für jede Extremstelle $x_E$ muss das notwendige Kriterium $f_a‘(x_E)$ erfüllt sein. Mit dem CAS ergeben sich mögliche Extremstellen zu:

$\begin{array}[t]{rll} f_a‘(x)&=& 0 \\[5pt] x_1&=& 0 \\[5pt] x_2&=& \frac{2}{a} \end{array}$

Mögliche Extremstellen besitzt $f_a$ also an den Stellen $x_1= 0$ und $x_2= \frac{2}{a}.$

Mathematische Eingaben und Berechnungen in einer Softwareanwendung.

Abb. 1: menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 1: Ableitung

2. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen

Mit dem hinreichenden Kriterium kann die Art der Extrema bestimmt werden:

$\begin{array}[t]{rll} f_a‘‘(0)&=& 2 \\[5pt] &\gt & 0 \\[10pt] f_a‘‘\left(\frac{2}{a}\right)&=& -2\cdot \mathrm e^{-2} \\[5pt] &\lt & 0 \\[5pt] \end{array}$

Mathematische Berechnungen und Ableitungen in einer Softwareanwendung.

Abb. 2: Berechnung mit dem CAS

Bei $x_1=0$ handelt es sich also um eine Minimalstelle, bei $x_2= \frac{2}{a}$ um eine Maximalstelle.

3. Schritt: Koordinaten berechnen

$\begin{array}[t]{rll} f_a(0)&=& 0 \\[10pt] f_a\left(\frac{2}{a}\right)&=& \frac{4}{a^2\cdot \mathrm e^{2}} \\[5pt] \end{array}$

Die Graphen von $f_a$ besitzen zwei Extrempunkte, einen Tiefpunkt mit den Koordinaten $T(0\mid 0)$ und einen Hochpunkt $H_a\left(\frac{2}{a}\mid \frac{4}{a^2\cdot \mathrm e^{2}}\right).$

(3)

$\blacktriangleright$ Lage des Hochpunkts begründen

Der Hochpunkt liegt genau dann immer im ersten Quadranten, wenn beide Koordinaten für alle $a\gt 0$ positiv sind.
Die $x$ -Koordinate ist $x_H= \frac{2}{a}.$ Da $2\gt 0$ ist und in der Aufgabenstellung $a\gt 0$ vorgegeben ist, ist die $x$ -Koordinate immer positiv.

Für die $y$ -Koordinate $y_H= \frac{4}{a^2\cdot \mathrm e^{2}}$ gilt analog $4\gt 0,$ $a^2 \gt 0$ und $\mathrm e^2 \gt 0,$ also auch $y_H\gt 0.$

Also liegt der Hochpunkt für jedes $a\gt 0$ im ersten Quadranten des Koordinatensystems.

$\blacktriangleright$ Lage des Hochpunkts für wachsende Werte beschreiben

Sowohl bei der $x$ - als auch bei der $y$ -Koordinate steht der Parameter $a$ nur im Nenner des Bruchs, nicht aber im Zähler. Bei wachsenden Werten von $a$ wird der Gesamtwert des jeweiligen Terms daher geringer. Mit wachsenden Werten von $a$ rückt der Hochpunkt also immer näher in Richtung des Koordinatenursprungs, ohne diesen aber jemals zu erreichen.

(4)

$\blacktriangleright$ Lage der Extrempunkte zeigen

Für den Tiefpunkt gilt:

$\begin{array}[t]{rll} g(0)&=& \frac{0^2}{\mathrm e^2} \\[5pt] &=& 0 \end{array}$

Für den Hochpunkt gilt:

$g\left(\frac{2}{a}\right) = \frac{4}{a^2\cdot\mathrm e^2}$

Vollständige Lösung anzeigen

(1)

$\blacktriangleright$ Maximalen Flächeninhalt bestimmen

1. Schritt: Funktion für den Flächeninhalt aufstellen

Das Dreieck $ABC$ besitzt die drei Eckpunkte $A(0\mid 0),$ $B(b\mid 0)$ und $C(b\mid f_{0,2}(b)).$ Es handelt sich also um ein rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel im Punkt $B.$

