A1 - Analysis

Das Wachstum einer Bakterienkultur soll mit Hilfe geeigneter mathematischer Funktionen beschrieben werden.

Bestimme die Funktionsgleichung einer Wachstumsfunktion $g$ mit $g(t)=a\cdot\mathrm e^{k\cdot t}$ , deren Graph durch die Punkte $A(0\mid 5)$ und $B(10\mid 8,24361)$ verläuft.

(4 BE)

Biologen haben über einen Zeitraum von $15$ Stunden das Wachstum einer Bakterienkultur untersucht, welche der Wirkung eines Toxins ausgesetzt wurde. Die gemessenen Ergebnisse sind in den ersten beiden Zeilen der Tabelle im Material protokolliert ( $t$ entspricht der Zeit in Stunden, $y$ der Anzahl der noch lebenden Bakterien in Tausend).
Der Wachstumsvorgang soll durch zwei unterschiedliche Funktionen modelliert werden:

Modell 1: $\quad f_1(t)=\dfrac{1}{a\cdot t^2+b\cdot t+c}$

Modell 2: $\quad f_2(t)=\mathrm e^{a\cdot t^2+b\cdot t+c}$

2.1

Bestimme für jedes der beiden Modelle die zugehörige Funktionsgleichung. Verwende dazu ein geeignetes Regressionsverfahren unter Benutzung jeweils einer der beiden unteren Zeilen der im Material angegebenen Tabelle. Erkläre deine Vorgehensweise.

(8 BE)

Verwende im Folgenden die in Aufgabe 2.1 bestimmten Funktionen $f_1$ und $f_2$
Solltest du die Funktionen $f_1$ und $f_2$ nicht bestimmt haben, verwende

für $f_1$ die Ersatzfunktion $\mathrm e_1$ mit $\mathrm e_1(t)=\dfrac{1}{0,00081\cdot t^2-0,016\cdot t+0,195}$ und

für $f_2$ die Ersatzfunktion $\mathrm e_2$ mit $\mathrm e_2(t)=\mathrm e^{-0,0052\cdot t^2+0,1018\cdot t+1,61}$ .

2.2

Der Term $\dfrac{1}{n}\cdot\sqrt{\sum\limits_{k=1}^{n}(y_k-f(t_k))^2}$ beschreibt ein Maß für die Abweichung einer Funktion $f$ von gegebenen Wertepaaren $(t_k\mid y_k)$ , $k=1,...,n$ . Erläutere den Aufbau des Terms.
Der Wert des Abweichungsmaßes für $f_1$ beträgt ungefähr $0,02$ . Bestimme für die Funktion $f_2$ den Wert des Abweichungsmaßes und beurteile für beide Funktionen die Qualität der Anpassung.

(6 BE)

2.3

Bestimme in beiden Modellen den jeweiligen Zeitpunkt des maximalen Bestandszuwachses der noch lebenden Bakterien sowie den jeweiligen Zeitpunkt des maximalen Bestandes. Gib jeweils die größte Anzahl der noch lebenden Bakterien an.

(6 BE)

2.4

Erläutere die Bedeutung des Schnittpunktes des Graphen $f_1$ bzw. $f_2$ mit der $y$ -Achse im Sachzusammenhang und bestimme jeweils mithilfe von $f_1$ bzw. $f_2$ den Zeitpunkt, an dem erstmalig nach Beginn der Messung die Anzahl der noch lebenden Bakterien $10\,\%$ des Wertes von $f_1(0)$ bzw. $f_2(0)$ beträgt.

(5 BE)

2.5

Bestimme den Wert des Terms $\dfrac{1}{5}\cdot\displaystyle\int_{7}^{12}\;\mathrm (f_1(t)-f_2(t))\;\mathrm dt$ und deute das Ergebnis im Sachzusammenhang.

