C1 - Stochastik

Im Folgenden werden mit „Internetnutzer“ alle privaten Internetnutzerinnen und Internetnutzer in Deutschland ab einem Alter von 10 Jahren bezeichnet.

28 % der Internetnutzer telefonieren über das Internet

Wiesbaden - $28\,\%$ der Internetnutzer telefonierten im Jahr 2013 über das Internet. Dies teilte das Statistische Bundesamt (Destatis) anlässlich des Weltkommunikationstages am 17. Mai 2014 mit.

Besonders beliebt ist diese Art der Kommunikation bei jungen Menschen: $42\,\%$ der Internetnutzer im Alter von 10 bis 24 Jahren nutzten 2013 dieses Medium zum Telefonieren. Bei den 25- bis 54-Jährigen war es etwa jeder Vierte ( $\; 26\,\%$ ). Ältere Internetnutzer nahmen diese technischen Möglichkeiten weniger in Anspruch: Bei den 55-Jährigen und Älteren telefonierte etwa jeder Fünfte ( $\; 21\,$ %) über das Internet.

Im Jahr 2013 waren rund $55\,\%$ aller Internetnutzer im Alter von 25 bis 54 Jahren. Daten entnommen aus: Statistisches Bundesamt, Zahl der Woche vom 13. Mai 2014

Im Jahr 2013 wird für eine weitere Untersuchung über das Nutzungsverhalten im Internet eine große Anzahl zufällig ausgewählter Internetnutzer befragt.

1.1

Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass unter den ersten zehn befragten Personen

genau drei Personen dabei sind, die das Internet für Telefonate nutzen,

höchstens drei Personen dabei sind, die das Internet für Telefonate nutzen.

(5 BE)

1.2

Von zehn der zufällig ausgewählten Internetnutzer weiß man, dass genau zwei das Internet für Telefonate nutzen. Die zehn Personen werden nacheinander in zufälliger Reihenfolge befragt.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass unter den ersten drei Befragten genau einer dabei ist, der das Internet für Telefonate nutzt.

(5 BE)

Der Artikel über Internettelefonate in Deutschland enthält keine Angaben darüber, wie viel Prozent der Internetnutzer im Jahr 2013

das Internet für Telefonate nutzen und im Alter von 25 bis 54 Jahren sind,

10 bis 24 Jahre alt sind.

Bestimme diese beiden Anteile.

(7 BE)

Schon im Frühjahr 2014 ist man davon überzeugt, dass der Anteil der Internetnutzer, die das Internet zum Telefonieren nutzen, über $28\,\%$ liegt und sich damit im Vergleich zu 2013 erhöht hat. Zur Überprüfung dieser Hypothese will man einen Test auf der Basis einer zufällig ausgewählten Stichprobe von 50 Internetnutzern durchführen.

3.1

Entwickle einen Hypothesentest mit einem Signifikanzniveau von $1\,\%$ unter Angabe einer Entscheidungsregel.

(7 BE)

3.2

Angenommen, der Anteil $p_1$ der Internetnutzer, die das Internet zum Telefonieren nutzen, hat sich im Frühjahr 2014 im Vergleich zu 2013 tatsächlich erhöht.

Bei dem folgenden Funktionsgraphen wird in Abhängigkeit von $p_1$ die Wahrscheinlichkeit $\beta$ dargestellt, bei einem zweiten Test zur Überprüfung derselben Hypothese mit dem Stichprobenumfang der Länge $n= 50$ und einem im Vergleich zu Aufgabe 3.1 veränderten Signifikanzniveau $\alpha$ einen Fehler 2. Art zu begehen (Operationscharakteristik).

Internetnutzer Wahrscheinlichkeit Hessen Abi 2015

Gib $\beta$ bei diesem Test mithilfe der Abbildung an, wenn der tatsächliche Anteil $p_1$ der Internetnutzer, die das Internet im Frühjahr 2014 zum Telefonieren nutzen, $35\,$ % beträgt, und erläutere den Wert im Sachzusammenhang.

Bestimme den zu diesem Test zugehörigen Ablehnungsbereich.

