Analysis 1

Ein mit Wasser befülltes Glas wird aus einem Kühlschrank genommen. Die anschließende Entwicklung der Wassertemperatur infolge der höheren Raumtemperatur lässt sich mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f: t \mapsto 25 - 20 \cdot \mathrm{e}^{-0,014t}$ modellhaft beschreiben. Dabei ist $t$ die Zeit in Minuten, die seit der Entnahme aus dem Kühlschrank vergangen ist, und $f(t)$ die Wassertemperatur in $^\circ\text{C}.$ Die Raumtemperatur beträgt konstant $25\;^\circ\text{C}.$

(1)

(i)

Gib die Wassertemperatur zum Zeitpunkt der Entnahme aus dem Kühlschrank an.

(ii)

Bestimme den Zeitpunkt, zu dem die Wassertemperatur $12\;^\circ\text{C}$ beträgt.

(2)

Bestimme die mittlere Änderungsrate der Wassertemperatur innerhalb der ersten 30 Minuten.

(3)

(i)

Gib $\(f$ und die Bedeutung dieses Werts im Sachzusammenhang an.

(ii)

Für alle $t \in \mathbb{R}$ gilt: $\(f$ und $\(f$

Erkläre, was diese Eigenschaften für die Entwicklung der Wassertemperatur im Glas bedeuten.

(4)

Zeige, dass in diesem Modell gilt:

$\;$

Es gibt eine Konstante $c,$ sodass zu jedem Zeitpunkt die Differenz zwischen der Raumtemperatur und der Wassertemperatur das $c$ -fache der momentanen Änderungsrate der Wassertemperatur ist.

Bei einem anderen Vorgang wird die Entwicklung der Temperatur von Wasser in einem zweiten Glas durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $g: t \mapsto 5+20 \cdot \mathrm{e}^{-0,014 t}$ modellhaft beschrieben. Dabei ist $t$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Minuten und $g(t)$ die Wassertemperatur in $^{\circ}\text{C}.$ Bei den durch $f$ und $g$ beschriebenen Vorgängen sind die durch $t=0$ festgelegten Zeitpunkte identisch.

(5)

Beschreibe, durch welche Transformationen der Graph von $g$ aus dem Graphen von $f$ hervorgeht.

(6)

Beurteile jede der folgenden Aussagen:

$\text{I}$

Die Temperatur des Wassers im zweiten Glas nimmt während des gesamten Beobachtungszeitraums ab.

$\text{II}$

Für beide Gläser stimmen zu jedem Zeitpunkt die Beträge der momentanen Änderungsraten der Wassertemperaturen überein.

(3 + 2 + 4 + 3 + 2 + 4 Punkte)

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h$ mit $h(x) = (1 - x^2) \cdot \mathrm{e}^x.$ Der Graph von $h$ wird mit $G_h$ bezeichnet.

(1)

Gib den Grenzwert von $h$ für $x \rightarrow -\infty$ an und begründe deine Angabe anhand des Funktionsterms.

$G_h$ schließt mit der $x$ -Achse im ersten und zweiten Quadranten eine Fläche $A$ ein.

(2)

Die Gerade $m$ verläuft parallel zur $y$ -Achse durch den Hochpunkt $H\left(-1 + \sqrt{2} \mid h\left(-1 + \sqrt{2}\right)\right)$ von $G_h$ und teilt die Fläche $A$ in zwei Teilflächen.

Berechne den Anteil, den die größere der beiden Teilflächen an der Fläche $A$ hat.

(3)

Es gibt eine Zahl $b \gt 1$ , sodass die Fläche, die $G_h,$ die $x$ -Achse und die Gerade mit der Gleichung $x = b$ im vierten Quadranten einschließen, den gleichen Inhalt hat wie die Fläche $A.$

Bestimme $b.$

Abbildung

Gegeben ist die für $x \leq-1$ definierte Funktion $k$ mit $k(x)=\displaystyle\int_{x}^{-1}h(t)\;\mathrm dt.$ Ihr Graph wird mit $G_k$ bezeichnet. Die Abbildung zeigt $G_h$ und $G_k.$ Für $x \rightarrow-\infty$ kommt $G_k$ der Geraden $r$ mit der Gleichung $y=-\frac{4}{\mathrm{e}}$ beliebig nahe.

