Aufgabe 3

Der in Abbildung 1 dargestellte Körper $K$ mit den Eckpunkten $A_1, A_2, A_3, A_4, B_1, B_2, B_3$ und $B_4$ hat folgende Eigenschaften:

$A_1 A_2 A_3 A_4$ ist ein Rechteck in der $x_1 x_2$ -Ebene, $B_1 B_2 B_3 B_4$ ist ein Rechteck in einer zur $x_1 x_2$ -Ebene parallelen Ebene. Die Vierecke $A_2 A_3 B_3 B_2$ und $A_1 A_4 B_4 B_1$ liegen in Ebenen, die parallel zur $x_1 x_3$ -Ebene verlaufen.

Sechs der Eckpunkte sind gegeben durch

$A_1(50 \mid -5\mid 0)$

$A_2(50\mid 5\mid 0)$

$A_3\left(\frac{\sqrt{75}}{3}\mid 5\mid 0\right)$

$A_4\left(\frac{\sqrt{75}}{3}\mid -5\mid 0\right)$

$B_2(10\mid 5\mid 30)$

$B_3\left(\frac{\sqrt{75}}{3}\mid 5\mid 30\right)$

Abbildung 1

(1)

Gib die Koordinaten des Punktes $B_1$ an.

(2)

Begründe, dass die Seitenfläche $A_2 A_3 B_3 B_2$ ein Trapez ist, und berechne das Volumen des Körpers $K.$

(1 + 3 Punkte)

Der Körper $K$ ist Teil eines mathematischen Modells eines Architekturbüros zur Planung eines neuen Hotels. Das Hotel soll zehn Stockwerke gleicher Höhe besitzen. Für die an die Schrägen angrenzenden Hotelzimmer sind von der 1. bis zur 9. Etage Balkone geplant. Als Beispiel ist in Abbildung 2 der Boden des Balkons für die 3. Etage dargestellt.

Eine Längeneinheit im Modell entspricht einem Meter in der Realität.

Abbildung 2

Durch $E_a: \vec{x}=... \quad$ $a \in \mathbb{R} , r, s \in \mathbb{R},$

Ebenengleichung anzeigen

ist eine Ebene der Schar modelliert. Der Boden des Balkons für die 3. Etage liegt z. B. in der Ebene $E_{12}.$

(1)

Zeige: Für jeden Wert von $a$ mit $0 \leq a \leq 40$ liegt der Punkt $(50-a \mid 5 \mid 0,75 \cdot a)$ auf der Strecke $\overline{A_2 B_2}.$

(2)

Die Menge aller Punkte der Bodenfläche des Balkons für die 3. Etage wird durch die Parametergleichung

$\vec{x} = \pmatrix{38\\5\\9}+ r\cdot \pmatrix{0\\-10\\0}+ s\cdot \pmatrix{1\\0\\0},$ $\quad 0 \leq r \leq 1,$ $\quad 0 \leq s \leq 3$

beschrieben.

Der Balkon ist wie in Abbildung 3 dargestellt auf zwei vertikalen Stützen $s_1$ und $s_2$ gelagert. Berechne die Länge der Stütze $s_1.$

Abbildung 3

(4 + 4 Punkte)

Das Hotel soll aus drei Gebäuden bestehen, die jeweils die gleiche Form besitzen. Durch den Körper $K$ wird Gebäude I modelliert, die Gebäude II und III sind gegenüber Gebäude I jeweils um $120^{\circ}$ gedreht (siehe Abbildung 4). Alle drei Gebäude stehen so aneinander, dass sie einen dreieckigen Innenhof bilden. In der Modellierung liegt dieser Innenhof in der $x_1 x_2$ -Ebene.

Abbildung 4

Abbildung 5 zeigt das Modell des Hotels von oben.

Abbildung 5

Der Innenhof $A_4 A_3 P$ hat die Form eines gleichseitigen Dreiecks.

(1)

Ermittle rechnerisch die Koordinaten des Punktes $P.$

$\bigg[$ Zur Kontrolle: $P\left(-\frac{2 \cdot \sqrt{75}}{3} \mid 0 \mid 0\right) \approx P(-5,77\mid 0 \mid 0).\bigg]$

(2)

Berechne den Abstand von $A_4$ zum Koordinatenursprung $O(0\mid 0\mid 0).$

(3 + 2 Punkte)

(1)

Stelle eine Koordinatengleichung der Ebene $F$ auf, in der die Fläche $A_1 A_2 B_2 B_1$ liegt.

[Zur Kontrolle: $\left.F: 3 \cdot x_1+4 \cdot x_3=150.\right]$

(2)

In der Mitte des Innenhofs steht ein Mast, dessen Spitze im Punkt $S(0\mid 0 \mid 35)$ liegt. Zu einem bestimmten Zeitpunkt steht die Sonne so, dass die Sonnenstrahlen die Richtung $\vec{r}=\left(\begin{array}{c}6 \\ 0 \\ -2\end{array}\right)$ besitzen.

