Aufgabe 2

Auf einer Autobahn entsteht morgens an einer Baustelle häufig ein Stau. An einem bestimmten Tag entsteht der Stau um 06:00 Uhr und löst sich bis 10:00 Uhr vollständig auf. Für diesen Tag kann die momentane Änderungsrate der Staulänge von der Entstehung bis zur Auflösung des Staus mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit

$f(x)= x \cdot(8-5 x) \cdot\left(1-\dfrac{x}{4}\right)^2$

beschrieben werden. Dabei gibt $x$ die nach 06:00 Uhr vergangene Zeit in Stunden und $f(x)$ die momentane Änderungsrate der Staulänge in Kilometer pro Stunde an.

(1)

Nenne die Zeitpunkte, zu denen die momentane Änderungsrate der Staulänge den Wert null hat, und begründe anhand der Struktur des Funktionsterms von $f,$ dass es keine weiteren solcher Zeitpunkte gibt.

(2)

Es gilt $f(2)\lt 0.$
Gib die Bedeutung dieser Tatsache im Sachzusammenhang an.

(3)

Bestimme den Zeitpunkt, zu dem die Staulänge am stärksten zunimmt.

Zeige, dass der zugehörige Wert der momentanen Änderungsrate zwischen $2 \;\frac{\text{km}}{\text{h}}$ und $3 \;\frac{\text{km}}{\text{h}}$ liegt.

(4)

Gib den Zeitpunkt an, zu dem der Stau am längsten ist. Begründe deine Angabe.

Im Sachzusammenhang ist neben der Funktion $f$ die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $s$ mit

$s(x)=\left(\dfrac{x}{4}\right)^2 \cdot(4-x)^3$

von Bedeutung.

(5)

Begründe, dass die folgende Aussage richtig ist:

Die Staulänge in Kilometern kann für jeden Zeitpunkt von 06:00 Uhr bis 10:00 Uhr durch die Funktion $s$ angegeben werden.

Bestätige rechnerisch, dass sich der Stau um 10:00 Uhr vollständig aufgelöst hat.

(6)

Berechne die Zunahme der Staulänge von 06:30 Uhr bis 08:00 Uhr und bestimme für diesen Zeitraum die durchschnittliche Änderungsrate der Staulänge.

(7)

Bestimme denjenigen Zeitpunkt zwischen 06:00 Uhr und 10:00 Uhr, zu dem die Staulänge $0,5 \;\text{km}$ geringer ist als eine Stunde vorher.

(8)

Für einen anderen Tag wird die momentane Änderungsrate der Staulänge für den Zeitraum von 06:00 Uhr bis 10:00 Uhr durch den in der Abbildung 1 gezeigten Graphen dargestellt. Dabei ist $x$ die nach 06:00 Uhr vergangene Zeit in Stunden und $y$ die momentane Änderungsrate in Kilometer pro Stunde.

Abbildung 1

Um 07:30 Uhr hat der Stau eine bestimmte Länge. Es gibt einen anderen Zeitpunkt, zu dem der Stau die gleiche Länge hat.

Markiere diesen Zeitpunkt näherungsweise in der Abbildung 1 und begründe dein Vorgehen.

(3 + 1 + 3 + 2 + 4 + 3 + 3 + 3 Punkte)

Betrachtet wird die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $l_{a ; b}$ mit

$l_{a ; b}(x)=16 \cdot \frac{a}{b} \cdot x^2 \cdot\left(1-\frac{x}{b}\right)^3$ und $a, b \in \mathbb{R},$ $a \gt 0,$ $b \gt 0.$

(1)

Bestimme die lokalen Extremstellen von $l_{a ; b}$ und die Art dieser Extremstellen in Abhängigkeit von $b.$

$\big[$ Zur Kontrolle: Der einzige lokale Hochpunkt des Graphen von $l_{a ; b}$ befindet sich an der Stelle $x=0,4 \cdot b .\big]$

(2)

Für geeignete Parameter $a_s$ und $b_s$ ist die Funktion $l_{a_s ; b_s}$ identisch mit der Funktion $s$ (aus Aufgabenteil a)).

Bestimme die Parameter $a_s$ und $b_s.$

Eine Verkehrszentrale überwacht den Autobahnverkehr in der Umgebung. Die Computersysteme der Verkehrszentrale erhalten ständig Daten von Sensoren und Kameras, die von einer Software verarbeitet werden.

Die Software modelliert Staulängen mit den Funktionen $l_{a ; b}$ . Dabei gibt $x$ mit $0 \leq x \leq b$ die vergangene Zeit in Stunden ab der Entstehung des Staus und $l_{a ; b}(x)$ die Staulänge in Kilometer an.

(3)

Auf einem Display wird ein Stau angezeigt, der um 06:00 Uhr entstanden ist. Für die Modellierung dieses Staus verwendet die Software die Parameter $a=2,4$ und $b=12.$

Berechne den Zeitpunkt, zu dem die vorhergesagte Staulänge erstmals nach der Entstehung 10 Kilometer beträgt.

