B2 - Analytische Geometrie

Vor einem Wohnhaus, dessen Hauswand in der $y$ - $z$ -Ebene liegt, wird über einer rechteckigen, in der $x$ - $y$ -Ebene gelegenen Fläche $ABCD$ eine Terrasse gebaut (Material). Dabei ist $C$ der Ursprung des Koordinatensystems.
Um Regenwasser sicher vom Haus fernzuhalten, hat die ebene Oberfläche $A_1B_1C_1D_1$ der Terrasse entlang aller Kanten gegenüber der $x$ - $y$ -Ebene jeweils ein Gefälle von $1,5\,\%.$
Die Koordinaten der Eckpunkte der Terrasse lauten $A_1= A(6\mid 12\mid 0),$ $B_1(0\mid 12\mid 0,09),$ $C_1(0\mid 0\mid0,27),$ $D_1(6\mid 0\mid z_{D_1}).$ Die Punkte $B_1$ , $C_1$ , $D_1$ liegen in vertikaler Richtung jeweils oberhalb der Punkte $B$ , $C$ , $D.$
Eine Längeneinheit entspricht einem Meter.

1.1

Gib die Koordinaten der Punkte $B$ und $D$ an und berechne die fehlende Koordinate $z_{D_1}$ des Punktes $D_1.$

(4 BE)

1.2

Zeige, dass die Oberfläche der Terrasse in der Ebene $T:\; 3x+3y+200z = 54$ liegt.

(4 BE)

1.3

Um zu erreichen, dass Wasser gut ablaufen kann, wird ein Gefälle der Terrassenoberfläche gegenüber der $x$ - $y$ -Ebene von mindestens $2\,\%$ empfohlen. Prüfe, ob diese Bedingung erfüllt ist.

(5 BE)

Entlang der Hauswand wird eine rechteckige Teilüberdeckung der Terrasse mit den Eckpunkten $P_1(3\mid 1\mid 2,4),$ $P_2,$ $H_2(0\mid 9\mid 2,5)$ und $H_1(0\mid 1\mid 2,5)$ angebracht (Material).
Die Teilüberdeckung ist über zwei Stahlseile in den Punkten $S_1$ und $S_2$ an der Hauswand befestigt. Dabei liegt der Punkt $S_1$ vertikal über $H_1$ und der Punkt $S_2$ vertikal über $H_2.$

2.1

Regenwasser auf der Überdachung soll von $P_1$ durch ein vertikal verlaufendes Fallrohr geleitet werden. Hierfür muss die Terrassenoberfläche durchbohrt werden. Bestimme den Punkt $G,$ in dem die Bohrung auf der Terrassenoberfläche vorgenommen werden muss.

(4 BE)

2.2

Die Stahlseile der Überdachung sollen so an der Hauswand befestigt werden, dass der Winkel $\beta$ zwischen dem von $S_1$ nach $P_1$ verlaufenden Stahlseil und der Hauswand $60^{\circ}$ beträgt.
Untersuche, wie die Koordinaten des Verankerungspunkts $S_1$ gewählt werden müssen.

(5 BE)

Die Koordinaten der Punkte der Terrassenoberfläche, die in vertikaler Richtung unterhalb der Überdachung liegen, erhält man mit Hilfe einer Abbildung, die jeden Punkt des Rechtecks $P_1P_2H_2H_1$ parallel zur $z$ -Achse auf die Ebene $T$ projiziert.

3.1

$T_1$ ist diejenige Ebene, die parallel zur Ebene $T$ und durch den Punkt $C(0\mid 0\mid 0)$ verläuft. Bestimme die Abbildungsmatrix $M$ einer Abbildung, mit deren Hilfe alle Punkte des Raums parallel zur $z$ -Achse auf $T_1$ projiziert werden.

(6 BE)

3.2

Stelle die Abbildung, mit deren Hilfe man die Koordinaten der Punkte der Terrassenoberfläche, die in vertikaler Richtung unterhalb der Überdachung liegen, bestimmen kann, in der Form $\(\overrightarrow{x}$ dar.

(2 BE)

Material

Hinweis: Die Abbildung ist nicht maßstabsgerecht.

