B2 - Analysis

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{a;k}$ mit $f_{a;k}(x)=a\cdot x^2\cdot e^{-k\cdot x},$ $a\gt 0,k\gt 0.$

1.1

Berechne die Extrempunkte des Graphen von $f_{a;k}$ und gib die verwendeten Ableitungsregeln an. Dabei darf die zweite Ableitung

Gleichung anzeigen

$\( f_{a;k}$

ohne Nachweis verwendet werden.

(11 BE)

1.2

Der Hochpunkt des Graphen von $f_{a;k}$ hat die Koordinaten $H \left(\dfrac{2}{k}\,\bigg \vert \,\dfrac{4a}{k^2\cdot\mathrm e^2}\right).$

Begründe, dass für einen festen Wert von $k$ alle Hochpunkte auf einer Parallelen zur $y$ -Achse liegen.
Für einen festen Wert von $a$ liegen alle Hochpunkte auf einer Parabel mit der Gleichung $p_a(x)=\dfrac{a}{\mathrm e^2}\cdot x^2.$ Leite diese Gleichung her und skizziere die Parabel für $a=1$ in der Abbildung in Material 1.

(6 BE)

Material 1: Funktionenschar

1.3

Bestimme die Werte der Parameter $a$ und $k$ für diejenige Funktion der Schar $f_{a;k},$ die an der Stelle $x=2$ den Funktionswert $828$ und an der Stelle $x=11$ den Funktionswert $4142$ annimmt.

(3 BE)

Ein Sportartikelhersteller bringt ein neues Modell eines Laufschuhs auf den Markt. Die Wochen nach Verkaufsstart werden durchnummeriert und es wird für jede Woche die Anzahl der verkauften Paare des neuen Modells ermittelt. Seit Verkaufsstart sind $14$ Wochen vergangen. Die Kreuze in Material 2 zeigen die Verkaufszahlen für den genannten Zeitraum.
Eine gute Modellierung des Verlaufs der Verkaufszahlen liefert die Scharfunktion $f_{309;0,2}$ mit $f_{309;0,2}(x)= 309\cdot x^2\cdot \mathrm e^{-0,2\cdot x},$ deren Graphen in Material 3 eingezeichnet ist.
Nach den ersten $14$ Wochen liegen insgesamt noch etwa $36000$ Schuhpaare des neuen Modells auf Lager und der Hersteller möchte wissen, ob diese reichen werden, oder ob weitere Schuhe produziert werden müssen. Um diese Frage zu beantworten, soll eine auf der Integralrechnung basierende Methode entwickelt werden, die es ermöglicht, die Verkaufszahlen näherungsweise zu berechnen und Prognosen für die Zukunft zu erstellen.

Diagramm mit Verkaufszahlen über 14 Wochen, dargestellt durch Punkte auf einem Koordinatensystem.

Material 2: Verkaufszahlen in den ersten $14$ Wochen

Material 3: Modellierung der Verkaufszahlen mit der Funktion $f_{309;0,2}$

2.1

In der 1. Woche wurden $288$ , in der 2. Woche $828$ , in der 3. Woche $1612$ und der 4. Woche $2164$ Schuhpaare des neuen Modells verkauft, also $4892$ Schuhpaare insgesamt.
Hierfür liefert die Summe $f_{309;0,2}(1)+f_{309;0,2}(2)$ $+f_{309;0,2}(3)+f_{309;0,2}(4)$ einen guten Näherungswert. Bestimme diese Summe und zeige, dass die prozentuale Abweichung dieses Näherungswertes von der tatsächlichen Verkaufszahl weniger als $1,5 \,\%$ beträgt.

(3 BE)

2.2

Die Summe der vier Funktionswerte aus Aufgabe 2.1 lässt sich als Gesamtflächeninhalt von vier Rechtecken darstellen. Diese vier Rechtecke sind in den Abbildungen $A$ und $B$ in Material 4 jeweils zusammen mit dem Graphen der Funktion $f_{309;0,2}$ dargestellt.
Der Flächeninhalt der vier Rechtecke - und somit auch die Anzahl der in den ersten vier Wochen verkauften Schuhpaare - lässt sich durch den Inhalt einer Fläche unter dem Graphen von $f_{309;0,2}$ sehr gut approximieren.

Abbildung A

Abbildung B

Material 4: Darstellung der Funktionswerte von $f_{309;0,2}$ als Rechteckflächen

2.2.1

Bestimme (mit Hilfe des CAS) die Werte der beiden Integrale $\displaystyle\int_{0,5}^{4,5}f_{309;0,2}(x)\;\mathrm dx$ und $\displaystyle\int_{0}^{4}f_{309;0,2}(x)\;\mathrm dx.$

(2 BE)

2.2.2

Begründe anschaulich mithilfe von Material 4, warum das Integral $\displaystyle\int_{0,5}^{4,5}f_{309;0,2}(x)\;\mathrm dx$ eine sehr gute, das Integral $\displaystyle\int_{0}^{4}f_{309;0,2}(x)\;\mathrm dx$ hingegen eine weniger gute Approximation für die Summe der Flächeninhalte der Rechtecke darstellt.