(5 BE)

Die Biologen vermuten, dass die Wachstumsrate $k$ mit $\(k(t)=\dfrac{f$ linear verläuft.
Berechne die Wachstumsraten $k_1$ und $k_2$ für die allgemeinen Modellfunktionen $f_1(t)=\dfrac{1}{a\cdot t^2+b\cdot t+c}$ und $f_2(t)=\mathrm e^{a\cdot t^2+b\cdot t+c}$ und prüfe jeweils, ob die Vermutung der Biologen zutrifft.

(6 BE)

Material

Zeit $t$ (in Stunden)	Anzahl der noch lebenden Bakterien $y$ (in Tausend)	1/ $y$	$\ln(y)$
$0,0$	$5,00$	$0,200$	$1,609$
$2,5$	$6,12$	$0,163$	$1,812$
$5,0$	$7,22$	$0,139$	$1,977$
$7,5$	$8,04$	$0,124$	$2,084$
$10,0$	$8,20$	$0,122$	$2,104$
$12,5$	$8,00$	$0,125$	$2,079$
$15,0$	$7,16$	$0,140$	$1,969$

Funktionsgleichung bestimmen

Einsetzen von $A(0\mid 5)$ in $g(t)$ liefert für $a:$

Rechenweg anzeigen

$a=5$

Durch Einsetzen von $B(10\mid 8,24361)$ folgt weiter:

Rechenweg anzeigen

$k \approx 0,050$

Die Funktion für das Wachstum lautet damit $g(t)=5\cdot \mathrm e^{0,05t}$ .

2.1

Funktionsgleichung für Modell 1 bestimmen

Für die Durchführung einer quadratischen Regression mit Hilfe den Werten aus der dritten Zeile der Tabelle wird zunächst eine Liste der Werte für $t$ und $\dfrac{1}{y}$ unter MENU $\to$ Statistik angelegt:

Tabellenansicht mit drei Listen und verschiedenen Werten in einer Softwareanwendung.

Unter CALC $\to$ Regressionen $\to$ Quadratische Reg. werden nun die Parameter für die Ersatzfunktion bestimmt. Es ergibt sich $a \approx 0,0008$ , $b \approx -0,0159$ und $c \approx 0,1990.$ Für die Ersatzfunktion folgt:

$q_{1}(t)$ $= \dfrac{1}{f_{1}(t)}$ $= 0,0008t^{2}$ $- 0,0159t$ $+ 0,1990.$

Die Funktion $f_(t)$ ergibt sich somit wie folgt:

$f_{1}(t)$ $=\dfrac{1}{0,0008t^{2} - 0,0159t + 0,1990}$

Funktionsgleichung für Modell 2 bestimmen

Mit Hilfe einer quadratischen Regression im CAS unter Zuhilfenahme der Werte von $t$ und $\ln(y)$ ergeben sich die Parameter der Ersatzfunktion $q_{2}(t)$ $= \ln(f_{2}(t))$ als $a\approx-0,0051,$ $b\approx0,1017$ und $c\approx1,6119.$ Damit folgt für $f_2:$

$f_{2}(t)$ $=\mathrm e^{-0,0051t^{2}+0,1017t+1,6119}$

2.2

Termaufbau beschreiben

Der Ausdruck berechnet zunächst die Differenz zwischen den Funktionswerten $f(t_{k})$ und den gegebenen Werten $y_{k}.$ Diese Differenz wird quadriert und über alle $k$ von $1$ bis $n$ aufsummiert. Die Wurzel dieser Summe wird nun durch $n$ geteilt, was die durchschnittliche Differenz zwischen $f(t_{k})$ und $y_{k}$ ergibt.

