Aufgabe 2

Aufgabenstellung

Eine Familie will ihren Bedarf an Wärmeenergie (thermischer Energie) für Heizung und Warmwasser teilweise durch eine thermische Solaranlage (kurz: Solaranlage) decken. Anhand der Angaben des Solaranlagenherstellers und der Verbrauchswerte der Familie aus dem letzten Kalenderjahr wurde das folgende Modell für ein beispielhaftes Kalenderjahr aufgestellt.

Die Leistung der Solaranlage wird durch die Funktion $f$ mit der Gleichung

$f(t)=t^{4}-24t^{3}+144t^{2}+400$ , $t\in\mathbb{R}$ ,

und der thermische Leistungsbedarf der Familie (kurz: Leistungsbedarf) durch die Funktion $g$ mit der Gleichung

$g(t)=-t^{4}+26t^{3}-167,5t^{2}-12,5t+2.053$ , $t\in\mathbb{R}$ ,

modelliert, und zwar für das Zeitintervall $[0;12]$ , das dem Kalenderjahr entspricht.
Dabei fasst man $t$ als Maßzahl zur Einheit $1$ Monat und $f(t)$ sowie $g(t)$ als Maßzahlen zur Einheit $1$ Kilowattstunde pro Monat [kWh/Monat] auf. (Im Modell umfasst jeder Monat $30$ Tage.) Der Zeitpunkt $t=0$ entspricht dem Beginn des Kalenderjahres.
Die Graphen von $f$ und $g$ sind in der Abbildung 1 unten dargestellt.

a) (1) Vergleiche die Graphen von $f$ und $g$ im Sachzusammenhang.

(5P)

(2) Bestimme den Zeitpunkt der maximalen Leistung der Solaranlage und berechne den Maximalwert.

(7P)

(3) Ermittle den Zeitpunkt im Intervall [ $0;12$ ], zu dem der durch $g$ beschriebene Leistungsbedarf der Familie innerhalb dieses Kalenderjahres am stärksten abnimmt.

(8P)

Durch das Integral $\mathop{\displaystyle\int}\limits_{a}^{b}f(t)\, \mathrm dt$ ist im Sachzusammenhang die aus der Solaranlage im Zeitintervall $[a; b]$ abrufbare Energie und durch das Integral $\mathop{\displaystyle\int}\limits_{a}^{b}g(t)\, \mathrm dt$ der Energiebedarf der Familie im Zeitintervall $[a; b]$ für $0\leq a\lt b \leq 12$ in Kilowattstunden [kWh] gegeben.

b) (1) Berechne den Energiebedarf der Familie für das Kalenderjahr.

(4P)

(2) Zu jedem Zeitpunkt, zu dem die Leistung der Solaranlage größer ist als der Leistungsbedarf der Familie, soll die „überschüssige“ Leistung zusätzlich zum Heizen eines Gartenpools genutzt werden.

Ermittle die Energie, die zum Heizen des Gartenpools in dem Kalenderjahr zur Verfügung steht.

(6P)

c) Die Leistung der Solaranlage ist abhängig von der Neigung der aufgestellten Solarmodule. Die Funktion $f_a$ mit der Gleichung

Diagramm eines Solarmoduls mit Angabe des Neigungswinkels.

$\;\;\;\,f_a(t)=a\cdot(t^4-24t^3+144t^2+400)-400\cdot (a^2-1)$ , $t\in\mathbb{R}$ , $0,5\leq a\leq 1,5$ ,

modelliert im Intervall [0;12] diese Leistung für ein Kalenderjahr, wobei der Parameter $a$ eine Kennzahl für die Neigung der Solarmodule ist. Jedem Wert des Parameters $a$ kann über die Gleichung $w=116-66\cdot a$ die Maßzahl für den entsprechenden Neigungswinkel in Grad zugeordnet werden.

In der Abbildung 2 sind beispielhaft für zwei Werte von $a$ die Graphen der jeweils zugehörigen Funktion $f_a$ sowie der Graph von $g$ dargestellt.

(1) Die Funktion $f$ ist eine der Funktionen $f_a$ .
Ermittle für $f$ den zugehörigen Neigungswinkel $w$ der Solarmodule.

(3P)

(2) Zeige, dass der Neigungswinkel stets einen Einfluss auf die Leistung der Solaranlage hat, d. h. dass es keinen Zeitpunkt $t_0$ gibt, zu dem die Gleichung $f_a(t_0)=f(t_0)$ unabhängig vom Parameter $a$ gilt.

