Die „Puerta de Europa“ in Madrid besteht aus zwei einander zugeneigten Türmen (Material 1), die jeweils die Form eines Spats aufweisen. Ein Spat ist ein Körper, dessen Oberfläche aus sechs Parallelogrammen besteht, wobei jeweils gegenüberliegende Flächen kongruent und parallel zueinander sind.
Im Modell liegen die Bodenflächen beider Türme in der --Ebene, die den Erdboden beschreibt.
Die Dachflächen liegen in einer Ebene, die parallel zur --Ebene verläuft, die Nord- und Südwände liegen jeweils in einer Ebene, die parallel zur --Ebene verläuft. Die (positive) -Achse zeigt in Richtung Süden, die (positive) -Achse in Richtung Osten. Die Türme haben jeweils eine Höhe von . Der Ostturm hat unter anderem die Eckpunkte und
Eine Längeneinheit entspricht dabei

Die Eckpunkte und begrenzen gemeinsam mit einem Punkt die quadratische Bodenfläche des Ostturms. Gib den Eckpunkt an und bestimme den Flächeninhalt der Bodenfläche des Ostturms.

Im Koordinatensystem in Material 2 ist die Dachfläche des Ostturms eingezeichnet.
Gib die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte und des Ostturms an.
Zeichne den gesamten Ostturm in das Koordinatensystem ein.

Zeige, dass der Neigungswinkel des Ostturms (in westlicher Richtung) gegenüber der Vertikalen etwa beträgt.

Im Modell entspricht der Westturm einer Spiegelung des Ostturms an der --Ebene.

Gib eine Spiegelmatrix an, mit deren Hilfe man für einen beliebigen Punkt des Ostturms mit Hilfe der Gleichung den entsprechenden (gespiegelten) Punkt des Westturms ermitteln kann.

Bestimme die Koordinaten des Punktes des Westturms und gib an, wie weit die beiden Türme am Boden voneinander entfernt sind.

Beide Türme haben jeweils Etagen, die alle die gleiche Höhe besitzen. Um die Etagen eines Turms mit einem Aufzug zu erreichen, wäre ein vertikaler Aufzugschacht notwendig.
Zeige, dass es möglich ist, alle Etagen eines Turms mit nur einem am Boden beginnenden durchgängigen Aufzugschacht zu erreichen, der in Nord-Süd-Richtung und in Ost-West-Richtung jeweils misst. Die Deckenstärken der Etagen und die Wandstärken der Außenwände sollen hierbei vernachlässigt werden.

Vor einigen Jahren plante man, auf dem südlichen Vorplatz der beiden Türme einen Obelisken zu errichten. Ein Obelisk ist ein nach oben schmaler werdender Pfeiler. Der Mittelpunkt seiner Grundfläche sollte so auf dem Erdboden platziert werden, dass er mit den Mittelpunkten der Bodenflächen der Türme ein gleichseitiges Dreieck bildet. Bestimme die Koordinaten des zur Umsetzung dieser Planung benötigten Punktes in der --Ebene.

An einem Tag im März 2021 scheint die Sonne um Uhr näherungsweise aus südlicher Richtung auf die Puerta de Europa und den inzwischen im Mittelpunkt der Grundfläche aus Aufgabe 4 errichteten, hohen Obelisken. Die Spitze des Obelisken liegt in vertikaler Richtung genau oberhalb des Punktes Der Vektor beschreibt für einen sehr eng begrenzten Zeitraum in guter Näherung die Richtung der Sonnenstrahlen. Der Parameter steht dabei für die Zeit nach Uhr in Stunden. Es gilt

Berechne den Winkel, in dem die Sonnenstrahlen um Uhr auf den Erdboden treffen und den Schattenpunkt der Spitze des Obelisken auf dem Erdboden zu dieser Uhrzeit.
[Hinweis: Solltest du die Koordinaten des Punktes in Aufgabe 4 nicht bestimmt haben, verwende stattdessen den Ersatzpunkt ]

Berechne die Matrix, die den Schattenwurf eines beliebigen Punktes mit auf die --Ebene für den durch den Definitionsbereich für gegebenen Zeitraum beschreibt.

Flächeninhalt bestimmen Da es sich um eine quadratische Grundfläche handelt, folgt:

Die Länge der Strecke entspricht der Höhe des Gebäudes, also Mit dem Kosinus folgt: Der Neigungswinkel des Ostturms beträgt somit bezüglich der Vertikalen etwa

Wird ein Punkt an der --Ebene gespiegelt, ergibt sich der Punkt Die Gleichung wird durch die Spiegelmatrix gelöst, da diese das Vorzeichen der -Koordinate ändert, während die - und die -Koordinate gleich bleiben.

Da die Kante parallel zur -Achse verläuft, entspricht ihr Abstand zur Spiegelebene gerade dem Betrag der -Koordinate des Punktes
Die Punkte und liegen in der --Ebene. Ihr Abstand wird wie folgt berechnet: Der Abstand der beiden Türme am Boden beträgt folglich

Liegt ein Punkt in der Dachfläche so muss für seine Koordinaten Folgendes gelten:

• Für die -Koordinate:
• Für die -Koordinate:
• Für die -Koordiante:

Die Punkte erfüllen diese Eigenschaften und liegen somit in der Dachfläche. Damit lässt sich ein vertikaler Aufzug in den Turm einbauen, der alle Etagen erreicht.

Die Koordinaten der Mittelpunkte der Türme lauten folglich: Damit lässt sich die Länge der Seiten des Dreiecks berechnen:

Winkel berechnen Mit einem Normalenvektor der Bodenfläche und dem Richtungsvektor der Sonnenstrahlen um Uhr folgt: Daraus folgt Koordinaten des Schattenpunkts berechnen Um die Koordinaten des Schattenpunkts der Spitze zu berechnen, muss die Gerade der Sonnenstrahlen durch die Spitze des Obelisken bestimmt werden: Dann entspricht der Schattenpunkt der Spitze gerade dem Schnittpunkt der Geraden mit der --Ebene, welche durch die Ebenengleichung beschrieben wird. Durch Einsetzen der Geraden in die Ebenengleichung folgt: Durch Einsetzen von in die Geradengleichung ergibt sich: Die Koordinaten des Schattenpunktes der Spitze des Obelisken lauten somit .

Zunächst wird eine Geradengleichung mit Stützvektor und dem Richtungsvektor der Sonnenstrahlen aufgestellt: Der Schattenpunkt von ergibt sich durch Einsetzen der Geraden in die --Ebene, welche beschrieben wird durch Durch Einsetzen in lässt sich der Ortsvektor des Schattenpunkts berechnen: Mit der Matrix-Vektor-Multiplikation kann wie folgt umgeformt werden: Damit ist die gesuchte Abbildungsmatrix.