(4)

(i)

Begründe mithilfe des Funktionsterms, dass $k$ die Nullstelle $-1$ besitzt und dass $G_k$ im Bereich $x \lt -1$ unterhalb der $x$ -Achse verläuft.

(ii)

Deute damit unter Verwendung der Abbildung den Wert $-\frac{4}{\mathrm{e}}$ in Bezug auf $G_h$ geometrisch.

Die Funktion $h$ gehört zur Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $h_a$ mit $h_a(x)=\frac{1}{a} \cdot\left(a-x^2\right) \cdot \mathrm{e}^x$ und $a \gt 0.$ Der Graph von $h_a$ wird mit $G_{h_a}$ bezeichnet.

Ohne Nachweis darf im Folgenden verwendet werden: $\(h_a$

(5)

Begründe anhand des Funktionsterms, dass für jedes $a \gt 0$ die Funktionswerte von $h_a$ nur für $-\sqrt{a} \lt x \lt \sqrt{a}$ positiv sind.

(6)

Für jedes $a \gt 0$ hat $G_{h_a}$ einen Hochpunkt, der im 1. Quadranten liegt. Es gibt einen Wert von $a,$ sodass die $x$ -Koordinate des Hochpunkts 2 ist.

Bestimme diesen Wert von $a.$

(3 + 4 + 3 + 5 + 3 + 4 Punkte)

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(1)

(i)

$\begin{array}[t]{rll} f(0)&=&25 - 20 \cdot \mathrm{e}^{-0,014\cdot0} \\[5pt] &=&25 - 20 \\[5pt] &=&5\;[^\circ\text{C}] \end{array}$

(ii)

$\begin{array}[t]{rll} f(t)&=&12 \\[5pt] 25 - 20 \cdot \mathrm{e}^{-0,014t}&=&12 \quad \scriptsize \mid\;-25 \\[5pt] - 20 \cdot \mathrm{e}^{-0,014t}&=&-13 \quad \scriptsize \mid\;:(-20) \\[5pt] \mathrm{e}^{-0,014t}&=&\dfrac{13}{20} \\[5pt] -0,014t&=&\ln\left(\dfrac{13}{20}\right) \quad \scriptsize \mid\;:(-0,014) \\[5pt] t&\approx&30,77 \end{array}$

Die Wassertemperatur beträgt somit nach etwa $30,77$ Minuten $12\;^\circ\text{C}.$

(2)

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{f(30)-f(0)}{30-0}&=&\dfrac{25 - 20 \cdot \mathrm{e}^{-0,014\cdot30}-5}{30} \\[5pt] &=&\dfrac{20 - 20 \cdot \mathrm{e}^{-0,42}}{30} \\[5pt] &\approx&0,23\;\left[\dfrac{^\circ\text{C}}{\text{min}}\right] \end{array}$

(3)

(i)

Für die Ableitung von $f$ gilt:

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Für $t=30$ folgt:

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Da die erste Ableitung die Steigung von $f$ angibt, besagt dieser Wert, dass die momentane Änderungsrate der Wassertemperatur nach $30$ Minuten $0,18\;\frac{^\circ\text{C}}{\text{min}}$ beträgt.

(ii)

$\(f$ sagt aus, dass die Wassertemperatur zu jedem Zeitpunkt zunimmt, das Wasser im Glas wird also dauerhaft wärmer.

$\(f$ bedeutet, dass die Zunahme der Wassertemperatur mit der Zeit immer weiter abnimmt, das heißt umso mehr Zeit vergeht, desto langsamer erwärmt sich das Wasser im Glas.

(4)

Die in der Aufgabenstellung beschriebene Situation wird durch folgende Gleichung ausgedückt:

$25 - f(t) = c\cdot0,28 \cdot \mathrm{e}^{-0,014t}$

Für den Wert von $c$ folgt:

$\begin{array}[t]{rll} 25 - f(t)&=&c\cdot0,28 \cdot \mathrm{e}^{-0,014t} \\[5pt] 20\cdot \mathrm{e}^{-0,014t}&=&0,28c\cdot \mathrm{e}^{-0,014t} \quad \scriptsize \mid\;:\mathrm{e}^{-0,014t} \\[5pt] 20&=&0,28c \quad \scriptsize \mid\;:0,28 \\[5pt] 71,43&\approx&c \end{array}$

Da der Wert von $c$ nicht von $t$ abhängt, gilt in dem Modell die Aussage aus der Aufgabenstellung.