(5P)

(3) Weise nach, dass die in einem Jahr aus der Solaranlage abrufbare Energie für $a=1,364$ (d.h. $w\approx 26\,°$ ) am größten ist.

(6P)

(4) Der Solaranlagenhersteller behauptet, dass eine Solaranlage mit der Kennzahl $a=1$ den Energiebedarf der Familie (ohne Heizung des Gartenpools!) in dem Kalenderjahr besser deckt als eine Solaranlage mit der Kennzahl $a=1,364$ (vgl. Abbildung 2).

Überprüfe die Aussage rechnerisch.

(6P)

Diagramm mit zwei sinusförmigen Kurven, die den Energieverbrauch über 12 Monate darstellen.

Abbildung 1

Grafik zeigt den Verlauf von Energieverbrauch über 12 Monate in kWh/Monat.

Abbildung 2

a)(1)
$\blacktriangleright$ Graphen von $\boldsymbol{f}$ und $\boldsymbol{g}$ im Sachzusammenhang vergleichen

Hier sollst du die Graphen von $f$ und $g$ im Sachzusammenhang vergleichen. Die Funktion $f$ modelliert die Leistung der Solaranlage, die Funktion $g$ den Leistungsbedarf der Familie. Du erkennst, dass in den Intervallen $\left[0;3\right]$ und $\left[9,5;12\right]$ der Graph der Funktion $f$ oberhalb des Graphen von $g$ liegt, im Intervall $\left[3;9,5\right]$ ist es gerade andersrum und der Graph von $g$ liegt über dem Graphen von $f$ . Die Graphen von $f$ und $g$ verhalten sich gegenläufig um einen Mittelwert von ca. 1.000.

Im Sachzusammenhang lässt sich dies so deuten, dass im Winter (Intervalle $\left[0;3\right]$ und $\left[9,5;12\right]$ ) weniger Energie produziert wird als benötigt wird und die Solaranlage den Energiebedarf nicht vollständig deckt. Im Sommer (Intervall $\left[3;9,5\right]$ ) wird mehr Energie als benötigt produziert und der Energiebedarf wird vollständig gedeckt.

Um den Juni ( $t=6$ ) ist die Leistung der Solaranlage maximal und der Leistungsbedarf minimal. Um den Jahreswechsel ( $t=0$ bzw. $t=12$ ) ist die Leistung der Solaranlage minimal und der Leistungsbedarf maximal.

(2)
$\blacktriangleright$ Zeitpunkt maximaler Leistung der Solaranlage und Maximalwert bestimmen

Deine Aufgabe ist es den Zeitpunkt der maximalen Leistung der Solaranlage und den dazugehörigen Maximalwert zu bestimmen. Die Leistung der Solaranlage wird durch die Funktion $f$ beschrieben, also suchst du die Maximalstelle und den Maximalwert der Funktion $f$ . Diese kannst du mit dem CAS bestimmen. Eine Extremstelle einer Funktion ist durch die notwendige und hinreichende Bedingung bestimmt. Die Maximalstelle und den Maximalwert kannst du folgendermaßen berechnen:

Bestimme die erste und zweite Ableitung von $f$ .

Wende das notwendige Kriterium an. Für eine potenzielle Extremstelle $t_M$ gilt:
$f‘(t_M)=0$
Setze also $f‘(t)=0$ und löse nach $t$ auf, um die möglichen Extremstellen zu bestimmen.

Hinreichendes Kriterium überprüfen. Ist $f‘‘(t_M) \lt 0$ für eine potenzielle Extremstelle $t_M$ , so handelt es sich bei $t_M$ um eine Maximalstelle.
Setze die potenziellen Extremstellen in die zweite Ableitung ein und überprüfe das Ergebnis auf sein Vorzeichen.

Den Maximalwert kannst du nun bestimmen, indem du die Maximalstelle in die Funktionsgleichung von $f$ einsetzt.

1: Aktionen 1: Define , 3: Algebra 1: Löse

Mathematische Berechnungen und Lösungen zu einer Funktion im Abi 2015, inklusive Werte für dH(t).

Die maximale Leistung der Solaranlage beträgt $1.696\dfrac{\text{kWh}}{\text{Monat}}$ zum Zeitpunkt $t_M=6$ .