Untersuche, ob der Schatten der Spitze des Masts zu diesem Zeitpunkt innerhalb der Fläche $A_1 A_2 B_2 B_1$ liegt.

(4 + 4 Punkte)

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(1)

$B_1(10\mid -5 \mid 30)$

(2)

Trapezform begründen

Anhand der $x_2$ - und $x_3$ -Koordinaten der Punkte der Seitenfläche $A_2 A_3 B_3 B_2$ wird auf $\overline{A_2 A_3} \| \overline{B_2 B_3}$ geschlossen.

Somit handelt es sich um ein Trapez.

Seitenlängen und Volumen berechnen

$\left|\overline{A_2 A_3}\right|$ $=\left|\overrightarrow{A_2 A_3}\right|$ $=\left|\pmatrix{\frac{\sqrt{75}}{3}\\5\\0}-\pmatrix{50\\5\\0}\right|$ $=50-\dfrac{\sqrt{75}}{3}$ $\approx 47,11 \;\text{[LE]}$

$\left|\overline{B_2 B_3}\right|$ $=\left|\overrightarrow{B_2 B_3}\right|$ $=\left|\pmatrix{\frac{\sqrt{75}}{3}\\5\\30}-\pmatrix{10\\5\\30}\right|$ $=10-\dfrac{\sqrt{75}}{3}$ $\approx 7,11\;\text{[LE]}$

$\left|\overline{A_3 B_3}\right|$ $=\left|\overrightarrow{A_3 B_3}\right|$ $=\left|\pmatrix{\frac{\sqrt{75}}{3}\\5\\30}-\pmatrix{\frac{\sqrt{75}}{3}\\5\\0}\right|= 30\;\text{[LE]}$

$\left|\overline{A_1 A_2}\right|$ $=\left|\overrightarrow{A_1 A_2}\right|$ $=\left|\pmatrix{50\\5\\0 }-\pmatrix{50\\-5\\0}\right|=10\;\text{[LE]}$

Es gilt:

$\begin{array}[t]{rll} V_{\text {Körper }}&=& A_{\text {Trapez }} \cdot h \\[5pt] &=& \frac{\left(\left|\overline{A_2 A_3}\right|+\left|\overline{B_2 B_3}\right|\right) \cdot\left|\overline{A_3 B_3}\right|}{2} \cdot\left|\overline{A_1 A_2}\right| \\[5pt] &\approx& 8134 \;\text{[VE]} \end{array}$

(1)

Eine Parametergleichung der Strecke $\overline{A_2 B_2}$ ist gegeben durch:

$\begin{array}[t]{rll} h: \vec{x}&=&\overrightarrow{O A_2}+t \cdot \overrightarrow{A_2 B_2} \\[5 pt] &=& \pmatrix{50\\5\\0} + t \cdot \pmatrix{-40\\0\\30} \end{array}$

mit $t \in \mathbb{R} , 0 \leq t \leq 1.$

Koordinaten des Punktes gleichsetzen:

$\pmatrix{50\\5\\0} + t \cdot \pmatrix{-40\\0\\30}$ $=\pmatrix{50-a\\ 5\\0,75\cdot a}$

Dies führt zu folgendem LGS:

$\begin{vmatrix} 50 -40\cdot t = 50-a\\ 5=5 \\ 30\cdot t=0,75\cdot a \end{vmatrix}$

Aus der dritten Zeile folgt:

$\begin{array}[t]{rll} 30\cdot t&=& 0,75\cdot a&\quad \scriptsize \mid\;:30 \\[5pt] t&=&0,025\cdot a \end{array}$

Einsetzen in die erste Zeile ergibt eine wahre Aussage:

$\begin{array}[t]{rll} 50 -40\cdot (0,025\cdot a)&=& 50-a \\[5pt] 50-a &=& 50-a \end{array}$

Wegen $0 \leq a \leq 40$ gilt $0 \leq t \leq 1.$

Damit liegt für jedes $a \in \mathbb{R}$ mit $0 \leq a \leq 40$ der Punkt $(50-a\mid 5 \mid 0,75 \cdot a)$ auf der Strecke $\overline{A_2 B_2}.$

(2)

1. Schritt: Geradengleichung aufstellen, auf der $s_1$ liegt

Mit $r=0$ und $s=3$ ergeben sich die Koordinaten des Eckpunktes des Balkons.