(6P)

Binomialsummenfunktion

$F_{n;p}(k)=\displaystyle\sum\limits_{i=0}^{k}\begin{pmatrix}n\\ i\end{pmatrix}\cdot p^i \cdot (1-p)^{n-i}$ für $n = 50$

	A	B	C	D	E	F	G
1	n	p
2	n	k	0,20	0,28	0,3	0,35	0,40
3	50	0	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000
4		1	0,0002	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000
5		2	0,0013	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000
6		3	0,0057	0,0001	0,0000	0,0000	0,0000
7		4	0,0185	0,0005	0,0002	0,0000	0,0000
8		5	0,0480	0,0019	0,0007	0,0001	0,0000
9		6	0,1034	0,0059	0,0025	0,0002	0,0000
10		7	0,1904	0,0158	0,0073	0,0008	0,0001
11		8	0,3073	0,0365	0,0183	0,0025	0,0002
12		9	0,4437	0,0740	0,0402	0,0067	0,0008
13		10	0,5836	0,1337	0,0789	0,0160	0,0022
14		11	0,7107	0,2183	0,1390	0,0342	0,0057
15		12	0,8139	0,3251	0,2229	0,0661	0,0133
16		13	0,8894	0,4466	0,3279	0,1163	0,0280
17		14	0,9393	0,5714	0,4468	0,1878	0,0540
18		15	0,9692	0,6879	0,5692	0,2801	0,0955
19		16	0,9856	0,7870	0,6839	0,3889	0,1561
20		17	0,9937	0,8641	0,7822	0,5060	0,2369
21		18	0,9975	0,9191	0,8594	0,6216	0,3356
22		19	0,9991	0,9551	0,9152	0,7264	0,4465
23		20	0,9997	0,9768	0,9522	0,8139	0,5610
24		21	0,9999	0,9888	0,9749	0,8813	0,6701
25		22	1,0000	0,9950	0,9877	0,9290	0,7660
26		23	1,0000	0,9979	0,9944	0,9604	0,8438
27		24	1,0000	0,9992	0,9976	0,9793	0,9022
28		25	1,0000	0,9997	0,9991	0,9900	0,9427
29		26	1,0000	0,9999	0,9997	0,9955	0,9686
30		27	1,0000	1,0000	0,9999	0,9981	0,9840
31		28	1,0000	1,0000	1,0000	0,9993	0,9924
32		29	1,0000	1,0000	1,0000	0,9997	0,9966
33		30	1,0000	1,0000	1,0000	0,9999	0,9986
34		31	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	0,9995
35		32	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	0,9998
36		33	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	0,9999
37		34	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000
38		35	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000

Die Werte 1,0000 und 0,0000 bedeuten: Die angegebenen Wahrscheinlichkeiten sind auf vier Stellen gerundet 1,0000 bzw. 0,0000.

1.1

Es handelt sich hierbei um eine Bernoulli-Kette mit Parametern $n=10$ und $p=0,28$ .

Die Zufallsvariable $X$ gibt an, wie viele der ersten zehn befragten Personen über das Internet telefonieren. $X$ kann hier als binomialverteilt mit $n=10$ und $p=0,28$ angenommen werden.

Wahrscheinlichkeit, dass genau drei Personen das Internet für Telefonate nutzen

Binomialverteilte Wahrscheinlichkeiten können mit dem CAS berechnet werden. Dazu muss in den Calculator-Modus gewechselt werden.

menu 5 5 D: Binomial Pdf

Nach Eingabe der Parameter $n =10$ , $p =0,28$ und $x = 3$ ergibt sich:

Screenshot einer Software zur Berechnung der Binomialverteilung mit Eingabefeldern für Versuche und Wahrscheinlichkeit.

Es folgt $P(X=3)\approx 0,26423.$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den ersten zehn befragten Personen genau drei Personen über das Internet telefonieren, beträgt somit etwa $26,42\,\%.$

Wahrscheinlichkeit, dass höchstens drei Personen das Internet für Telefonate nutzen

Mit dem CAS ergibt sich analog zum ersten Ereignis:

menu 5 5 E: Binomial Cdf

Screenshot einer Software zur Berechnung der Binomialverteilung mit Eingabefeldern und Ergebnissen.

Es folgt also $P(X \leq 3) \approx 0,7021 = 70,21\,\%$ .

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den ersten zehn befragten Personen höchstens drei Personen über das Internet telefonieren, beträgt somit $70,21\,\%.$

1.2

Formel anzeigen

1. Schritt: Anzahl der Möglichkeiten, die Treffer und Nieten anzuordnen

Laut Aufgabenstellung nutzen zwei von zehn der befragten Personen das Internet für Telefonate. Somit gibt es in dieser Situation zwei Treffer und 8 Nieten.

Hierbei handelt es sich um das Ziehen aus einer ungeordneten Stichprobe ohne Zurücklegen.

Somit gibt es $\begin{pmatrix}10\\ 2\end{pmatrix}=45$ Möglichkeiten, die Treffer und Nieten anzuordnen.

