A1

Gegeben ist eine in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=x^4-k \cdot x^2,$ wobei $k$ eine positive reelle Zahl ist. Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f.$

Abbildung 1

(1)

Zeige, dass $\(f$ eine Gleichung der ersten Ableitungsfunktion von $f$ ist.

(2)

Die beiden Tiefpunkte des Graphen von $f$ haben jeweils die $y$ -Koordinate $-1$ .
Ermittle den Wert von $k.$

(1 + 4 Punkte)

Die Funktion $f$ ist gegeben durch $f(x)=-x^3+9x^2-23x+15,$ $x\in\mathbb{R}.$ Die Funktion $F$ ist eine Stammfunktion zur Funktion $f.$ Der Graph von $f$ ist in Abbildung 2 dargestellt.

Abbildung 2

(1)

Interpretiere die Aussage $F(5)-F(1)=0$ in Bezug auf den Graphen von $f.$

(2)

Berechne $\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)\;\mathrm dx.$

(2 + 3 Punkte)

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=(x^2+2x)\cdot \mathrm e^{-x+4}$ mit $x \in \mathbb{R}.$
Der Graph von $f$ ist in Abbildung 3 dargestellt.

Abbildung 3

(1)

Die Funktion $f$ besitzt genau zwei Extremstellen.
Ermittle die beiden Extremstellen von $f.$
Hinweis: Ein Nachweis der hinreichenden Bedingung ist nicht erforderlich.

(2)

Skizziere in Abbildung 3 den Graphen der ersten Ableitungsfunktion von $f.$
Hinweis: Die Größe der $y$ -Werte kann dabei unberücksichtigt bleiben.

(3 + 2 Punkte)

Für jedes $a \in \mathbb{R}$ ist durch die Gleichung

$f_a (x)=\dfrac{1}{2}(x+2)(3x+a)^2 \mathrm e^x, x \in \mathbb{R},$

eine Funktion $f_a$ gegeben.

In Abbildung 4 ist der Graph der Funktion $f_a$ für $a=0$ abgebildet.

Abbildung 4

(1)

Es gibt genau einen Wert von $a,$ sodass die Funktion $f_a$ nur eine Nullstelle besitzt.
Ermittle diesen Wert von $a.$

(2)

Ermittle, für welche Werte von $a$ der Punkt $P(3 \mid 90\mathrm e^3)$ auf dem Graphen der Funktion $f_a$ liegt.

(2 + 3 Punkte)

Betrachtet werden die Ebene $E:x_1-x_2+x_3-3=0$ und für $a\in\mathbb{R}$ die Gerade $g_a:\overrightarrow{x}=\pmatrix{1\\-2\\0}+s\cdot \pmatrix{2\\1+a\\2}$ mit $s\in \mathbb{R}.$

(1)

Bestimme, denjenigen Wert von $a,$ für den die Gerade $g_a$ senkrecht zu $E$ steht.

(2)

Untersuche, ob es einen Wert von $a$ gibt, für den die Gerade $g_a$ in $E$ liegt.

(2 + 3 Punkte)

Gegeben sind die Punkte $A(2 \mid -3 \mid 1)$ und $B(2 \mid 3 \mid 1).$

(1)

Begründe, dass die Gerade durch $A$ und $B$ parallel zur $x_2$ -Achse verläuft.

(2)

Der Punkt $C$ liegt auf der $x_2$ -Achse. Die Gerade durch $A$ und $C$ steht senkrecht zur Geraden durch $B$ und $C.$

Bestimme die Koordinaten aller Punkte, die die beschriebenen Eigenschaften des Punktes $C$ haben.

(1 + 4 Punkte)

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(1)

$\(\begin{array}[t]{rlll} f(x)&= & x^4-k\cdot x^2& \quad \scriptsize \\[5pt] f$

(2)

Mit der notwendigen Bedingung für Extremstellen folgt:

$\(\begin{array}[t]{rlll} f$

Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt $x_1=0$ oder $2x^2-k=0.$

$\begin{array}[t]{rll} 2x^2-k &= & 0 \quad \scriptsize \mid +k \mid :2\\[5pt] x^2 &= & \frac{k}{2} \quad \scriptsize \mid \sqrt{\,\,} \\[5pt] x_{2/3} &= & \pm \sqrt{\frac{k}{2}}& \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Auf die hinreichende Bedingung kann verzichtet werden, weil aus der Aufgabe bekannt ist, dass es genau zwei Tiefpunkte gibt. Da nicht zwei Tiefpunkte aufeinander folgen können, muss bei $x_1=0$ ein Hochpunkt liegen und zwei Tiefpunkte bei $x_{2,3}$ liegen.

Es soll gelten $f \left(\sqrt{\frac{k}{2}} \right)=-1$ und $f \left(-\sqrt{\frac{k}{2}} \right)=-1.$

Für $f \left(-\sqrt{\frac{k}{2}} \right)=-1$ ergibt sich ebenfalls $k_{1,2}.$

Da $k$ eine positive reelle Zahl sein soll, folgt $k=2.$

(1)

Der Flächeninhalt der Fläche, die der Graph von $f$ und die $x-$ Achse im Intervall $[1;3]$ einschließt, ist genauso groß wie der Flächeninhalt der Fläche, die der Graph von $f$ und die $x-$ Achse im Intervall $[3;5]$ einschließt.