Eine der beiden Katheten ist $b$ Längeneinheiten lang. Die Länge der anderen entspricht dem Betrag der $y$ -Koordinate von $C:$

$\begin{array}[t]{rll} f_{0,2}(b)&=& b^2\cdot \mathrm e^{-0,2\cdot b} \\[5pt] \end{array}$

Der Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich daher zu:

$A(b) = \frac{b^3}{2}\cdot \mathrm e^{-0,2\cdot b}$

Vollständige Lösung anzeigen

2. Schritt: Maximum bestimmen

Wie oben ergeben sich mithilfe des notwendigen Kriteriums nun mögliche Maximalstellen von $A:$

$\begin{array}[t]{rll} A‘(b)&=& 0 \\[5pt] b_1 &=& 0 \\[5pt] b_2 &=& 15 \\[5pt] \end{array}$

Für das hinreichende Kriterium folgt:

$\begin{array}[t]{rll} A‘‘(0)&=& 0 \\[5pt] A‘‘(15)&=& \dfrac{-45\cdot \mathrm e^{-3}}{2} \lt 0 \end{array}$

Der einzige Hochpunkt befindet sich also an der Stelle $b= 15.$ Für die Funktionswerte im Hochpunkt und an den Intervallrändern gilt:

$\begin{array}[t]{rll} A(0)&=& 0 \\[5pt] A(15)&\approx& 84,02 \\[5pt] A(100)&\approx& 1,03 \end{array}$

Den maximalen Flächeninhalt besitzt das Dreieck also für $b=15.$ Er beträgt $A\approx 84,02\,\text{FE}.$

(2)

$\blacktriangleright$ Größe des Flächenstücks bestimmen

Die Größe des Flächenstücks kann mithilfe eines Integrals über $f_{0,2}$ berechnet werden.

Die Grenzen des Integrals sind $p$ und die Nullstelle von $f_{0,2}:$

$\begin{array}[t]{rll} f_{0,2}(x)&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] x&=& 0 \end{array}$

Der Flächeninhalt ergibt sich also mithilfe des CAS zu:

$A= ...$

Lösung anzeigen

Mathematische Berechnungen und Formeln auf einem Computerbildschirm.

Abb. 3: menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 3: Integral

Die Größe des Flächenstücks beträgt

$-\left( 5\cdot p^2+50\cdot p +250\right)$ $\cdot \mathrm e^{\frac{-p}{5}} + 250.$

$\blacktriangleright$ Begrenzung des Flächeninhalts zeigen

Da $p\gt 0$ ist, gilt:

$5\cdot p^2+50\cdot p +250 \gt 0,$ da auch $\mathrm e^{\frac{-p}{5}} \gt 0$ gilt, wird von dem Summanden $250,$ immer etwas subtrahiert. Der Wert des obigen Integrals muss also für alle $p$ kleiner als $250$ sein.
Zudem kann er nicht negativ werden, da der Graph nur eine Nullstelle bei $x=0$ besitzt. Der Wert des Integrals könnte nur dann negativ werden, wenn sich ein Teil der Fläche unterhalb der $x$ -Achse befindet, was aber nicht der Fall ist.

(1)

$\blacktriangleright$ Zusammenhang der Graphen beschreiben

Durch den Faktor $0,3$ ist der Graph von $k$ im Vergleich zum Graphen von $f_{0,2}$ entlang der $y$ -Achse gestaucht. Durch das negative Vorzeichen wird er zusätzlich an der $x$ -Achse gespiegelt.

(2)

$\blacktriangleright$ Näherungswert berechnen

Drei der vier benötigten Streckenlängen sind bereits angegeben. Berechne also noch die Länge der Strecke $\overline{BC}:$

$\left| \overline{BC}\right| \approx 5,17$

Vollständige Lösung anzeigen

Der Näherungswert ist die Summe der Streckenlängen:

$21,06$

Vollständige Lösung anzeigen

Der Näherungswert beträgt ca. $21,06\,\text{LE}.$

(3)

$\blacktriangleright$ Verfahren beschreiben

Je kürzer die Strecken zwischen den Punkten sind, desto geringer wird der Abstand zum eigentlichen Graphen. Die Längen der einzelnen Strecken nähern dann die Länge des entsprechenden Teilstücks des Graphen immer besser an. Teilt man das Intervall $[0;20]$ in mehr gleichlange Teilintervalle auf, verwendet also mehr Punkte und berechnet die Streckenlängen zwischen ihnen, kann man die Genauigkeit der Berechnung beliebig weit steigern, da der Wert mit jedem zusätzlichen Punkt genauer wird.