2. Schritt: Anzahl der Möglichkeiten, dass Ereignis $E$ gilt

Die 10 Befragten werden in zwei Gruppen aufgeteilt: Die ersten drei Befragten und die letzten sieben Befragten. Ereignis $E$ gilt genau dann, wenn auf den ersten drei und auf den letzten sieben Plätzen genau ein Treffer ist.

Es handelt sich hierbei wieder um das Ziehen aus einer ungeordneten Stichprobe ohne Zurücklegen.

Es gibt somit $\begin{pmatrix}3\\ 1\end{pmatrix}=3$ Möglichkeiten, einen Treffer auf drei Plätze zu verteilen, sowie $\begin{pmatrix}7\\ 1\end{pmatrix}=7$ Möglichkeiten, einen Treffer auf sieben Plätze zu verteilen.

Zusammen ergibt dies also $3\cdot 7=21$ Möglichkeiten für Ereignis $C$ .

3. Schritt: $P(E)$ berechnen

Durch Einsetzen der bestimmten Werte folgt:

$P(E)=\dfrac{21}{45}\approx 0,4667$

Die Wahrscheinlichkeit für Ereignis $C$ beträgt folglich etwa $46,67\,\%.$

Anteil der 25- bis 54-Jährigen, die das Internet für Telefonate nutzen

$\; 55\,\%$ aller Internetnutzer sind im Alter von 25 bis 54 Jahren

$\;26\,\%$ aller 24- bis 54-jähriger Internetnutzer telefonieren über das Internet

Sei $n$ die Anzahl von Internetnutzern im Jahr 2013. Somit sind $0,55 \cdot n$ Internetnutzer 24 bis 54 Jahre alt.

Damit gilt:

$P(A)= 0,143 \cdot n$

Rechenweg anzeigen

Der gesuchte Anteil entspricht folglich $14,3\,\%.$

Anteil der 10- bis 24-Jährigen Internetnutzer

Die Internetnutzer wurden in drei Gruppen nach ihrem Alter aufgeteilt. Der Anteil der 25- bis 54-Jährigen Nutzer von $55\,\%$ ist bereits bekannt. Sei $p$ der gesuchte Anteil der 10- bis 24-Jährigen Nutzern und und $q$ der Anteil an 55-Jährigen und Älteren.

Zusammen müssen die Anteile der drei Gruppen $100\,\%$ ergeben, also ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} 1&=p + 0,55 + q& \quad \mid\; -0,55 -p\\[5pt] 0,45-p&=q& \end{array}$

Der Gesamtanteil der Internetnutzer, welche das Internet zum Telefonieren nutzen, ist gerade die Summe der mit den Altersanteilen gewichteten Einzelanteilen, das heißt:

$0,28=0,42 \cdot p + 0,26 \cdot 0,55 + 0,21 \cdot q$

Das Gleichungssystem kann mit dem CAS gelöst werden:

menu 3: Algebra 7 1: Gleichungssystem lösen...

Durch Eingabe der Gleichung und der zugehörigen Parameter folgt:

Bildschirmaufnahme eines Programms zur Lösung eines Gleichungssystems mit den Variablen p und q.

Es ergibt sich also $p \approx 0,2024.$

Der Anteil an Internetnutzern im Alter von 10 bis 24 Jahren beträgt somit etwa $20,24\,\%.$

3.1

1. Schritt: Nullhypothese aufstellen

Da mit dem Hypothesentest untersucht werden soll, ob der Anteil der Internetnutzer, die über das Internet telefonieren, größer als 28 % im Jahr 2013 ist, muss die Nullhypothese hier wie folgt lauten:

$H_0: p_0 \leq 0,28$

Es handelt sich folglich um einen rechtsseitigen Hypothesentest. Die Gegenhypothese $H_1$ muss demnach wie folgt lauten:

$H_1: p_0 \gt 0,28$

2. Schritt: Entscheidungsregel formulieren

Die Zufallsvariable $Z$ beschreibt die die Anzahl an Internetnutzern unter den 50 Befragten, welche über das Internet telefonieren. $Z$ ist binomialverteilt mit $p=0,28$ und $n=50.$

Mit dem Signifikanzniveau $\alpha=0,01$ können Annahme- und Ablehnungsbereich bestimmt werden:

$\begin{array}[t]{rll} P(Z \geq k)&\leq& \alpha\\[5pt] 1- P(Z \lt k)&\leq& 0,01\\[5pt] 1-P(Z \leq k-1)&\leq& 0,01 &\quad \mid\; -1\\[5pt] -P(Z \leq k-1)&\leq& -0,99&\quad\mid\; \cdot \left(-1\right)\\[5pt] P(Z \leq k-1)&\geq& 0,99\\[5pt] \end{array}$

Mit der Tabelle für die summierte Binomialverteilung aus dem Material ergitb sich:

$F(50;\, 0,28;\, 22)=0,9950 \gt 0,99$

$F(50;\, 0,28;\, 21)=0,9888 \lt 0,99$

Da hier also $k-1=22$ gilt, folgt $k=23$ .