Wert der Abweichung berechnen

Einsetzen verschiedener Werte für $t$ in die Funktionsgleichung von $f_2$ mit Hilfe des CAS und Betrachtung der dazugehörigen Werte $y(t)$ in der Tabelle aus dem Material liefert folgende Werte:

Zeit $t$ (in Stunden)	$f_2(t)$	$y(t)$
$0$	$4,95$	$5,00$
$2,5$	$6,19$	$6,12$
$5$	$7,26$	$7,22$
$7,5$	$7,98$	$8,04$
$10$	$8,23$	$8,20$
$12,5$	$7,96$	$8,00$
$15$	$7,23$	$7,16$

Durch Einsetzen dieser Werte in die oben beschriebene Formel folgt für die Abweichung von $f_2:$

Rechenweg anzeigen

$\dfrac{1}{n}\cdot\sqrt{\sum\limits_{k=1}^{n}\left(y_{k}-f_2(t_{k})\right)^{2}} \approx 0,019$

Die Werte der Abweichung sind für beide Funktionen fast gleich und relativ klein, somit stellen beide Funktionen eine gute Annäherung der echten Werte dar.

2.3

Maximalstellen für Modell 1 bestimmen

Zunächst wird die Funktion im CAS definiert. Mit Hilfe des "fMax"-Befehl des CAS werden dann die Maximalstelle der Funktion und Ableitung berechnet. Folgender Befehl liefert die Ableitung von $f_1:$

Keyboard $\to$ Math2 $\to$ Ableitung

Für die Maximalstelle von $f_1$ folgt:

$t=9,93$

Da $f(9,93)$ $= 8339$ gilt, erreicht die Bakterienkultur nach $9,93$ Stunden mit $8339$ lebenden Bakterien die größte Population. Die Maximalstelle der Ableitung liegt bei $t=2,87,$ das heißt nach $2,87$ Stunden ist das Wachstum der Bakterienpopulation am größten.

Screenshot eines mathematischen Programms mit Funktionen und Berechnungen.

Maximalstellen für Modell 2 bestimmen

Analoges Vorgehen wie bei $f_1$ liefert hier, dass die Maxima bei $H_{f}=(10,13\mid8,215)$ und $\(H_{f$ liegen. Die maximale Anzahl der lebenden Bakterien beträgt hier also nach $10,13$ Stunden $8215.$

2.4

Erläutern im Sachzusammenhang

Der Schnittpunkt des Graphen von $f$ mit der $y$ -Achse gibt die Anzahl Bakterien zu Beginn des Beobachtungszeitraums an.

Zeitpunkt für Modell 1 bestimmen

Der CAS liefert zunächst $f_1(0)$ $\approx 5,025.$ Aufstellen von $f(t)= 5,025 \cdot 0,1$ liefert mit Hilfe des solve-Befehls des CAS:

$t=58,2$

Screenshot einer mathematischen Software mit einer Gleichung und Lösungsergebnissen.

Somit beträgt die Anzahl der Bakterien nach $58,2$ Stunden $10\,\%$ des Anfangswertes.

Zeitpunkt für Modell 2 bestimmen

Analoge Vorgehensweise liefert hier mit $f(0)$ $\approx 5,012$ den Wert $33,3$ für $t.$ Somit sind bei der zweiten Funktion nach $33,3$ Stunden $10\,\%$ der Anfangspopulation erreicht.

2.5

Integralwert bestimmen

Unter Keyboard $\to$ Math2 $\to$ Integral kann das folgende Integral im CAS berechnet werden:

$\dfrac{1}{5}$ $\cdot\displaystyle\int_{7}^{12}\dfrac{1}{0,0008t^{2}-0,0159 t+0,1990}$ $- \mathrm e^{-0,0051t^{2}+0,1017t+1,611}\mathrm dt$ $\approx 0,095.$

Im Sachzusammenhang deuten

Das Integral gibt die Differenz der beiden Funktionen zwischen $t=7$ und $t=12$ an. Da durch $5$ geteilt wird, berechnet der Term die durchschnittliche Differenz im angegebenen Zeitraum. Die erste Funktion gibt somit im Zeitraum zwischen sieben und zwölf Stunden somit durchschnittlich $95$ Bakterien mehr an als $f_2.$