1.1

1. Schritt: Koordinaten von $B$ und $D$ angeben

$B(0\mid 12\mid 0)$

$D(6\mid 0 \mid 0)$

2. Schritt: $z_{D_1}$ berechnen

Das Gefälle der Kante $\overline{D_1A_1}$ gegnüber der $x$ - $y$ -Ebene beträgt $1,5\,\%$ und das Dreieck $D_1DA_1$ besitzt einen rechten Winkel bei $D$ .
Ein Gefälle von $1,5\,\%$ bedeutet eine vertikale Differenz von $1,5\,\text{LE}$ auf einer horizontalen Strecke der Länge $100\,\text{LE}$ . Die Strecke $\overline{DA_1}$ besitzt eine Länge von $12\,\text{LE},$ somit muss die vertikale Differenz hier $0,18\,\text{LE}$ betragen, da pro Längeneinheit ein Gefälle von $0,015\,\text{LE}$ in vertikale Richtung erfolgt.
Es folgt damit für $D_1:$

$D_1(6\mid 0\mid 0,18)$

1.2

1. Schritt: Koordinaten von $A_1$ einsetzen

Rechenweg anzeigen

$54 = 54$

$A_1$ liegt in $T.$

2. Schritt: Koordinaten von $B_1$ einsetzen:

Rechenweg anzeigen

$54 = 54$

$B_1$ liegt in $T.$

3. Schritt: Koordinaten von $C_1$ einsetzen:

Rechenweg anzeigen

$54 = 54$

$C_1$ liegt in $T.$

4. Schritt: Koordinaten von $D_1$ einsetzen:

Rechenweg anzeigen

$54 = 54$

$D_1$ liegt ebenfalls in $T.$ Somit liegt die komplette Oberfläche der Terasse in $T.$

1.3

Ein Normalenvektor der $x$ - $y$ -Ebene ist $\overrightarrow{n}_1 = \pmatrix{0\\0\\1}.$

Ein Normalenvektor von $T$ wird aus der Ebenengleichung abgelesen: $\overrightarrow{n}_2 = \pmatrix{3\\3\\200}.$

Mit Hilfe des CAS ergibt sich:

Rechenweg anzeigen

$\alpha \approx 1,215^{\circ}$

Mathematische Berechnungen mit Vektoren und Normen in einer Software-Anwendung.

Berechnung mit dem CAS

Mithilfe des Tangens wird aus $\alpha$ die Prozentangabe des Gefälles bestimmt:

Rechenweg anzeigen

$\tan(\alpha) \gt 2\,\%$

Damit ist die Bedingung erfüllt.

2.1

Der Punkt $G$ , in dem gebohrt werden soll, liegt in der Terrassenoberfläche, also in der Ebene $T$ und vertikal unter dem Punkt $P_1,$ das heißt er besitzt die gleiche $x$ - und $y$ -Koordinate wie dieser.
Einsetzen der $x$ - und $y$ -Koordinaten von $P_1(3\mid 1\mid 2,4)$ in die Ebenengleichung von $T$ und auflösen nach $z$ liefert mit Hilfe des CAS:

Rechenweg anzeigen

$z = 0,21$

Mathematische Berechnungen und Gleichungsauflösungen in einer Software-Oberfläche.

Gleichung lösen

Somit ergeben sich die Koordinaten $G(3\mid 1\mid 0,21).$

2.2

Die Hauswand liegt in der $y$ - $z$ -Ebene. Ein Normalenvektor dieser ist $\overrightarrow{n} = \pmatrix{1\\0\\0}$ .

Als Richtungsvektor der Geraden kann $\overrightarrow{P_1S_1}$ verwendet werden. Da $S_1$ vertikal über dem Punkt $H_1$ liegt hat $S_1$ die gleichen $x$ - und $y$ -Koordinaten wie dieser: $S_1(0\mid 1 \mid z_{S_1}).$

Für den Richtungsvektor folgt damit:

$\overrightarrow{r} = \pmatrix{-3\\0\\z_{S_1}-2,4}$

Einsetzen und nach $z_{S_1}$ umformen, liefert mit dem solve-Befehl des CAS:

Rechenweg anzeigen

$\begin{array}[t]{rll} \sin (60^{\circ})&=& \dfrac{\left|\overrightarrow{n}\circ \overrightarrow{r} \right|}{\left|\overrightarrow{n} \right| \cdot \left|\overrightarrow{r} \right|} \\[5pt] \sin (60^{\circ})&=& ... \\[5pt] z_1&\approx& 4,132 \\[5pt] z_2&\approx& 0,67 \\[5pt] \end{array}$

Mathematische Berechnungen und Gleichungen in einer Software-Oberfläche.

