A1

Gegeben sind die Funktionen $f$ und $g$ mit

$f(x)=\dfrac{1}{2} \cdot x^3-3 \cdot x^2+\frac{3}{2} \cdot x+5, x \in \mathbb{R}$

und

$g(x)=-3 \cdot x+5, x \in \mathbb{R}.$

(1)

Berechne die Stellen, an denen die Graphen von $f$ und $g$ gemeinsame Punkte besitzen.

(2)

Der Punkt $P(3 \mid f(3))$ ist einer dieser gemeinsamen Punkte.

Zeige: Der Graph von $g$ ist die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $P.$

(4 + 1 Punkte)

Betrachtet wird die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)= \mathrm e ^{\left(x^2\right)}.$

(1)

Gib die Wertemenge von $f$ an.

$\big[$ Die Wertemenge von $f$ umfasst alle Zahlen, die als Funktionswerte von $f$ auftreten. $\big]$

(2)

Für die erste Ableitungsfunktion $\(f$ von $f$ gilt $f^{\prime}(x)=2 x \cdot f(x).$

Die Graphen von $f$ und $\(f$ schneiden sich in einem Punkt.

Bestimme die Steigung des Graphen von $f$ in diesem Punkt.

(2 + 3 Punkte)

Eine in $\mathbb{R}$ definierte ganzrationale, nicht lineare Funktion $f$ mit erster Ableitungsfunktion $\(f$ und zweiter Ableitungsfunktion $\(f$ hat folgende Eigenschaften:

$f$ hat bei $x_1$ eine Nullstelle.
Es gilt $\(f$ und $\(f$
$\(f$ hat ein Minimum an der Stelle $x_3.$

Abbildung 1 zeigt die Positionen von $x_1,x_2$ und $x_3.$

Abbildung 1

(1)

Begründe, dass der Grad von $f$ mindestens $3$ ist.

(2)

Skizziere in Abbildung 1 einen möglichen Graphen von $f.$

(2 + 3 Punkte)

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f: x \mapsto -x^2+2 a x$ mit $a \in \mathbb{R} , a\gt 1$ . Die Nullstellen von $f$ sind $0$ und $2 a.$

Abbildung 2

(1)

Zeige, dass das Flächenstück, das der Graph von $f$ mit der $x$ -Achse einschließt, den Inhalt $\frac{4}{3} a^3$ hat.

(2)

Der Hochpunkt des Graphen von $f$ liegt auf einer Seite eines Quadrats; zwei Seiten dieses Quadrats liegen auf den Koordinatenachsen (vgl. Abbildung 2).

Der Flächeninhalt des Quadrats stimmt mit dem Inhalt des Flächenstücks, das der Graph von $f$ mit der $x$ -Achse einschließt, überein.

Bestimme den Wert von $a.$

(2 + 3 Punkte)

Gegeben ist die Gerade $g: \overrightarrow{x}=\pmatrix{0 \\ 1 \\ 1}+\lambda \cdot\pmatrix{1 \\ 0 \\ -1}$ mit $\lambda \in \mathbb{R}.$

(1)

Zeige, dass $g$ in der Ebene mit der Gleichung $x+y+z=2$ liegt.

(2)

Gegeben ist außerdem die Schar der Geraden $h_a: \overrightarrow{x}=\pmatrix{0 \\ 0 \\ 1}+\mu \cdot\pmatrix{1 \\ a \\ 0}$ mit $\mu \in \mathbb{R}$ und $a \in \mathbb{R}.$

Weise nach, dass $g$ und $h_a$ für jeden Wert von $a$ windschief sind.

(2 + 3 Punkte)

(1)

Gegeben ist das Gleichungssystem

$\begin{matrix} \text{I} & 2x & & +z & = & 0 \\ \text{II} & & -2y & +4z & = & 0 &\quad \scriptsize\text {mit} \;x, y, z \in \mathbb{R} \\ \text{II} & & 2y & -5 z & = & 1 \end{matrix}$

Berechne die Lösung des Gleichungssystems.