(2)

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$\displaystyle\int_0^1f(x)\;\mathrm dx = \frac{25}{4}$

(1)

Mit der Produktregel folgt:

$\( f$ $+\left(x^2+2x\right)\cdot \left( -1 \right)\cdot \mathrm{e}^{-x+4}$ $=\mathrm{e}^{-x+4}\cdot \left(2-x^2\right)$

Mit der notwendigen Bedingung für Extremstellen folgt:

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Da $\mathrm{e}^{-x+4} \neq 0$ ist, muss $2-x^2=0$ gelten. Damit folgt:

$\begin{array}[t]{rll} 2-x^2&=& 0 \quad \scriptsize \mid \,+x^2\\[5pt] 2&=& x^2 \quad \scriptsize \\[5pt] x^2&=& 2 \quad \scriptsize \mid \,\sqrt{\, \,}\\[5pt] x_{1/2} &=& \pm \sqrt{2} & \quad \scriptsize\\[5pt] \end{array}$

Die Extremstellen sind: $x_1=-\sqrt{2}$ und $x_2=\sqrt{2}.$

(2)

Graph von f(x) und ihrer Ableitung f'(x) mit Achsenbeschriftungen.

(1)

$\begin{array}[t]{rll} f_a(x) &=& 0 &\quad \scriptsize \\[5pt] \frac{1}{2}(x+2)(3x+a)^2 \mathrm e^x &=& 0 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Da $\mathrm{e}^x$ nicht null werden kann, folgt mit dem Satz vom Nullprodukt, dass $x+2=0$ oder $(3x+a)^2=0.$

$x+2=0$ ist erfüllt für $x_1=-2.$

$\begin{array}[t]{rll} (3x+a)^2 &=& 0 \quad \scriptsize \mid \, \sqrt{\, \,}\\[5pt] 3x+a &=& 0 \quad \scriptsize \mid \, -a \mid \, :3\\[5pt] x_2 &=& -\frac{a}{3} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Die Funktion $f_a(x)$ besitzt dann nur eine Nullstelle, wenn $x_1 =x_2.$

$\begin{array}[t]{rll} -2 & =& -\frac{a}{3} \quad \scriptsize \mid \, \cdot (-3)\\[5pt] (-2) \cdot (-3) &=& a &\quad \scriptsize \\[5pt] 6 &=& a &\quad \scriptsize \\[5pt] a&=& 6 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Für $a=6$ hat $f_a$ genau eine Nullstelle.

(2)

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$a = \pm 6-9$

Daraus folgt $a=-3$ oder $a=-15.$

(1)

$E$ und $g_a$ stehen senkrecht zueinander wenn der Richtungsvektor von $g_a$ ein und die Normalenvektoren der Ebene $E$ parallel sind.

Ein Normalenvektor der Ebene $E$ ist $\overrightarrow{n} =\pmatrix{1\\-1\\1}.$

Der Richtungsvektor von $g_a$ ist $\pmatrix{2\\1+a\\2}.$

Damit die beiden Vektoren parallel sind, muss es ein $\lambda$ geben, für welches gilt:

$\pmatrix{1\\-1\\1}\cdot \lambda=\pmatrix{2\\1+a\\2}$

Aus der ersten (und dritten) Zeile folgt $\lambda=2$ und aus der zweiten Zeile folgt $-\lambda = 1+a.$

$\begin{array}[t]{rll} -\lambda&=& 1+a \quad \scriptsize \mid\;\lambda=2 \\[5pt] -2&=& 1+a \quad \scriptsize \mid\;-1 \\[5pt] -3&=&a \\[5pt] a&=& -3 \end{array}$

Für $a=-3$ steht $g_a$ senkrecht zu $E.$

(2)

$g_a$ liegt in der Ebene $E$ wenn der Richtungsvektor parallel zu $E$ verläuft und damit senkrecht zu $\overrightarrow{n}.$ Somit muss das Skalarprodukt überprüft werden.

$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{1\\-1\\1} \circ \pmatrix{2\\1+a\\2} &=&0 &\quad \scriptsize \\[5pt] 1\cdot2+(-1)\cdot(1+a)+1\cdot2 &=& 0 &\quad \scriptsize \\[5pt] 2-1-a+2 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid \, +a\\[5pt] 3 &=& a &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Für $a=3$ sind die Gerade und die Ebene also parallel.

Gibt es einen Punkt, der sowohl auf $g_a$ als auch in $E$ liegt, dann liegt $g_a$ in $E.$ Es wird überprüft, ob der Punkt $\left(1 \mid -2\mid 0\right),$ der auf der Geraden $g_a$ liegt, auch in der Ebene liegt.

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... $0=0$

Somit liegt die Gerade $g_a$ für $a=3$ in $E.$

(1)

$A$ und $B$ haben die gleiche $x_1$ -Koordinate und die gleiche $x_3$ -Koordinate.

(2)

Für die Koordinaten eines Punktes $C$ gilt $(0 \mid c \mid0),$ da $C$ auf der $x_2$ -Achse liegt. Da die Gerade durch $A$ und $C$ senkrecht zur Geraden durch $B$ und $C$ verläuft, muss folgendes gelten:

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$c_{1,2} =\pm 2$

Die Koordinaten der Punkte, die die Eigenschaften des Punktes $C$ haben, sind $C_1(0 \mid -2\mid 0)$ und $C_2(0 \mid 2\mid 0).$

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