Gleichung lösen

Die $z$ -Koordinate von $S_1$ muss größer sein als die von $H_1$ , da $S_1$ vertikal über $H_1$ liegt. $z_1$ ist somit die für den Sachverhalt richtige Lösung.

Es gilt: $S_1(0\mid 1\mid 4,132).$

3.1

Bei einer Projektion aller Punkte auf $T_1,$ die parallel zur $z$ -Achse durchgeführt wird, bleiben die $x$ - und $y$ -Koordinaten der Punkte erhalten, es ändern sich nur die $z$ -Koordinaten so, dass die Punkte in $T_1$ liegen.

1. Schritt: Ebenengleichung von $T_1$ aufstellen

$T_1$ liegt parallel zu $T$ und besitzt somit den gleichen Normalenvektor. Einsetzen der Koordinaten von $C$ liefert:

$3\cdot 0+3\cdot 0 +200\cdot 0 = 0$

Eine Ebenengleichung lautet damit $T_1:\; 3x+3y+200z = 0.$

2. Schritt: Projektionsgleichung aufstellen

Es soll $\(M\cdot \overrightarrow{p} = \overrightarrow{p}$ gelten, das heißt:

$\(M\cdot \pmatrix{x\\y\\z} = \pmatrix{x$

Wie oben beschrieben gilt $\(x$ und $\(y$ . Auflösen der Ebenengleichung von $T_1$ nach $\(z$ liefert:

Rechenweg anzeigen

$\( z$

Durch Einsetzen in die Projektionsgleichung folgt:

Rechenweg anzeigen

$M\cdot \pmatrix{x\\y\\z} = ...$

3. Schritt: Einträge der Matrix bestimmen

Die $x$ - bzw. $y$ -Werte sollen jeweils auf sich selbst abgebildet werden, somit folgt für die ersten beiden Zeilen von $M:$

$M= \pmatrix{1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0\\ a & b & c}$

Die letzte Zeile muss $\pmatrix{x\\y\\z}$ auf $-0,015x-0,015y$ abbilden. Ausmultiplizieren liefert:

$a\cdot x +b\cdot y +c\cdot z$
$= -0,015x-0,015y$

Durch Koeffizientenvergleich folgt $a = -0,015,$ $b = -0,015$ und $c =0$ und damit:

$M= \pmatrix{1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0\\ -0,015 & -0,015 & 0}$

3.2

Abbildung darstellen

Die im Aufgabenteil zuvor bestimmte Abbildungsmatrix $M$ wird nun verwendet, um die gesuchte Abbildung der Form $\(\overrightarrow{x}$ zu benennen.

Da die Ebene $T$ parallel zur Ebene $T_1$ steht, müssen die Punkte nach der Abbildung auf die Ebene $T_1$ nur noch mit Hilfe des Vektors $\overrightarrow{k}$ verschoben werden. Da $T_1$ und $T$ die gleichen $x$ - und $y$ -Werte besitzen, findet diese Verschiebung entlang der $z$ -Achse statt.

Da der Punkt $C$ in $T_1$ vertikal unter dem Punkt $C_1$ der Ebene $T$ liegt, folgt durch Vergleich der Koordinaten der beiden Punkte und der Parallelität der Ebenen, dass $T$ aus $T_1$ durch eine Verschiebung um $0,27 \, \text{LE}$ in $z$ -Richtung entsteht. Insgesamt ergibt sich damit folgende Gleichung:

$\(\overrightarrow{x}$

1.1

1. Schritt: Koordinaten von $B$ und $D$ angeben

$B(0\mid 12\mid 0)$

$D(6\mid 0 \mid 0)$

2. Schritt: $z_{D_1}$ berechnen

$D_1(6\mid 0\mid 0,18)$

1.2

1. Schritt: Koordinaten von $A_1$ einsetzen

Rechenweg anzeigen

$54 = 54$

$A_1$ liegt in $T.$

2. Schritt: Koordinaten von $B_1$ einsetzen:

Rechenweg anzeigen

$54 = 54$

$B_1$ liegt in $T.$

3. Schritt: Koordinaten von $C_1$ einsetzen:

Rechenweg anzeigen

$54 = 54$

$C_1$ liegt in $T.$

4. Schritt: Koordinaten von $D_1$ einsetzen:

Rechenweg anzeigen

$54 = 54$

$D_1$ liegt ebenfalls in $T.$ Somit liegt die komplette Oberfläche der Terasse in $T.$