(3)
$\blacktriangleright$ Zeitpunkt der größten Abnahme des Leistungsbedarfs ermitteln

Gesucht ist der Zeitpunkt im Intervall $[0;12]$ , zu dem der durch $g$ beschriebene Leistungsbedarf am stärksten abnimmt. Dies kannst du auch folgendermaßen interpretieren:

Deine Aufgabe ist es den Zeitpunkt der maximalen Abnahme des Leistungsbedarfs und den dazugehörigen Wert zu bestimmen. Die Abnahme des Leistungsbedarfs wird durch die Ableitung der Funktion $g$ beschrieben, also suchst du die Minimalstelle und den Minimalwert der Funktion $g‘$ . Diese kannst du mit dem CAS bestimmen. Eine Extremstelle einer Funktion ist durch die notwendige und hinreichende Bedingung bestimmt. Die Minimalstelle und den Minimalwert kannst du folgendermaßen berechnen:

Bestimme die erste, zweite und dritte Ableitung von $g$ .

Wende das notwendige Kriterium an. Für eine potenzielle Extremstelle $t_m$ gilt:
$g‘‘(t_m)=0$
Setze also $g‘‘(t)=0$ und löse nach $t$ auf, um die möglichen Extremstellen zu bestimmen.

Hinreichendes Kriterium überprüfen. Ist $g‘‘‘(t_m) \gt 0$ für eine potenzielle Extremstelle $t_m$ , so handelt es sich bei $t_m$ um eine Minimalstelle.
Setze die potenziellen Extremstellen in die dritte Ableitung ein und überprüfe das Ergebnis auf sein Vorzeichen.

Den Minimalwert kannst du nun bestimmen, indem du die Minimalstelle in die Funktionsgleichung von $g‘$ einsetzt.

Mathematische Gleichungen und Integrale auf einem digitalen Bildschirm.

Mathematische Gleichungen und Berechnungen aus dem Abitur 2015 auf einem Bildschirm.

Zum Zeitpunkt $t_{m}=2,71$ nimmt der Leistungsbedarf innerhalb des Kalenderjahres am stärksten ab.

b)(1)
$\blacktriangleright$ Energiebedarf der Familie für das Kalenderjahr berechnen

Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass durch das Integral $\displaystyle\int_{a}^{b} g(t)\;\mathrm dt$ der Energiebedarf der Familie im Zeitintervall $[a;b]$ gegeben ist. Um den Energiebedarf für das Kalenderjahr zu berechnen, berechnest du das Integral mit den Grenzen $0$ und $12$ .

Mathematische Gleichung zur Definition einer Funktion und Berechnung eines Integrals.

Der Jahresbedarf an Energie der Familie beträgt in etwa $12.274\,\text{kWh}$ .

(2)
$\blacktriangleright$ Berechnen der Energie, die zum Heizen des Pools zur Verfügung steht

Der Pool wird mit der Energie geheizt, welche den Bedarf der Familie übersteigt. Diese Energie ist gerade die Differenz zwischen der von der Solaranlage erzeugten Energie und dem Energiebedarf der Familie. Zum Zeitpunkt $t$ ist diese Leistung somit durch $f(t)-g(t)$ gegeben. Für die überschüssige Energie im Intervall $\left[3;9,5\right]$ berechne das Integral $\displaystyle\int_{3}^{9,5} \left(f(t)-g(t)\right) \;\mathrm dt$ .

Mathematische Gleichungen und Berechnungen auf einem Bildschirm, mit Fokus auf Funktionen und Integrale.

Der Familie stehen somit $6.037,17$ kWh Energie zum Heizen des Pools zur Verfügung.

c)(1)
$\blacktriangleright$ Zeigen, dass $\boldsymbol{f}$ eine der Funktionen $\boldsymbol{f_a}$ ist und zugehöriges $\boldsymbol{w}$ berechnen

Hier musst du ein $a \in [0,5 1,5]$ finden, sodass $f_a=f$ gilt. Schaue dir dazu die beiden Funktionsgleichungen an und leite anhand des Koeffizienten des Terms mit der höchsten Ordnung ein $a$ her, für das du die Behauptung überprüfst und das zugehörige $w$ berechnest.

Da $t^4$ der Term der höchsten Ordnung von $f$ und $f_a$ ist, wähle $a$ so, dass diese dieselben Koeffizienten besitzen, also $a=1$ . Damit gilt:

$f_1(t)=1 \cdot \left(t^4-24 \cdot t^3 + 144 \cdot t^2 +400\right) - 400 \cdot \left(1^2 -1 \right) = t^4-24 \cdot t^3 + 144 \cdot t^2 +400 = f(t)$

Somit hast du die Behauptung nachgewiesen. Berechne nun das zugehörige $w$ :

$\begin{array}[t]{rll} w=& 116 - 66 \cdot a & \scriptsize \mid\; a=1 \text{ einsetzen} \\[5pt] =& 116 - 66 \\[5pt] =& 50 \end{array}$

Also beträgt der zugehörige Neigungswinkel $w=50 ^{\circ}$ .

