Aufgabe 2

Das Jagdverhalten von Raubkatzen in der freien Wildbahn ist gekennzeichnet durch eine hohe Anfangsbeschleunigung. Darauf folgt eine kurze Phase mit annähernd konstanter Geschwindigkeit, bevor die Geschwindigkeit wieder abfällt.

Die Geschwindigkeit eines Tigers bei einem Jagdvorgang aus der Ruheposition heraus wird für $0\leq t\leq 10$ zunächst ohne Berücksichtigung der Phase mit konstanter Geschwindigkeit modelliert. Dazu wird für $0\leq t\leq 10$ die Funktion $f$ mit

$f(\mathrm{t})=0,0808\cdot \mathrm{t}^{3}-1,71\cdot \mathrm{t}^{2}+10,08\cdot t,$ $\ t\in \mathbb{R}$

verwendet. Dabei gibt $t$ die Zeit seit Verlassen der Ruheposition in Sekunden und $f(\mathrm{t})$ die Geschwindigkeit in $\displaystyle \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ an.

Abbildung 1

(1)

Gib den Funktionswert von $f$ für $t=5$ an und interpretiere diesen Wert im Sachzusammenhang.

(2)

Weise rechnerisch nach, dass der Tiger seine Maximalgeschwindigkeit von ca. $18,2 \,\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ ungefähr $4,2$ Sekunden nach Verlassen der Ruheposition erreicht, und gib die Maximalgeschwindigkeit in $\displaystyle \frac{\mathrm{k}\mathrm{m}}{\mathrm{h}}$ an.

(3)

Ermittle das Zeitintervall, in dem die Geschwindigkeit des Tigers mindestens $15 \; \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$ beträgt.

(4)

Erläutere die Bedeutung der ersten Ableitung von $f$ im Sachzusammenhang.

(3 + 7 + 4 + 2 Punkte)

(1)

Bestimme $\displaystyle\int_{0}^{4,2}f(t)\;\mathrm dt$ und erläutere die Bedeutung dieses Wertes im Sachzusammenhang.

Wenn ein Tiger seine Maximalgeschwindigkeit erreicht hat, dann kann er diese für höchstens $10\; \text{s}$ beibehalten. Hat er seine Beute bis dahin nicht gefasst, muss er den Jagdvorgang abbrechen. In einem konkreten Fall wittert ein Beutetier den Tiger und ergreift die Flucht. Als der Tiger seine Ruheposition verlässt, ist das Beutetier $100\; \text{m}$ entfernt und hat seine konstante Fluchtgeschwindigkeit von $12\; \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$ bereits erreicht.

(2)

Untersuche, ob der Tiger unter diesen Bedingungen das Beutetier einholen kann.

(4 + 5 Punkte)

Im Folgenden wird das Jagdverhalten anderer Raubkatzen mit einem veränderten Modell betrachtet, das durch einen Parameter $u$ für konkrete Raubkatzen spezifiziert werden kann. Die Geschwindigkeiten dieser Raubkatzen aus der Ruheposition heraus werden für $0 \leq t \leq 8,25$ näherungsweise durch Funktionen der Schar $g_u$ mit

$g_u(t)=-\dfrac{1}{3u^2}t^3+\dfrac{1}{u}t^2+3t,$ mit $0\leq t\leq8,25,$ $1,75\leq u\leq2,75,$ $t,u\in\mathbb{R}$

beschrieben. Dabei gibt weiterhin $t$ die Zeit seit Verlassen der Ruheposition in Sekunden und $g_u ( t)$ die Geschwindigkeit in $\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$ an.

Es ist $g_u(t)\geq 0$ für $0\leq t\leq8,25$ und $1,75\leq u\leq2,75$ .

(1)

Ermittle rechnerisch in Abhängigkeit von $u$ den Zeitpunkt nach Verlassen der Ruheposition, an dem die Raubkatzen ihre Maximalgeschwindigkeit erreichen. Auf eine Betrachtung der Randwerte kann dabei verzichtet werden.

[Zur Kontrolle: Die Hochpunkte der Schar sind $H_u(3u \mid g_u(3u))$ .]

(2)

Eine konkrete Raubkatze legt ab dem Verlassen der Ruheposition eine Strecke von $65\; \text{m}$ zurück und benötigt dafür $6\; \text{s}$ . Gehe davon aus, dass die Funktion $g_u$ den Geschwindigkeitsverlauf auf dieser Strecke modelliert.

Ermittle mit dem Modell der Funktion $g_u$ die Maximalgeschwindigkeit, die diese Raubkatze auf dieser Strecke erreicht hat.

(3)

Weise nach, dass in diesem Modell die maximale momentane Änderungsrate der Geschwindigkeit für alle Raubkatzen gleich ist.

(4 + 6 + 5 Punkte)

(1)

$f(5)=17,75$

$5$ Sekunden nach Verlassen der Ruheposition hat der Tiger eine Geschwindigkeit von $17,75 \dfrac{\,\text{m}}{\,\text{s }}$ .

(2)

Bestimmt wird das Maximum. Die erste Ableitung ergibt sich zu $\(f$

Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Die Lösungen ergeben sich mit dem CAS, entweder mittels graphischer Lösung oder mit dem solve-Befehl.

Es folgen $t_1 \approx 4,19$ und $t_2 \approx 9,91.$

Auf das Prüfen der hinreichenden Bedingung für Extremstellen kann verzichtet werden, da aus dem Graphen in der Abbildung die Existenz eines Maximums und eines Minimums eindeutig hervorgeht.