1.3

Ein Normalenvektor der $x$ - $y$ -Ebene ist $\overrightarrow{n}_1 = \pmatrix{0\\0\\1}.$

Ein Normalenvektor von $T$ wird aus der Ebenengleichung abgelesen: $\overrightarrow{n}_2 = \pmatrix{3\\3\\200}.$

Mit Hilfe des CAS ergibt sich:

Rechenweg anzeigen

$\alpha \approx 1,215^{\circ}$

Berechnung mit dem CAS

Mithilfe des Tangens wird aus $\alpha$ die Prozentangabe des Gefälles bestimmt:

Rechenweg anzeigen

$\tan(\alpha) \gt 2\,\%$

Damit ist die Bedingung erfüllt.

2.1

Rechenweg anzeigen

$z = 0,21$

Mathematische Software zeigt eine Gleichung zur Lösung mit einer Variable.

Abb. 2: Gleichung lösen

Somit ergeben sich die Koordinaten $G(3\mid 1\mid 0,21).$

2.2

Die Hauswand liegt in der $y$ - $z$ -Ebene. Ein Normalenvektor dieser ist $\overrightarrow{n} = \pmatrix{1\\0\\0}$ .

Für den Richtungsvektor folgt damit:

$\overrightarrow{r} = \pmatrix{-3\\0\\z_{S_1}-2,4}$

Einsetzen und nach $z_{S_1}$ umformen, liefert mit dem solve-Befehl des CAS:

Rechenweg anzeigen

Mathematische Gleichung mit Funktionen und Lösungen in einem interaktiven Fenster.

Abb. 3: Gleichung lösen

Die $z$ -Koordinate von $S_1$ muss größer sein als die von $H_1$ , da $S_1$ vertikal über $H_1$ liegt. $z_1$ ist somit die für den Sachverhalt richtige Lösung.

Es gilt: $S_1(0\mid 1\mid 4,132).$

3.1

1. Schritt: Ebenengleichung von $T_1$ aufstellen

$T_1$ liegt parallel zu $T$ und besitzt somit den gleichen Normalenvektor. Einsetzen der Koordinaten von $C$ liefert:

$3\cdot 0+3\cdot 0 +200\cdot 0 = 0$

Eine Ebenengleichung lautet damit $T_1:\; 3x+3y+200z = 0.$

2. Schritt: Projektionsgleichung aufstellen

Es soll $\(M\cdot \overrightarrow{p} = \overrightarrow{p}$ gelten, das heißt:

$\(M\cdot \pmatrix{x\\y\\z} = \pmatrix{x$

Wie oben beschrieben gilt $\(x$ und $\(y$ . Auflösen der Ebenengleichung von $T_1$ nach $\(z$ liefert:

Rechenweg anzeigen

$\( z$

Durch Einsetzen in die Projektionsgleichung folgt:

Rechenweg anzeigen

$M\cdot \pmatrix{x\\y\\z} = ...$

3. Schritt: Einträge der Matrix bestimmen

Die $x$ - bzw. $y$ -Werte sollen jeweils auf sich selbst abgebildet werden, somit folgt für die ersten beiden Zeilen von $M:$

$M= \pmatrix{1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0\\ a & b & c}$

Die letzte Zeile muss $\pmatrix{x\\y\\z}$ auf $-0,015x-0,015y$ abbilden. Ausmultiplizieren liefert:

$a\cdot x +b\cdot y +c\cdot z$
$= -0,015x-0,015y$

Durch Koeffizientenvergleich folgt $a = -0,015,$ $b = -0,015$ und $c =0$ und damit:

$M= \pmatrix{1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0\\ -0,015 & -0,015 & 0}$

3.2

Abbildung darstellen

Die im Aufgabenteil zuvor bestimmte Abbildungsmatrix $M$ wird nun verwendet, um die gesuchte Abbildung der Form $\(\overrightarrow{x}$ zu benennen.

$\(\overrightarrow{x}$