(3 BE)

2.3

Bestimme die kleinste natürliche Zahl $n,$ für die $\displaystyle\int_{14,5}^{n+0,5}f_{309;0,2}(x)\;\mathrm dx\geq 18000$ gilt, und deute das Ergebnis im Sachzusammenhang.

(5 BE)

2.4

Bestimme den Grenzwert $\lim\limits_{u\to\infty}\displaystyle\int_{14,5}^{u}f_{309;0,2}(x)\;\mathrm dx$ und deute das Ergebnis im Sachzusammenhang unter Berücksichtigung der vom Sportartikelhersteller aufgeworfenen Frage.

(4 BE)

Ein Sommerschuh wird seit vielen Jahren erfolgreich verkauft, wobei die Verkaufszahlen saisonalen Schwankungen unterliegen. Die Wochen nach dem Verkaufsstart des Schuhs werden analog zu Aufgabe 2 durchnummeriert. Am Ende jeder Woche wird die Gesamtzahl der bis dahin verkauften Schuhpaare ermittelt.
Die Gesamtverkaufszahlen für den Sommerschuh werden in sehr guter Näherung durch die Funktion $V$ mit $V(x)=300x-2000\cdot \sin(0,1205\cdot x)$ modelliert, deren Graph in Material 5 dargestellt ist.

Material 5
Gesamtverkaufszahlen des Sommerschuhs seit Verkaufsstart

Material 5: Gesamtverkaufszahlen des Sommerschuhs seit Verkaufsstart

3.1

In einer Sonderaktion erhält der Käufer des zehntausendsten Schuhpaars einen Bonus-Gutschein. Ermittle, in der wievielten Woche dieser Preis vergeben wird.

(3 BE)

3.2

Berechne die Funktionsgleichung der Ableitungsfunktion $\(V$
Begründe, dass $\(59\leq V$ gilt, und erläutere die Bedeutung der Grenzen $59$ und $541$ des Wertebereiches von $\(V$ im Sachzusammenhang.

(6 BE)

3.3

Bestimme den Grenzwert $\lim\limits_{x\to\infty}\left(\dfrac{1}{x}\cdot V(x)\right)$ und deute das Ergebnis im Sachzusammenhang.

(4BE)

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1.1

1. Schritt: Ableitung berechnen

$f_{a;k}(x) = a \cdot x^2 \cdot \mathrm{e}^{-kx}$

Für die erste Ableitung wird zunächst die Produktregel angewandt. Zur Ableitung des Terms $\mathrm{e}^{-kx}$ wird dann die Kettenregel angewandt:

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$\( f_{a;k}$

Vollständige Ableitung anzeigen

$\( f_{a;k}$

2. Schritt: Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden

$\(\begin{array}[t]{rll} f_{a;k}$

Wegen $a\gt 0$ und $\mathrm e^{-k\cdot x}\gt 0$ muss $x\cdot (2-k\cdot x)=0$ gelten. Nach dem Satz vom Nullprodukt gilt $x_{1} = 0$ oder $2-k\cdot x=0.$ Durch Umstellen folgt $x_{2} = \dfrac{2}{k}.$

3. Schritt: Hinreichende Bedingung für Extremstellen anwenden

$\( f_{a;k}$

Es gilt $f_{a;k}(0)=0$ und $f_{a;k}\left(\dfrac{2}{k}\right)=\dfrac{4a}{k^2 \cdot \mathrm{e}^2}.$

Damit liegt bei $T\left(0 \mid 0 \right)$ ein Tiefpunkt und bei $H \left(\dfrac{2}{k} \,\bigg \vert \, \dfrac{4a}{k^2 \cdot \mathrm{e}^2} \right)$ ein Hochpunkt vor.

1.2

Hochpunkte für festes $k$

Die $x-$ Koordinate des Hochpunkts von $f_{a;k}$ ist fest, da sie nur von $k$ abhängt. Da die $y-$ Koordinate außerdem von $a$ abhängt, verschieben sich die Hochpunkte parallel zur $y$ -Achse. Also liegen alle Hochpunkte auf einer zur $y$ -Achse parallelen Gerade.

Ortskurve für festes $a$

$x=\dfrac{2}{k}$ wird nach $k$ umgestellt:

$\begin{array}[t]{rll} x&=& \dfrac{2}{k}& \quad \mid\,\cdot k \scriptsize \\[5pt] x\cdot k&=& 2 & \quad \mid\,:x\scriptsize \\[5pt] k &=& \dfrac{2}{x}& \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Einsetzen in die $y-$ Koordinate:

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$\dfrac{a}{\mathrm e^2} \cdot x^2$

Damit liegen alle Hochpunkte auf der angegebenen Parabel $p_{a}(x)=\dfrac{a}{\mathrm e^2} \cdot x^2.$

Material 1: Funktionenschar und Ortskurve

1.3

Es gilt: $f_{a;k}(2)= a \cdot 2^2 \cdot \mathrm{e}^{-2k}=828$ und $f_{a;k}(11)=a \cdot 11^2 \cdot \mathrm{e}^{-11k}=4142.$