Das Maximum wird mit Hilfe des Graphen $t_1 \approx 4,19$ zugeordnet.

Maximalgeschwindigkeit

$f(4,19)\approx 18,16$

Somit hat der Tiger nach ca. $4,2$ Sekunden eine Maximalgeschwindigkeit von ca. $18,16\; \dfrac{\text{m}}{\text{s}} \approx 65,5\; \dfrac{\text{km}}{\text{h}}$ erreicht.

(3)

$\begin{array}[t]{rll} f(t)&=& 15 \\[5pt] 0,0808\cdot t^{3}-1,71\cdot t^{2}+10,08\cdot t&=& 15 \end{array}$

Mit dem solve-Befehl des CAS ergeben sich die Lösungen $t_{s_1}\approx 2,266$ , $t_{s_2}\approx 6,739$ und $t_{s3} \approx 12,159$ .

Der Zeitpunkt $t_{s_3}$ liegt allerdings außerhalb des betrachteten Zeitraums.

Aus dem Verlauf des Graphen von $f$ folgt, dass das gesuchte Zeitintervall ca. $2,3 \, s$ nach dem Verlassen der Ruheposition beginnt und ca. $6,7 \, s$ nach dem Verlassen der Ruheposition endet, also $[2,3 ; 6,7]$ gilt.

(4)

Die erste Ableitung $\(f$ gibt die momentane Änderungsrate der Geschwindigkeit an.

Im Sachzusammenhang: Die erste Ableitung gibt die momentane Beschleunigung des Tigers, seit Verlassen der Ruheposition an.

(1)

Es gilt $\displaystyle\int_{0}^{4,2}f(t)\;\mathrm dt (= F(4,2) -F(0)) \approx 52,96$ .

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Der Tiger legt in den modellierten 4,2 Sekunden eine Strecke von etwa $53\,\text{m}$ zurück.

(2)

Der Tiger erreicht nach etwa $4,2$ Sekunden seine Maximalgeschwindigkeit. In diesem Zeitraum legt er ca. $53 \, \text{m}$ zurück.

Danach läuft er mit seiner Maximalgeschwindigkeit von $18,2 \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$ weiter.
Die Strecke, die der Tiger in $t$ Sekunden nach Verlassen der Ruheposition zurücklegt, hat für $t\gt 4,2$ eine Länge von $l_{\text{Tiger}} \approx (53+(t-4,2)\cdot 18,2).$

In diesem Zeitraum von $t$ Sekunden wächst die Entfernung des Beutetiers zur Ruheposition des Tigers auf $l_{\text{Beute}}= (100 +t\cdot 12)$ .

Die lineare Gleichung $l_{\text{Tiger}}=l_{\text{Beute}}$ hat als einzige Lösung $t\approx 19,9$ .

Der Tiger müsste seine Maximalgeschwindigkeit daher ca. 15,7 Sekunden beibehalten, um die Beute einzuholen. Er würde die Jagd abbrechen, da er die Beute unter diesen Bedingungen nicht einholen kann.

(1)

Es gilt $\(g_u$ .

1. Schritt: Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden

$\(\begin{array}[t]{rll} g_u$

Mit der $pq$ -Formel folgt:

$\begin{array}[t]{rll} t_{1/2}&=& -\dfrac{-2u}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{-2u}{2}\right)^2 -(-3u^2)} \\[5pt] &=& u \pm \sqrt{u^2 +3u^2} \\[5pt] &=& u \pm \sqrt{4u^2} \\[5pt] &=&u \pm 2u \end{array}$

Da $0 \leq t \leq 8,25$ gilt, existert als einzige Lösung $t =3u.$

2. Schritt: Hinreichende Bedingung für Extremstellen anwenden

Es gilt: $\(g_u$ .

$\(\begin{array}[t]{rll} g_u$

Da $1,75 \leq u \leq 2,75$ gilt, folgt $\(g_u$

An der Stelle $t=3u$ liegt daher ein Hochpunkt.

Die Maximalgeschwindigkeit erreicht der Tiger folglich nach $t=3u$ .

(2)

$\displaystyle\int_{0}^{6}g_u(t)\;\mathrm dt =65$

Dieser term wird mit dem solve-Befehl des CAS mit $1,75 \leq u \leq 2,75$ gelöst zu $u \approx 2,33.$

Da die Maximalgeschwindigkeit für diesen Wert von $u$ nach ca. $6,99 \, \text{s}$ erreicht wird, die Raubkatze jedoch nach schon $6 \, \text{s}$ am Ende der betrachteten Strecke ist, erreicht die Raubkatze ihre Maximalgeschwindigkeit auf dieser Strecke nach $6 \, \text{s}$ .
Sie beträgt circa $g_{2,33}(6) \dfrac{\text{m}}{\text{s}} \approx 20,2 \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$ .

(3)

Es soll nachgewiesen werden, dass das Maximum von $\(g_u$ unabhängig von $u$ ist.

Der zugehörige Graph von $\(g_u$ ist eine nach unten geöffnete Parabel.

Für $\(g_u$ liefert der CAS $t=u$ . Daher hat die Parabel ihr absolutes Maximum an der Stelle $t=u$ .

Aus der maximalen momentanen Änderungsrate $\(g_u$ folgt, dass das Ergebnis nicht von $u$ abhängig ist.