(2)

Es gibt einen Wert von $r$ mit $r\in \mathbb{R}$ für den das Gleichungssystem

$\begin{matrix} \text{I} & 2x & & +z & = & 0 \\ \text{II} & & -2y & +4z & = & 0 &\quad \scriptsize\text {mit} \;x, y, z \in \mathbb{R} \\ \text{II} & & 2y & -r \cdot z & = & 1 \end{matrix}$

keine Lösung besitzt.

Ermittle diesen Wert.

(3 + 2 Punkte)

Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!

monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?

(1)

Gleichsetzen:

$f(x)=g(x)$

Rechenweg anzeigen

$x \cdot\left(x^2-6 \cdot x+9\right)=0$

Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt, dass $x=0$ oder $x^2-6 \cdot x+9=0$ sein muss. Es ist also $x_1=0$ und weiterhin folgt mit der $pq$ -Formel:

$\begin{array}[t]{rll} x_{2,3}&=&-\dfrac{-6}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{-6}{2}\right)^2-9} \\[5pt] &=& 3 \pm \sqrt{3^2-9} \\[5pt] &=& 3 \end{array}$

An den Stellen $x_1=0$ und $x_2=3$ besitzen der Graph von $f$ und der Graph von $g$ gemeinsame Punkte.

(2)

Die Steigung des Graphen von $f$ an der Stelle $x=3$ lässt sich mit Hilfe der ersten Ableitungsfunktion von $f$ bestimmen:

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Dies entspricht der Steigung von $g.$ Es gilt also $\(f$

Der Graph von $g$ ist eine Gerade. Im gemeinsamen Punkt $P$ haben diese Gerade und der Graph von $f$ die gleiche Steigung. Daher ist der Graph von $g$ die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $P.$

(1)

Die Wertemenge folgt mit: $y \in \mathbb{R},$ $y \geq 1$

(2)

1. Schritt: Schnittstelle bestimmen:

$\(\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& f$

Für $f(x) \neq 0$ folgt:

$\begin{array}[t]{rll} 1&=&2x &\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] \dfrac{1}{2}&=& x \\[5pt] x&=&\dfrac{1}{2} \end{array}$

2. Schritt: Steigung des Graphen von $f$ an der Stelle $\boldsymbol{x=\frac{1}{2}:}$

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

(1)

$\(f$ besitzt ein Minimum an der Stelle $x_3$ und muss somit mindestens vom Grad $2$ sein. Dann ist $f$ mindestens vom Grad $3.$

(2)

(1)

$\begin{array}[t]{rll} &&\displaystyle\int_{0}^{2a}f(x)\;\mathrm dx\\[5pt] &=& \displaystyle\int_{0}^{2a}(-x^2+2ax)\;\mathrm dx\\[5pt] &=& \left[- \dfrac{1}{3}x^3 + \dfrac{2a}{2}x^2\right]_0^{2a} \\[5pt] &=& \left[- \dfrac{1}{3}x^3 + ax^2\right]_0^{2a} \\[5pt] &=& \left(- \dfrac{1}{3} \cdot (2a)^3 + a \cdot (2a) ^2\right) - 0 \\[5pt] &=& - \dfrac{1}{3} \cdot 8a^3 + 4 a^3 \\[5pt] &=& - \dfrac{8}{3} \cdot a^3 + \dfrac{12}{3} \cdot a^3 \\[5pt] &=& \dfrac{4}{3}a^3 \; [\text{FE}] \end{array}$

(2)

1. Schritt: Koordinaten des Hochpunkts bestimmen

$f$ ableiten:

$\(f$

Notwendige Bedingung für eine Extremstelle anwenden:

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Auf das Überprüfen der hinreichenden Bedingung kann verzichtet werden, da der Aufgabenstellung entnommen werden kann, dass es sich bei dem Extremum um einen Hochpunkt handelt.