Somit ergibt sich also:

Annahmebereich: $A=(0,1,2,...,22)$

Ablehnungsbereich: $\overline{A}=(23,24,...,50)$

Benutzen mindestens 23 der 50 befragten Internetnutzer das Internet zum Telefonieren, wird folglich die Nullhypothese abgelehnt. In diesem Fall kann man davon ausgehen, dass der Anteil an Internetnutzern, die das Internet zum Telefonieren nutzen, über $28\,\%$ liegt.

3.2

$\beta$ bestimmen und erläutern

Im Material wird einer Wahrscheinlichkeit $p_1$ ein Wert $\beta$ , die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art, zugeordnet.

Zu der in der Aufgabenstellung angegebenen Wahrscheinlichkeit von $35\,\%$ , kann etwa der Wert $\beta=0,73$ abgelesen werden. Damit liegt die Wahrscheinlichkeit eines Fehler 2. Art hier bei circa $73\,\%.$

Der Fehler 2. Art bedeutet, dass die Nullhypothese $H_0$ fälschlicherweise beibehalten wird. Zu $73\,\%$ würde also angenommen werden, dass der Anteil nicht gestiegen ist, obwohl er tatsächlich auf $35\,\%$ gestiegen ist.

Zugehörigen Ablehnungsbereich bestimmen

Die Wahrscheinlichkeit von $73\,\%,$ einen Fehler 2. Art zu begehen, entspricht in diesem Test gerade der Wahrscheinlichkeit, die Nullhypothese beizubehalten.

Die Nullhypothese wird genau dann beibehalten, wenn für die Zufallsvariable $Z\in A$ gilt:

Rechenweg anzeigen

$P \left(Z \leq k-1\right) \approx 0,73$

Der Tabelle zur Binomialsummenfunktion für die Wahrscheinlichkeit $p_1=0,35$ kann der Wert $0,7264 \left(\approx 0,73\right)$ für $k-1=19$ abgelesen werden.

Damit folgt $k=20$ .

Der zu diesem Test zugehörige Ablehnungsbereich lautet somit $\overline{A}=\left(20,21,...,50\right)$ .

1.1

Es handelt sich hierbei um eine Bernoulli-Kette mit Parametern $n=10$ und $p=0,28$ .

Die Zufallsvariable $X$ gibt an, wie viele der ersten zehn befragten Personen über das Internet telefonieren. $X$ kann hier als binomialverteilt mit $n=10$ und $p=0,28$ angenommen werden.

Wahrscheinlichkeit, dass genau drei Personen das Internet für Telefonate nutzen

Binomialverteilte Wahrscheinlichkeiten können mit dem CAS berechnet werden. Dazu muss in den Calculator-Modus gewechselt werden.

Interaktiv Verteilungsfunktionen Diskret BinomialPdf

Nach Eingabe der Parameter $n =10$ , $p =0,28$ und $x = 3$ ergibt sich:

Berechnung der Binomialverteilung mit den Werten x=3, n=10 und p=0.28.

Es folgt $P(X=3)\approx 0,26423.$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den ersten zehn befragten Personen genau drei Personen über das Internet telefonieren, beträgt somit etwa $26,42\,\%.$

Wahrscheinlichkeit, dass höchstens drei Personen das Internet für Telefonate nutzen

Mit dem CAS ergibt sich analog zum ersten Ereignis:

Interaktiv Verteilungsfunktionen Diskret BinomialCdf

Screenshot einer Berechnung mit binomialCDF und Ergebnissen zur Erfolgswahrscheinlichkeit.

Es folgt also $P(X \leq 3) \approx 0,7021 = 70,21\,\%$ .

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den ersten zehn befragten Personen höchstens drei Personen über das Internet telefonieren, beträgt somit $70,21\,\%.$

1.2

Formel anzeigen

1. Schritt: Anzahl der Möglichkeiten, die Treffer und Nieten anzuordnen

Laut Aufgabenstellung nutzen zwei von zehn der befragten Personen das Internet für Telefonate. Somit gibt es in dieser Situation zwei Treffer und 8 Nieten.

Hierbei handelt es sich um das Ziehen aus einer ungeordneten Stichprobe ohne Zurücklegen.