Um 06:40 Uhr schaltet eine Mitarbeiterin der Verkehrszentrale eine Reihe von computergesteuerten Verkehrszeichen - ein sogenanntes Leitsystem - ein, die bei der Reduzierung des Staus helfen sollen. Dadurch ändern sich die Parameter der Modellierung für die Zeit nach 06:40 Uhr auf $a=1,75$ und $b=8.$

(4)

Berechne, um wie viel Prozent die vorausgesagte maximale Staulänge durch das Einschalten des Leitsystems reduziert wird.

(5)

Zusätzlich zum Leitsystem soll ein Polizeieinsatz bei der Reduzierung des Staus helfen. Die Polizei will dafür sorgen, dass die Staulänge ab 11:00 Uhr konstant mit der Änderungsrate abnimmt, die die Software für 11:00 Uhr vorhersagt.

(i)

Ermittle unter diesen Voraussetzungen grafisch anhand von Abbildung 2, wann sich der Stau aufgelöst haben wird.

(ii)

Überprüfe dein Ergebnis aus (i) durch eine geeignete Rechnung.

Abbildung 2

(4 + 2 + 2 + 4 + 6 Punkte)

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(1)

Aus $f(x)=0$ folgt:

$x_1=0,$ $x_2=1,6$ und $x_3=4$

Dies entspricht den Zeitpunkten 06:00 Uhr, 07:36 Uhr und 10:00 Uhr.

Der Funktionsterm von $f$ besteht aus vier Linearfaktoren, von denen zwei übereinstimmen. Damit kann $f$ maximal drei Nullstellen besitzen und es gibt daher nur die oben genannten drei Zeitpunkte, zu denen die momentane Änderungsrate der Staulänge den Wert null hat.

(2)

Um 08:00 Uhr nimmt die Staulänge ab.

(3)

Zeitpunkt mit der stärksten Zunahme bestimmen

Mit dem CAS wird das Maximum der Funktion $f$ im Intervall $[0;4]$ bestimmt. Daraus ergibt sich, dass das Maximum für $x\approx 0,62$ mit ca. $2,17$ angenommen wird.

Die Staulänge nimmt also ca. 0,62 Stunden nach 06:00 Uhr am stärksten zu.

$0,62\cdot 60 = 37,2\;[\text{min}]$

Um ca. 06:37 Uhr nimmt die Staulänge am stärksten zu.

Zeigen, dass $\boldsymbol{2\leq f(0,62)\leq3}$ gilt

$f(0,62)$ $=-\dfrac{5}{16}\cdot 0,62^4$ $+3\cdot 0,62^3$ $-9\cdot 0,62^2$ $+8\cdot 0,62$ $\approx 2,17\;\left[\frac{\text{km}}{\text{h}}\right]$

Damit liegt die momentane Änderungsrate also zwischen $2\;\frac{\text{km}}{\text{h}}$ und $3\;\frac{\text{km}}{\text{h}}.$

(4)

Der Stau ist um 07:36 Uhr am längsten.

Die Länge des Staus nimmt genau dann zu, wenn $f(x) \gt 0.$
Dies ist zwischen der ersten und zweiten Nullstelle der Fall. Bis 07:36 Uhr nimmt die Staulänge daher zu und ab 07:36 Uhr bis 10:00 Uhr nimmt sie dann wieder ab.

(5)

Aussage begründen

Die Funktion $f$ modelliert die Änderungsrate der Staulänge im Zeitraum von 06:00 Uhr bis 10:00 Uhr. Die Staulänge wird also durch die Stammfunktion von $f$ beschrieben, die für $x=0$ den Wert null annimmt.

$\(\begin{array}[t]{rll} s$

Zudem gilt $s(0)$ $=\left(\dfrac{0}{4}\right)^2$ $\cdot (4-0)^3$ $= 0.$

Somit kann die Staulänge zu jedem Zeitpunkt von 06:00 Uhr bis 10:00 Uhr durch die Funktion $s$ angegeben werden.

Auflösung des Staus

Vier Stunden nach Entstehung des Staus ist es 10:00 Uhr, daraus folgt:

$s(4)$ $=\left(\dfrac{4}{4}\right)^2$ $\cdot (4-4)^3$ $= 1$ $\cdot 0$ $= 0 \;\text{[km]}$

(6)

Zunahme der Staulänge berechnen

$s(2)-s(0,5)\approx 2\;[\text{km}] - 0,7\;[\text{km}]$ $= 1,3 \;[\text{km}]$

Die Länge des Staus hat zwischen 06:30 Uhr und 08:00 Uhr damit um ca. $1,3\;[\text{km}]$ zugenommen.