(2)
$\blacktriangleright$ Zeige, dass $\boldsymbol{f_a(t_0)=f(t_0)}$ unabhängig von $\boldsymbol{a}$ keine Lösung hat

Hier sollst du zeigen, dass die Gleichung $f_a(t_0)=f(t_0)$ unabhängig von $a$ keine Lösung hat. Setze dazu ersetze dazu im Funktionsterm $f_a(t)$ $f(t)$ ein. Und setze die Funktionsterme der beiden Funktionen gleich.

$\begin{array}[t]{rll} f(t)&=&t^4-24t^3+144t^2+400\\[5pt] f_a(t)&=&a\cdot(t^4-24t^3+144t^2+400)-400\cdot(a^2-1)\\[5pt] &=&a\cdot f(t) -400\cdot (a^2-1)\\[5pt] f(t_0)&=&f_a(t_0)\\[5pt] f(t_0)&=&a\cdot f(t_0) -400\cdot (a^2-1)&\quad&\scriptsize\mid\; -f(t_0)\\[5pt] 0&=&f(t_0)\cdot(a-1)- 400\cdot (a^2-1)\\[5pt] 0&=&-400\cdot a^2 + f(t_0)\cdot a -f(t_0) +400\\[5pt] \end{array}$

Es zeigt sich, dass die Lösung der Gleichung von sogar quadratisch von $a$ abhängig ist.

(3)
$\blacktriangleright$ Maximum der Energie

Du sollst zeigen, dass für $a=1,364$ die durch die Solaranlage gewonnene Energie am größten ist. Die gewonnene Energie wird durch das Integral $E(a)=\displaystyle\int_{0}^{12}f_a(t)\;\mathrm dt$ beschrieben. Man somit das Maximum der Funktion $E$ finden. Das kannst du mit dem CAS machen:

4: Analysis 8: Funktionsmaximum

Mathematische Gleichungen und Funktionen auf einem Bildschirm, dargestellt in einem Programm.

Der CAS liefert $a_{max}=\dfrac{341}{250}=1,364$ . Somit ist die in einem Jahr maximale Energie aus der Solaranlage bei $a=1,364$ .

(4)
$\blacktriangleright$ Behauptung des Solaranlagenherstellers begründen

Abbildung 2 liefert dir den Graphen $f_1$ für den Neigungswinkel $w=50^{\circ}$ und den Graphen $f_{1,364}$ für $w=26^{\circ}$ . Die von der Solaranlage mit dem entsprechenden Neigungswinkel bereitgestellte Energie wird durch die Flächen unterhalb der entsprechenden Graphen dargestellt. Zudem ist der Energiebedarf der Familie durch die Fläche unterhalb des Graphen der Funktion $g$ dargestellt.

Nun erkennst du anhand der Abbildung 2, dass die Fläche unterhalb des Graphen von $f_1$ einen größeren Anteil an der Fläche unterhalb von $g$ überdeckt als die Fläche unterhalb von $f_{1,364}$ .

Damit deckt über das ganze Kalenderjahr die Solaranlage mit Neigungswinkel $50^{\circ}$ einen höheren Anteil am Leistungsbedarf der Familie als die Solaranlage mit Neigungswinkel $26^{\circ}$ .

a)(1)
$\blacktriangleright$ Graphen von $\boldsymbol{f}$ und $\boldsymbol{g}$ im Sachzusammenhang vergleichen

(2)
$\blacktriangleright$ Zeitpunkt maximaler Leistung der Solaranlage und Maximalwert bestimmen

Bestimme die erste und zweite Ableitung von $f$ .

Wende das notwendige Kriterium an. Für eine potenzielle Extremstelle $t_M$ gilt:
$f‘(t_M)=0$
Setze also $f‘(t)=0$ und löse nach $t$ auf, um die möglichen Extremstellen zu bestimmen.

Hinreichendes Kriterium überprüfen. Ist $f‘‘(t_M) \lt 0$ für eine potenzielle Extremstelle $t_M$ , so handelt es sich bei $t_M$ um eine Maximalstelle.
Setze die potenziellen Extremstellen in die zweite Ableitung ein und überprüfe das Ergebnis auf sein Vorzeichen.

Den Maximalwert kannst du nun bestimmen, indem du die Maximalstelle in die Funktionsgleichung von $f$ einsetzt.