Somit gibt es $\begin{pmatrix}10\\ 2\end{pmatrix}=45$ Möglichkeiten, die Treffer und Nieten anzuordnen.

2. Schritt: Anzahl der Möglichkeiten, dass Ereignis $E$ gilt

Es handelt sich hierbei wieder um das Ziehen aus einer ungeordneten Stichprobe ohne Zurücklegen.

Zusammen ergibt dies also $3\cdot 7=21$ Möglichkeiten für Ereignis $C$ .

3. Schritt: $P(E)$ berechnen

Durch Einsetzen der bestimmten Werte folgt:

$P(E)=\dfrac{21}{45}\approx 0,4667$

Die Wahrscheinlichkeit für Ereignis $C$ beträgt folglich etwa $46,67\,\%.$

Anteil der 25- bis 54-Jährigen, die das Internet für Telefonate nutzen

$\; 55\,\%$ aller Internetnutzer sind im Alter von 25 bis 54 Jahren

$\;26\,\%$ aller 24- bis 54-jähriger Internetnutzer telefonieren über das Internet

Sei $n$ die Anzahl von Internetnutzern im Jahr 2013. Somit sind $0,55 \cdot n$ Internetnutzer 24 bis 54 Jahre alt.

Damit gilt:

$P(A)= 0,143 \cdot n$

Rechenweg anzeigen

Der gesuchte Anteil entspricht folglich $14,3\,\%.$

Anteil der 10- bis 24-Jährigen Internetnutzer

Zusammen müssen die Anteile der drei Gruppen $100\,\%$ ergeben, also ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} 1&=p + 0,55 + q& \quad \mid\; -0,55 -p\\[5pt] 0,45-p&=q& \end{array}$

Der Gesamtanteil der Internetnutzer, welche das Internet zum Telefonieren nutzen, ist gerade die Summe der mit den Altersanteilen gewichteten Einzelanteilen, das heißt:

$0,28=0,42 \cdot p + 0,26 \cdot 0,55 + 0,21 \cdot q$

Das Gleichungssystem kann mit dem CAS gelöst werden:

Keyboard

Durch Eingabe der Gleichung und der zugehörigen Parameter folgt:

Mathematische Gleichungen und Werte für p und q in einem Textfeld dargestellt.

Es ergibt sich also $p \approx 0,2024.$

Der Anteil an Internetnutzern im Alter von 10 bis 24 Jahren beträgt somit etwa $20,24\,\%.$

3.1

1. Schritt: Nullhypothese aufstellen

$H_0: p_0 \leq 0,28$

Es handelt sich folglich um einen rechtsseitigen Hypothesentest. Die Gegenhypothese $H_1$ muss demnach wie folgt lauten:

$H_1: p_0 \gt 0,28$

2. Schritt: Entscheidungsregel formulieren

Die Zufallsvariable $Z$ beschreibt die die Anzahl an Internetnutzern unter den 50 Befragten, welche über das Internet telefonieren. $Z$ ist binomialverteilt mit $p=0,28$ und $n=50.$

Mit dem Signifikanzniveau $\alpha=0,01$ können Annahme- und Ablehnungsbereich bestimmt werden:

Mit der Tabelle für die summierte Binomialverteilung aus dem Material ergitb sich:

$F(50;\, 0,28;\, 22)=0,9950 \gt 0,99$

$F(50;\, 0,28;\, 21)=0,9888 \lt 0,99$

Da hier also $k-1=22$ gilt, folgt $k=23$ .

Somit ergibt sich also:

Annahmebereich: $A=(0,1,2,...,22)$

Ablehnungsbereich: $\overline{A}=(23,24,...,50)$

3.2

$\beta$ bestimmen und erläutern

Im Material wird einer Wahrscheinlichkeit $p_1$ ein Wert $\beta$ , die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art, zugeordnet.

Zugehörigen Ablehnungsbereich bestimmen

Die Wahrscheinlichkeit von $73\,\%,$ einen Fehler 2. Art zu begehen, entspricht in diesem Test gerade der Wahrscheinlichkeit, die Nullhypothese beizubehalten.

Die Nullhypothese wird genau dann beibehalten, wenn für die Zufallsvariable $Z\in A$ gilt:

Rechenweg anzeigen

$P \left(Z \leq k-1\right) \approx 0,73$

Der Tabelle zur Binomialsummenfunktion für die Wahrscheinlichkeit $p_1=0,35$ kann der Wert $0,7264 \left(\approx 0,73\right)$ für $k-1=19$ abgelesen werden.

Damit folgt $k=20$ .

Der zu diesem Test zugehörige Ablehnungsbereich lautet somit $\overline{A}=\left(20,21,...,50\right)$ .