(4)

$\blacktriangleright$ Länge des Graphen berechnen

Mit dem CAS folgt:

$s_k([0;20]) \approx 21,18$

Vollständige Lösung anzeigen

Der Graph von $k$ ist im Intervall $[0;20]$ also ca. $21,18$ LE lang.

Mathematische Gleichungen und Berechnungen in einer Softwareanwendung.

Abb. 4: Berechnung mit dem CAS

Bildnachweise [nach oben]

[1]-[4]

(1)

$\blacktriangleright$ Wert für $\boldsymbol{a}$ berechnen

Eine Punktprobe liefert:

$-\ln(0,5) = a$

Vollständige Lösung anzeigen

Für $a= -\ln(0,5)$ liegt der Punkt $(1\mid 0,5)$ auf $G_a.$

(2)

$\blacktriangleright$ Koordinaten der Extrempunkte berechnen

1. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden

Für jede Extremstelle $x_E$ muss das notwendige Kriterium $f_a‘(x_E)$ erfüllt sein. Mit dem CAS ergeben sich mögliche Extremstellen zu:

$\begin{array}[t]{rll} f_a‘(x)&=& 0 \\[5pt] x_1&=& 0 \\[5pt] x_2&=& \frac{2}{a} \end{array}$

Mögliche Extremstellen besitzt $f_a$ also an den Stellen $x_1= 0$ und $x_2= \frac{2}{a}.$

Mathematische Software zeigt die Definition einer Funktion und deren Ableitung. Ergebnisse der Gleichung werden dargestellt.

Abb. 1: Keyboard $\to$ Math2

2. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen

Mit dem hinreichenden Kriterium kann die Art der Extrema bestimmt werden:

$\begin{array}[t]{rll} f_a‘‘(0)&=& 2 \\[5pt] &\gt & 0 \\[10pt] f_a‘‘\left(\frac{2}{a}\right)&=& -2\cdot \mathrm e^{-2} \\[5pt] &\lt & 0 \\[5pt] \end{array}$

Mathematische Berechnungen in einer Software, mit Funktionen und Ergebnissen angezeigt.

Abb. 2: Berechnung mit dem CAS

Bei $x_1=0$ handelt es sich also um eine Minimalstelle, bei $x_2= \frac{2}{a}$ um eine Maximalstelle.

3. Schritt: Koordinaten berechnen

$\begin{array}[t]{rll} f_a(0)&=& 0 \\[10pt] f_a\left(\frac{2}{a}\right)&=& \frac{4}{a^2\cdot \mathrm e^{2}} \\[5pt] \end{array}$

Die Graphen von $f_a$ besitzen zwei Extrempunkte, einen Tiefpunkt mit den Koordinaten $T(0\mid 0)$ und einen Hochpunkt $H_a\left(\frac{2}{a}\mid \frac{4}{a^2\cdot \mathrm e^{2}}\right).$

(3)

$\blacktriangleright$ Lage des Hochpunkts begründen

Für die $y$ -Koordinate $y_H= \frac{4}{a^2\cdot \mathrm e^{2}}$ gilt analog $4\gt 0,$ $a^2 \gt 0$ und $\mathrm e^2 \gt 0,$ also auch $y_H\gt 0.$

Also liegt der Hochpunkt für jedes $a\gt 0$ im ersten Quadranten des Koordinatensystems.