$x = a$ in $f(x)$ einsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} f(a)&=&-a^2 + 2a \cdot a \\[5pt] &=& -a^2 + 2 a^2 \\[5pt] &=& a^2 \end{array}$

Der Hochpunkt des Graphen von $f$ hat also die Koordinaten $(a \mid a^2).$

2. Schritt: Flächeninhalt berechnen

Da der Hochpunkt des Graphen von $f$ auf der oberen Seite des Quadrats liegt, muss die Seitenlänge des Quadrats $a^2$ betragen. Der Flächeninhalt des Quadrats ist somit $a^2 \cdot a^2 = a^4 \; [\text{FE}].$

3. Schritt: $a$ bestimmen

Gleichsetzen und nach $a$ auflösen:

$\begin{array}[t]{rll} a^4&=& \dfrac{4}{3}a^3&\quad \scriptsize \mid\; -\dfrac{4}{3}a^3 \\[5pt] a^4 -\dfrac{4}{3}a^3 &=& 0 \\[5pt] a^3\left(a- \dfrac{4}{3}\right) &=& 0 \\[5pt] a_1 &=& 0 \\[5pt] a_2 &=& \dfrac{4}{3} \end{array}$

Wegen $a\gt 1$ folgt $a = \dfrac{4}{3}.$

(1)

Aus der Geradengleichung von $g$ folgt, $x = \lambda,$ $y = 1$ und $z = 1- \lambda.$

Einsetzen in die Ebenengleichung:

$\begin{array}[t]{rll} \lambda + 1 + 1-\lambda&=& 2 &\quad \scriptsize \\[5pt] 2 &=& 2 \end{array}$

Jeder Punkt der Gerade erfüllt die Gleichung der Ebene, also liegt $g$ in der Ebene.

(2)

Zwei Geraden sind windschief zueinander, wenn

die Richtungsvektoren der Geraden nicht kollinear sind
sich die Geraden nicht schneiden

1. Schritt: Richtungsvektoren auf Kollinearität prüfen

Der Richtungsvektor von $g$ ist $\pmatrix{1\\ 0 \\-1 }$ und der Richtungsvektor von $h_a$ ist $\pmatrix{1 \\ a\\ 0}.$ Wenn die Vektoren kollinear wären, müssten sie Vielfache voneinander sein.

$s \cdot \pmatrix{1\\ 0 \\-1 } = \pmatrix{1 \\ a\\ 0}$

$g$ und $h_a$ sind nicht kollinear, da $s = 1$ und $-s = 0$ gelten müsste.

2. Schritt: Geraden auf Schnittpunkt prüfen

$g$ und $h_a$ gleichsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} g&=& h_a \\[5pt] \pmatrix{0 \\ 1 \\ 1}+\lambda \cdot\pmatrix{1 \\ 0 \\ -1}&=& \pmatrix{0 \\ 0 \\ 1}+\mu \cdot\pmatrix{1 \\ a \\ 0} \end{array}$

Es ergibt sich folgendes Gleichungssystem:

$\begin{vmatrix} \lambda = \mu \\ 1= a \cdot \mu \\ 1-\lambda = 1 \end{vmatrix}$

Aus der dritten Zeile folgt direkt $\lambda = 0.$ Einsetzen in $\lambda = \mu$ ergibt $\mu = 0.$ Dann gilt aber $\mu \cdot a = 0,$ was im Widerspruch zu $1= a \cdot \mu$ steht.

$g$ und $h_a$ schneiden sich nicht und sind somit für jeden Wert von $a$ windschief.

(1)

LGS lösen:

Rechenweg anzeigen

$-z=1$

Aus $\(\text{III$ folgt $z=-1.$ Einsetzen in $\text{II}:$

$\begin{array}[t]{rll} -2y + 4\cdot (-1)&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;+4 \\[5pt] -2y &=& 4 &\quad \scriptsize \mid\;:(-2) \\[5pt] y&=&-2 \end{array}$

$z=-1$ in $\text{I}$ einsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} 2x-1&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; +1 \mid\;:2\\[5pt] x&=&\dfrac{1}{2} \end{array}$

(2)

Rechenweg anzeigen

$(4-r) \cdot z =1$

Für $r= 4$ ist $\(\text{III$ nicht erfüllbar. Somit hat das Gleichungssystem für $r=4$ keine Lösung.

Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!

monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?