Durchschnittliche Änderungsrate bestimmen

$\dfrac{s(2)-s(0,5)}{2-0,5} \approx\frac{1,3\;\text{km}}{1,5\;\text{h}} \approx 0,9\frac{\text{km}}{\text{h}}.$

(7)

Gesucht ist der Zeitpunkt $x$ mit $s(x)=s(x-1)-0,5.$

Eingabe dieser Gleichung in den CAS und nach $x$ auflösen liefert im Intervall $[0;4]:$

$x_1\approx 0,53$

$x_2\approx 2,32$

Da $x_1\lt1$ und der Stau erst um 06:00 Uhr entsteht, ist $x_2=2,32$ der gesuchte Wert für $x.$ Mit $0,32\cdot60=19,2 \;[\text{min}]$ ist der gesuchte Zeitpunkt ca. 08:19 Uhr.

(8)

Die Länge des Staus wird durch den Inhalt der Fläche, die der Graph von $f$ im Intervall $[0;b]$ mit der $x$ -Achse einschließt, beschrieben. Ist der Flächeninhalt der Flächen, die der Graph mit der $x$ -Achse für $1,5\leq x\leq a$ oberhalb der $x$ -Achse und $a\leq x \leq b$ unterhalb der $x$ -Achse einschließt, gleich groß, so entspricht $b$ dem gesuchten Zeitpunkt.

(1)

1. Schritt: Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden

Mit dem CAS lässt sich die erste Ableitungsfunktion von $l_{a;b}$ bestimmen und mit Null gleichsetzen:

$\(\begin{array}[t]{rll} l_{a;b}$

2. Schritt: Hinreichendes Kriterium für Extremstellen überprüfen

Mit dem CAS und mit $a\gt 0$ und $b\gt 0$ ergibt sich:

$\(l_{a;b}$

3. Schritt: Art der Extremstellen ermitteln

Somit verfügt der Graph von $l_{a ; b}$ an der Stelle $0$ über einen Tiefpunkt, an der Stelle $0,4 \cdot b$ über einen Hochpunkt und an der Stelle $b$ über einen Sattelpunkt.

(2)

Es ist $s(x)= \left( \dfrac{x}{4}\right)^2\cdot (4-x)^3$

Daraus lassen sich die Nullstellen $x=0$ und $x=4$ ablesen.

Die Nullstellen von $l_{a;b}$ lassen sich ebenfalls mit dem Satz vom Nullprodukt bestimmen:

Es gilt $x_1= 0$

$\begin{array}[t]{rll} 1- \dfrac{x}{b}&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; -1 \\[5pt] - \dfrac{x}{b}&=& -1&\quad \scriptsize \mid\; \cdot (-b)\\[5pt] x_2 &=& b \end{array}$

Durch den Vergleich der beiden Nullstellen ergibt sich also $b_s=4.$

$\begin{array}[t]{rll} 0,4 \cdot b_s&=& 1,6&\quad \scriptsize \mid\;:0,4 \\[5pt] b_s&=& 4 \end{array}$

Gleichsetzen der Funktionsterme liefert mit dem CAS:

Rechenweg anzeigen

$a_s=1$

(3)

$l_{2,4 ; 12}(x)=10$ hat laut CAS die Lösungen $x \approx-1,5, x \approx 2,5$ und $x \approx 7,4$ .

Die Staulänge von 10 Kilometern wird demnach erstmals um ca. 08:30 Uhr erreicht.

(4)

Mit den Parametern $a=2,4$ und $b=12$ und dem CAS ergibt sich das Maximum von $l_{2,4;12}$ zu ca. $15,9.$ Die vorhergesagte maximale Staulänge beträgt vor dem Einschalten des Leitsystems also ca. 15,9 Kilometer.

Für $a=1,75$ und $b=8$ ergibt sich ebenfalls mit Hilfe des CAS eine vorhergesagte maximale Staulänge von ca. 7,7 Kilometern.

$\dfrac{7,7 \;\text{km}}{15,9 \;\text{km}} \approx 0,48$

Die von der Software vorhergesagte Staulänge reduziert sich durch den Einsatz des Leitsystems um ca. $52\,\%.$

(5)

(i)

Tangente an der Stelle $x=5$ einzeichnen:

Nullstelle der Tangente: $x_0\approx 6,7$

Folglich wird sich der Stau ca. gegen 12:40 Uhr aufgelöst haben.

(ii)

Es gilt:

$l_{1,75 ; 8}(5)=\dfrac{4725}{1024} \approx 4,614$

$l_{1,75 ; 8}^{\prime}(5)=-\dfrac{2835}{1024} \approx-2,769$

Tangentengleichung aufstellen:

$\begin{array}[t]{rll} y_t&=&m\cdot x +b \\[5pt] \dfrac{4725}{1024}&=&-\dfrac{2835}{1024}\cdot 5+b \end{array}$

Mit dem solve-Befehl des CAS ergibt sich $b=\dfrac{4725}{256} \approx 18,457.$

Darus folgt $y_t= \dfrac{2835}{1024} \cdot x+\dfrac{4725}{256} \approx-2,769 \cdot x+18,457.$

Mit dem CAS folgt für $y_t=0,$ dass die Tangente die $x$ -Achse bei $x=\dfrac{20}{3} \approx 6,667$ schneidet.

Die Rechnung bestätigt, dass sich der Stau gegen 12:40 Uhr aufgelöst haben wird.

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