Wachstumsrate für Modell 1 berechnen

Mit Hilfe der Kettenregel folgt für die Ableitung von $f_{1}(t)$ $=\dfrac{1}{at^{2}+bt+c}$ $=(at^{2}+bt+c)^{-1}:$

$\(f$ $=-(at^{2}+bt+c)^{-2}$ $\cdot(2at+b)$ $=-\dfrac{2at+b}{(at^{2}+bt+c)^{2}}$

Für $k_1(t)$ folgt dann:

$k_{1}(t)$ $=\dfrac{-\dfrac{2at+b}{(at^{2}+bt+c)^{2}}}{\dfrac{1}{at^{2}+bt+c}}$ $= -\dfrac{2at+b}{(at^{2}+bt+c)^{2}}$ $\cdot(at^{2}+bt+c)$ $=-\dfrac{2at+b}{at^{2}+bt+c}$

Da die Potenz von $t$ im Nenner von $k_{1}(t)$ größer als die im Zähler ist, kann es sich hier nicht um eine lineare Funktion handeln. Die Biologen haben damit in diesem Fall Unrecht.

Wachstumsrate für Modell 2 berechnen

Für die Ableitung der Funktion $f_{2}(t)=\mathrm e^{at^{2}+bt+c}$ folgt mit der Kettenregel:

$\(f$ $=\mathrm e^{at^{2}+bt+c}$ $\cdot(2ab+b)$

Für $k_2(t)$ folgt dann:

$k_{2}(t)$ $=\dfrac{\mathrm e^{at^{2}+bt+c} \cdot(2at+b)}{\mathrm e^{at^{2}+bt+c}}$ $=2ab+b$

Das ist eine lineare Funktion, die Behauptung ist somit für $f_2$ korrekt.

Funktionsgleichung bestimmen

Einsetzen von $A(0\mid 5)$ in $g(t)$ liefert für $a:$

Rechenweg anzeigen

$a=5$

Durch Einsetzen von $B(10\mid 8,24361)$ folgt weiter:

Rechenweg anzeigen

$k \approx 0,050$

Die Funktion für das Wachstum lautet damit $g(t)=5\cdot \mathrm e^{0,05t}$ .

2.1

Funktionsgleichung für Modell 1 bestimmen

$q_{1}(t)$ $= \dfrac{1}{f_{1}(t)}$ $= 0,0008t^{2}$ $- 0,0159t$ $+ 0,1990.$

Die Funktion $f_(t)$ ergibt sich somit wie folgt:

$f_{1}(t)$ $=\dfrac{1}{0,0008t^{2} - 0,0159t + 0,1990}$

Funktionsgleichung für Modell 2 bestimmen

$f_{2}(t)$ $=\mathrm e^{-0,0051t^{2}+0,1017t+1,6119}$

2.2

Termaufbau beschreiben

Wert der Abweichung berechnen

Einsetzen verschiedener Werte für $t$ in die Funktionsgleichung von $f_2$ mit Hilfe des CAS und Betrachtung der dazugehörigen Werte $y(t)$ in der Tabelle aus dem Material liefert folgende Werte:

Zeit $t$ (in Stunden)	$f_2(t)$	$y(t)$
$0$	$4,95$	$5,00$
$2,5$	$6,19$	$6,12$
$5$	$7,26$	$7,22$
$7,5$	$7,98$	$8,04$
$10$	$8,23$	$8,20$
$12,5$	$7,96$	$8,00$
$15$	$7,23$	$7,16$

Durch Einsetzen dieser Werte in die oben beschriebene Formel folgt für die Abweichung von $f_2:$

Rechenweg anzeigen

$\dfrac{1}{n}\cdot\sqrt{\sum\limits_{k=1}^{n}\left(y_{k}-f_2(t_{k})\right)^{2}} \approx 0,019$

Die Werte der Abweichung sind für beide Funktionen fast gleich und relativ klein, somit stellen beide Funktionen eine gute Annäherung der echten Werte dar.