(5)

Der Graph von $g$ geht aus dem Graphen von $f$ durch eine Spiegelung an der $x$ -Achse und anschließende Verschiebung um $30$ in positive $y$ -Richtung hervor.

(6)

Aussage $\boldsymbol{\text{I}}$ beurteilen

Da die Temperatur im ersten Glas während des gesamten Beobachtungszeitraums zunimmt und der Graph von $g$ aus dem Graphen von $f,$ bis auf Verschiebung, durch Spiegelung an der $x$ -Achse entsteht, nimmt die Temperatur im zweiten Glas während des gesamten Beobachtungszeitraums ab, das heißt die Aussage stimmt.

Aussage $\boldsymbol{\text{II}}$ beurteilen

Anhand der Funktionsterme von $f$ und $g$ lässt sich erkennen, dass die Ableitungen $\(f$ und $\(g$ bis auf das Vorzeichen identisch sind. Somit stimmen die Beträge der momentanen Änderungsraten der Wassertemperaturen der beiden Gläser zu jedem Zeitpunkt überein, das heißt die Aussage ist richtig.

(1)

Für $x \rightarrow -\infty$ strebt der Faktor $\mathrm{e}^x$ gegen null, während der Faktor $1-x^2$ gegen $-\infty$ strebt. Da die $\mathrm e$ -Funktion wesentlich schneller gegen null strebt als der quadratische Term fällt, gilt somit $\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} h(x) = 0.$

(2)

Die graphische Darstellung von $G_h$ liefert, dass die Fläche $A$ von den beiden Nullstellen $x_1=-1$ und $x_2=1$ begrenzt wird. Für den Inhalt der beiden Teilflächen folgt somit mit Hilfe des GTRs zur Bestimmung einer Stammfunktion von $h:$

Rechenweg anzeigen

$A_1 \approx 0,95\;[\text{FE}]$

Rechenweg anzeigen

$A_2 \approx 0,52\;[\text{FE}]$

Somit gilt $A=A_1+A_2$ $\approx0,95+0,52=1,47\;[\text{FE}].$ Für den Anteil, den die größere Teilfläche $A_1$ an der Fläche $A$ hat folgt somit:

$\dfrac{A_1}{A}=\dfrac{0,95}{1,47}\approx0,6463=64,63\,\%$

(3)

Rechenweg anzeigen

$(b-1)^2\cdot\mathrm e^b=1,47$

Auflösen dieser Gleichung nach $b$ mit dem GTR liefert $b\approx1,56$ als passenden Wert unter der Bedingung $b\gt1.$

(4)

(i)

Die Funktion $k(x)$ hat die Nullstelle $x = -1,$ da für diesen Wert von $x$ die obere mit der unteren Integralgrenze übereinstimmt.
Da $G_h$ für $x\lt-1$ unterhalb der $x$ -Achse verläuft, liefert das Integral, das den Funktionsterm von $k$ darstellt, für alle $x\lt-1$ negative Werte. Damit verläuft $G_k$ im Bereich $x \lt -1$ unterhalb der $x$ -Achse.

(ii)

Die geometrische Interpretation des Wertes liefert, dass für $x\lt-1$ die Fläche zwischen $G_h$ und der $x$ -Achse $\frac{4}{\mathrm e}$ beträgt. Da sich diese Fläche unterhalb der $x$ -Achse befindet, ergibt sich zusätzlich das negative Vorzeichen.

(5)

Der Funktionsterm ist genau dann positiv, wenn der Term $\left(a-x^2\right)$ positiv ist. Das ist nur für $-\sqrt{a} \lt x \lt \sqrt{a}$ der Fall.

(6)

Der Hochpunkt liegt bei $x = 2,$ wenn $\(h_a$ gilt. Es folgt:

$\(\begin{array}[t]{rll} h_a$

Der gesuchte Wert von $a$ beträgt somit $a=8.$

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