$\pmatrix{38 \\ 5 \\ 9} + 0\cdot \pmatrix{0\\-10\\0} + 3\cdot \pmatrix{1\\0\\0}$ $= \pmatrix{41\\5\\9}$

$C(41 \mid 5 \mid 9)$ entspricht dem oberen Ende der Stütze $s_1.$

Die Stütze $s_1$ wird als Strecke modelliert. Diese Strecke ist in folgender Geraden enthalten:

$g: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}41 \\ 5 \\ 9\end{array}\right)+u \cdot\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)$ mit $u \in \mathbb{R}$

2. Schritt: Koordinaten des Schnittpunktes von $\boldsymbol{g}$ mit der Strecke $\boldsymbol{\overline{A_2B_2}}$ bestimmen

Geraden $g$ und $h$ gleichsetzen:

$\left(\begin{array}{c} 41 \\ 5 \\ 9\end{array}\right)+u \cdot\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}50 \\ 5 \\ 0\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}-40 \\ 0 \\ 30\end{array}\right)$

Daraus ergibt sich folgendes LGS:

$\begin{vmatrix} 41 =50-40 \cdot t \\ 5=5 \\ 9+u=30 \cdot t \end{vmatrix}$

Mit dem solve-Befehl des GTRs ergibt sich aus der ersten Zeile $t=\frac{9}{40}= 0,225.$

Einsetzen in die dritte Zeile:

$\begin{array}[t]{rll} 9+u&=& 30 \cdot 0,225&\quad \scriptsize \mid\;-9 \\[5pt] u&=& -2,25 \end{array}$

Die Stütze $s_1$ besitzt eine Länge von $2,25 \;\text{m}.$

(1)

Aus Symmetriegründen muss der Punkt $P$ auf der $x_1$ -Achse liegen.

Die Seiten des Dreiecks $A_4 A_3 P$ besitzen eine Länge von $\left|\overline{A_3 A_4}\right|=10\;\text{[ LE ]}.$

Satz des Pythagoras:

$\begin{array}[t]{rll} \left(\dfrac{10}{2}\right)^2+h^2&=&10^2 &\quad \scriptsize \mid\;-5^2 \\[5pt] h^2&=& 75 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] h&=& \sqrt{75} \\[5pt] &=&5 \cdot \sqrt{3}\;\text{[LE]} \end{array}$

Hilfsskizze zum besseren Verständnis

Der Mittelpunkt der Strecke $\overline{A_3A_4}$ hat die $x_1$ -Koordinate $\frac{\sqrt{75}}{3}.$

Für die $x_1$ -Koordinate $p_1$ von $P$ gilt somit:

$p_1=\dfrac{\sqrt{75}}{3}-\sqrt{75}=-\dfrac{2 \cdot \sqrt{75}}{3}.$

Die gesuchten Koodinaten ergeben sich zu:

$P\left(-\dfrac{2 \cdot \sqrt{75}}{3}\mid 0 \mid 0\right) \approx P(-5,77\mid 0\mid 0)$

(2)

$\begin{array}[t]{rll} \left|\overrightarrow{O A_4}\right|&=& \left|\pmatrix{\frac{\sqrt{75}}{3}\\-5\\0}\right| \\[5pt] &=&\sqrt{\left(\dfrac{\sqrt{75}}{3}\right)^2+(-5)^2 + 0^2} \\[5pt] &=& \dfrac{2 \cdot \sqrt{75}}{3} \\[5pt] &\approx & 5,77\;\text{[LE]} \end{array}$

(1)

1. Schritt: Einen Normalenvektor von $F$ bestimmen

$\overrightarrow{A_1A_2} = \overrightarrow{OA_2} -\overrightarrow{OA_1}$ $= \pmatrix{50\\5\\0} - \pmatrix{50\\-5\\0}$ $= \pmatrix{0\\10\\0}$

$\overrightarrow{A_1B_2} = \overrightarrow{OB_2} -\overrightarrow{OA_1}$ $= \pmatrix{10\\5\\30} - \pmatrix{50\\-5\\0}$ $= \pmatrix{-40\\10\\30}$

Die Orthogonalitätsbedingungen $\pmatrix{n_1\\n_2\\n_3} \circ \pmatrix{0\\10\\0}=0$ und $\pmatrix{n_1\\n_2\\n_3} \circ \pmatrix{-40\\10\\30}=0$ führen auf folgendes LGS:

$\begin{vmatrix} 10 \cdot n_2&=&0 \\ -40 \cdot n_1+10 \cdot n_2+30 \cdot n_3&=&0 \end{vmatrix}$

Aus der ersten Zeile folgt $n_2=0.$

Einsetzen in die zweite Zeile ergibt:

$\begin{array}[t]{rll} -40 \cdot n_1 +30 \cdot n_3&=&0 \\[5pt] -40 \cdot n_1 &=& -30 \cdot n_3 &\quad \scriptsize \mid\;:(-40) \\[5pt] n_1&=&\dfrac{3}{4} \cdot n_3 \end{array}$