Die Parameter $a$ und $k$ lassen sich durch ein Gleichungssystem mit dem CAS bestimmen:

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad& a \cdot 2^2 \cdot \mathrm{e}^{-2k} &=& 828 &\quad \scriptsize\\ \text{II}\quad& a \cdot 11^2 \cdot \mathrm{e}^{-11k}&=& 4142 &\quad \\ \end{array}$

$\blacktriangleright$ TI nspire CAS

menu $\to$ 3: Algebra $\to$ 7

$\blacktriangleright$ Casio Classpad II

keyboard $\to$ Math1 $\to$ $\{^{\Box}_{\Box}$

Die Werte $a \approx 309$ und $k \approx 0,2$ erfüllen die Gleichungen.

2.1

1. Schritt: Summe berechnen

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$4829$

2. Schritt: Prozentuale Abweichung berechnen

$\dfrac{4892 - 4829}{4892} \approx 0,0129$

Somit beträgt die prozentuale Abweichung des Näherungswertes von der tatsächlichen Verkaufszahl ungefähr $1,29 \%$ und damit weniger als $1,5 \%$ .

2.2.1

Die Integrale können mit dem CAS gelöst werden.

$\blacktriangleright$ TI nspire CAS

menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 3: Integral

$\blacktriangleright$ Casio Classpad II

keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\int_{\Box}^{\Box}\Box$

$\displaystyle\int_{0,5}^{4,5}f_{309; \; 0,2}(x)\;\mathrm dx \approx 4844$

$\displaystyle\int_{0}^{4}f_{309; \; 0,2}(x)\;\mathrm dx \approx 3663$

2.2.2

In Abbildung A werden die Rechtecke im Intervall $[0;4]$ dargestellt. Hier wird der Flächeninhalt der Rechtecke also durch das Integral $\displaystyle\int_{0}^{4}f_{309; \; 0,2}(x)\;\mathrm dx$ approximiert. Entsprechend wird in Abbildung B der Flächeninhalt der Rechtecke durch das Integral $\displaystyle\int_{0,5}^{4,5}f_{309; \; 0,2}(x)\;\mathrm dx$ approximiert.

In Abbildung A ist der Flächeninhalt der Fläche der Rechtecke deutlich größer als der Flächeninhalt der Fläche, die der Graph von $f_{309;0,2}$ im Intervall $[0;4]$ mit der $x$ -Achse einschließt. Somit ist das Integral $\displaystyle\int_{0}^{4}f_{309; \; 0,2}(x)\;\mathrm dx$ eine weniger gute Approximation für die Summe der Flächeninhalte der Rechtecke.

Mit Abbildung B lässt sich erkennen, dass der Teil der Rechtecke, der über dem Graphen von $f_{309;0,2}$ liegt, ungefähr so groß ist wie der Flächeninhalt der Fläche unter dem Graphen, der nicht in den Rechtecken enthalten ist. Somit gleichen sich diese Flächen aus und das Integral $\displaystyle\int_{0,5}^{4,5}f_{309; \; 0,2}(x)\;\mathrm dx$ liefert eine gute Approximation für die Summe der Flächeninhalte der Rechtecke.

2.3

Mit dem solve-Befehl des CAS ergibt sich für $\displaystyle\int_{14,5}^{n + 0,5}f_{309; \; 0,2}(x)\;\mathrm dx = 18\,000$ die Lösung $n \approx 20,4.$

Die kleinste natürliche Zahl, für die $\displaystyle\int_{14,5}^{n + 0,5}f_{309; \; 0,2}(x)\;\mathrm dx \geq 18\,000$ gilt, ist somit $n = 21.$

Im Sachzusammenhang bedeutet dies, dass im Zeitraum von der 14. Woche bis zur 21. Woche mehr als $18\,000$ Schuhe verkauft werden.

2.4

Der CAS liefert:

$\lim\limits_{u\to\infty} \left( \displaystyle\int_{14,5}^{u}f_{309; \; 0,2}(x)\;\mathrm dx \right)\approx 34\,451$

Im Sachzusammenhang bedeutet dies, dass nach der $14.$ Woche noch etwa $34\,451$ Schuhe verkauft werden. Die $36\,000$ Schuhe, die noch auf Lager liegen, werden also ausreichen.

3.1

Es muss gelten:

Vollständige Gleichung anzeigen

$V(x)=10\,000$

Mit dem solve-Befehl des CAS gilt $x \approx 30,17.$

Damit wird der Preis in der $31.$ Woche vergeben.

3.2

Ableitung bestimmen

Mit der Kettenregel gilt:

Vollständige Ableitung anzeigen

$\( V$

Wertebereich begründen

Die Kosinus-Funktion nimmt Werte zwischen $-1$ und $1$ an. Es müssen die $x$ -Werte bestimmt werden, für die $\cos(0,1205\cdot x)=1$ und $\cos(0,1205\cdot x)=-1$ gilt.