Interaktiv Define , Aktion Weiterführend solve

Mathematische Berechnungen und Funktionsdefinitionen in einem Software-Interface.

Die maximale Leistung der Solaranlage beträgt $1.696\dfrac{\text{kWh}}{\text{Monat}}$ zum Zeitpunkt $t_M=6$ .

(3)
$\blacktriangleright$ Zeitpunkt der größten Abnahme des Leistungsbedarfs ermitteln

Gesucht ist der Zeitpunkt im Intervall $[0;12]$ , zu dem der durch $g$ beschriebene Leistungsbedarf am stärksten abnimmt. Dies kannst du auch folgendermaßen interpretieren:

Bestimme die erste, zweite und dritte Ableitung von $g$ .

Wende das notwendige Kriterium an. Für eine potenzielle Extremstelle $t_m$ gilt:
$g‘‘(t_m)=0$
Setze also $g‘‘(t)=0$ und löse nach $t$ auf, um die möglichen Extremstellen zu bestimmen.

Hinreichendes Kriterium überprüfen. Ist $g‘‘‘(t_m) \gt 0$ für eine potenzielle Extremstelle $t_m$ , so handelt es sich bei $t_m$ um eine Minimalstelle.
Setze die potenziellen Extremstellen in die dritte Ableitung ein und überprüfe das Ergebnis auf sein Vorzeichen.

Den Minimalwert kannst du nun bestimmen, indem du die Minimalstelle in die Funktionsgleichung von $g‘$ einsetzt.

Screenshot einer mathematischen Software mit Gleichungen und Berechnungen.

Zum Zeitpunkt $t_{m}=2,71$ nimmt der Leistungsbedarf innerhalb des Kalenderjahres am stärksten ab.

b)(1)
$\blacktriangleright$ Energiebedarf der Familie für das Kalenderjahr berechnen

Bild eines mathematischen Programms, das eine Funktion definiert und eine Integralapproximation zeigt.

Der Jahresbedarf an Energie der Familie beträgt in etwa $12.274\,\text{kWh}$ .

(2)
$\blacktriangleright$ Berechnen der Energie, die zum Heizen des Pools zur Verfügung steht

Mathematische Software mit definierten Funktionen und einer Integralberechnung. Ergebnis angezeigt.

Der Familie stehen somit $6.037,17$ kWh Energie zum Heizen des Pools zur Verfügung.

c)(1)
$\blacktriangleright$ Zeigen, dass $\boldsymbol{f}$ eine der Funktionen $\boldsymbol{f_a}$ ist und zugehöriges $\boldsymbol{w}$ berechnen

Da $t^4$ der Term der höchsten Ordnung von $f$ und $f_a$ ist, wähle $a$ so, dass diese dieselben Koeffizienten besitzen, also $a=1$ . Damit gilt:

$f_1(t)=1 \cdot \left(t^4-24 \cdot t^3 + 144 \cdot t^2 +400\right) - 400 \cdot \left(1^2 -1 \right) = t^4-24 \cdot t^3 + 144 \cdot t^2 +400 = f(t)$

Somit hast du die Behauptung nachgewiesen. Berechne nun das zugehörige $w$ :

$\begin{array}[t]{rll} w=& 116 - 66 \cdot a & \scriptsize \mid\; a=1 \text{ einsetzen} \\[5pt] =& 116 - 66 \\[5pt] =& 50 \end{array}$

Also beträgt der zugehörige Neigungswinkel $w=50 ^{\circ}$ .

(2)
$\blacktriangleright$ Zeige, dass $\boldsymbol{f_a(t_0)=f(t_0)}$ unabhängig von $a$ keine Lösung hat

Es zeigt sich, dass die Lösung der Gleichung von sogar quadratisch von $a$ abhängig ist.

(3)
$\blacktriangleright$ Maximum der Energie

Aktion Berechnungen fMin/fMax fMax

Mathematische Formeln und Funktionen in einer Software-Oberfläche.

Der CAS liefert $a_{max}=\dfrac{341}{250}=1,364$ . Somit ist die in einem Jahr maximale Energie aus der Solaranlage bei $a=1,364$ . (4)
$\blacktriangleright$ Behauptung des Solaranlagenherstellers begründen

Damit deckt über das ganze Kalenderjahr die Solaranlage mit Neigungswinkel $50^{\circ}$ einen höheren Anteil am Leistungsbedarf der Familie als die Solaranlage mit Neigungswinkel $26^{\circ}$ .