2.3

Maximalstellen für Modell 1 bestimmen

Zunächst wird die Funktion im CAS definiert. Mit Hilfe des "fMax"-Befehl des CAS werden dann die Maximalstelle der Funktion und Ableitung berechnet. Folgender Befehl liefert die Ableitung von $f_1:$

Keyboard $\to$ Math2 $\to$ Ableitung

Für die Maximalstelle von $f_1$ folgt:

$t=9,93$

Maximalstellen für Modell 2 bestimmen

2.4

Erläutern im Sachzusammenhang

Der Schnittpunkt des Graphen von $f$ mit der $y$ -Achse gibt die Anzahl Bakterien zu Beginn des Beobachtungszeitraums an.

Zeitpunkt für Modell 1 bestimmen

Der CAS liefert zunächst $f_1(0)$ $\approx 5,025.$ Aufstellen von $f(t)= 5,025 \cdot 0,1$ liefert mit Hilfe des solve-Befehls des CAS:

$t=58,2$

Somit beträgt die Anzahl der Bakterien nach $58,2$ Stunden $10\,\%$ des Anfangswertes.

Zeitpunkt für Modell 2 bestimmen

Analoge Vorgehensweise liefert hier mit $f(0)$ $\approx 5,012$ den Wert $33,3$ für $t.$ Somit sind bei der zweiten Funktion nach $33,3$ Stunden $10\,\%$ der Anfangspopulation erreicht.

2.5

Integralwert bestimmen

Unter Keyboard $\to$ Math2 $\to$ Integral kann das folgende Integral im CAS berechnet werden:

$\dfrac{1}{5}$ $\cdot\displaystyle\int_{7}^{12}\dfrac{1}{0,0008t^{2}-0,0159 t+0,1990}$ $- \mathrm e^{-0,0051t^{2}+0,1017t+1,611}\mathrm dt$ $\approx 0,095.$

Im Sachzusammenhang deuten

Wachstumsrate für Modell 1 berechnen

Mit Hilfe der Kettenregel folgt für die Ableitung von $f_{1}(t)$ $=\dfrac{1}{at^{2}+bt+c}$ $=(at^{2}+bt+c)^{-1}:$

$\(f$ $=-(at^{2}+bt+c)^{-2}$ $\cdot(2at+b)$ $=-\dfrac{2at+b}{(at^{2}+bt+c)^{2}}$

Für $k_1(t)$ folgt dann:

$k_{1}(t)$ $=\dfrac{-\dfrac{2at+b}{(at^{2}+bt+c)^{2}}}{\dfrac{1}{at^{2}+bt+c}}$ $= -\dfrac{2at+b}{(at^{2}+bt+c)^{2}}$ $\cdot(at^{2}+bt+c)$ $=-\dfrac{2at+b}{at^{2}+bt+c}$

Da die Potenz von $t$ im Nenner von $k_{1}(t)$ größer als die im Zähler ist, kann es sich hier nicht um eine lineare Funktion handeln. Die Biologen haben damit in diesem Fall Unrecht.

Wachstumsrate für Modell 2 berechnen

Für die Ableitung der Funktion $f_{2}(t)=\mathrm e^{at^{2}+bt+c}$ folgt mit der Kettenregel:

$\(f$ $=\mathrm e^{at^{2}+bt+c}$ $\cdot(2ab+b)$

Für $k_2(t)$ folgt dann:

$k_{2}(t)$ $=\dfrac{\mathrm e^{at^{2}+bt+c} \cdot(2at+b)}{\mathrm e^{at^{2}+bt+c}}$ $=2ab+b$

Das ist eine lineare Funktion, die Behauptung ist somit für $f_2$ korrekt.