$\blacktriangleright$ Lage des Hochpunkts für wachsende Werte beschreiben

(4)

$\blacktriangleright$ Lage der Extrempunkte zeigen

Für den Tiefpunkt gilt:

$\begin{array}[t]{rll} g(0)&=& \frac{0^2}{\mathrm e^2} \\[5pt] &=& 0 \end{array}$

Für den Hochpunkt gilt:

$g\left(\frac{2}{a}\right) = \frac{4}{a^2\cdot\mathrm e^2}$

Vollständige Lösung anzeigen

(1)

$\blacktriangleright$ Maximalen Flächeninhalt bestimmen

1. Schritt: Funktion für den Flächeninhalt aufstellen

Das Dreieck $ABC$ besitzt die drei Eckpunkte $A(0\mid 0),$ $B(b\mid 0)$ und $C(b\mid f_{0,2}(b)).$ Es handelt sich also um ein rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel im Punkt $B.$

Eine der beiden Katheten ist $b$ Längeneinheiten lang. Die Länge der anderen entspricht dem Betrag der $y$ -Koordinate von $C:$

$\begin{array}[t]{rll} f_{0,2}(b)&=& b^2\cdot \mathrm e^{-0,2\cdot b} \\[5pt] \end{array}$

Der Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich daher zu:

$A(b) = \frac{b^3}{2}\cdot \mathrm e^{-0,2\cdot b}$

Vollständige Lösung anzeigen

2. Schritt: Maximum bestimmen

Wie oben ergeben sich mithilfe des notwendigen Kriteriums nun mögliche Maximalstellen von $A:$

$\begin{array}[t]{rll} A‘(b)&=& 0 \\[5pt] b_1 &=& 0 \\[5pt] b_2 &=& 15 \\[5pt] \end{array}$

Für das hinreichende Kriterium folgt:

$\begin{array}[t]{rll} A‘‘(0)&=& 0 \\[5pt] A‘‘(15)&=& \dfrac{-45\cdot \mathrm e^{-3}}{2} \lt 0 \end{array}$

Der einzige Hochpunkt befindet sich also an der Stelle $b= 15.$ Für die Funktionswerte im Hochpunkt und an den Intervallrändern gilt:

$\begin{array}[t]{rll} A(0)&=& 0 \\[5pt] A(15)&\approx& 84,02 \\[5pt] A(100)&\approx& 1,03 \end{array}$

Screenshot einer mathematischen Software mit Gleichungen und Berechnungen.

Abb. 3: Berechnung mit dem CAS

Den maximalen Flächeninhalt besitzt das Dreieck also für $b=15.$ Er beträgt $A\approx 84,02\,\text{FE}.$

(2)

$\blacktriangleright$ Größe des Flächenstücks bestimmen

Die Größe des Flächenstücks kann mithilfe eines Integrals über $f_{0,2}$ berechnet werden.

Die Grenzen des Integrals sind $p$ und die Nullstelle von $f_{0,2}:$

$\begin{array}[t]{rll} f_{0,2}(x)&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] x&=& 0 \end{array}$

Der Flächeninhalt ergibt sich also mithilfe des CAS zu:

$A= ...$

Lösung anzeigen

Mathematische Berechnungen und Funktionen in einer interaktiven Software.

Abb. 4: Keyboard $\to$ Math2

Die Größe des Flächenstücks beträgt

$-\left( 5\cdot p^2+50\cdot p +250\right)$ $\cdot \mathrm e^{\frac{-p}{5}} + 250.$

$\blacktriangleright$ Begrenzung des Flächeninhalts zeigen

Da $p\gt 0$ ist, gilt:

(1)

$\blacktriangleright$ Zusammenhang der Graphen beschreiben

Durch den Faktor $0,3$ ist der Graph von $k$ im Vergleich zum Graphen von $f_{0,2}$ entlang der $y$ -Achse gestaucht. Durch das negative Vorzeichen wird er zusätzlich an der $x$ -Achse gespiegelt.

(2)

$\blacktriangleright$ Näherungswert berechnen

Drei der vier benötigten Streckenlängen sind bereits angegeben. Berechne also noch die Länge der Strecke $\overline{BC}:$

$\left| \overline{BC}\right| \approx 5,17$

Vollständige Lösung anzeigen

Der Näherungswert ist die Summe der Streckenlängen:

$21,06$

Vollständige Lösung anzeigen

Der Näherungswert beträgt ca. $21,06\,\text{LE}.$

(3)

$\blacktriangleright$ Verfahren beschreiben

(4)