C1 - Analytische Geometrie

Der quaderförmige Innenraum einer Diskothek ist $6\,\text{m}$ hoch. An der Decke ist ein dreieckiger Spiegel befestigt. Seine Eckpunkte sind durch $P(13\mid 11\mid 6),$ $Q(11 \mid 13 \mid 6)$ und $R (10\mid 10 \mid 5)$ gegeben.
Der Boden des Raumes liegt in der $x-y-$ Ebene. $O (0\mid 0\mid 0)$ ist ein Eckpunkt des Bodens.
Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.

1.1

Das Dreieck $PQR$ liegt in der Ebene $E$ .
Gib eine Gleichung der Ebene $E$ in Parameterform an und ermittle eine Gleichung von $E$ in Koordinatenform.
Begründe, dass der Koordinatenursprung in der Ebene $E$ liegt.

[zur Kontrolle: $E:-x - y + 4z = 0$ ]

(7 BE)

1.2

Bestimme die Größe des Winkels, um den die Spiegelfläche gegenüber der horizontalen Deckenfläche geneigt ist.

(3 BE)

Der Punkt $M(17\mid 17\mid4)$ ist der Mittelpunkt einer Diskokugel, die an der Decke befestigt ist.
Die Kugel hat einen Durchmesser von $0,5 \,\text{m}$ . Im Folgenden soll die kürzeste Entfernung der Kugel zum Spiegel untersucht werden.

2.1

Bestimme den zur Kugel nächstgelegenen Punkt der Ebene $E$ aus Aufgabe 1.1 und prüfe, ob dieser Punkt innerhalb der Spiegelfläche liegt.

(5 BE)

2.2

Die kürzeste Entfernung der Kugel zum Spiegel entspricht dem geringsten Abstand der Kugeloberfläche zur Kante $\overline{PQ}$ des Spiegels.
Berechne diesen Abstand.

(6 BE)

Gegeben ist die Matrix $S$ mit

$S=\dfrac{1}{9} \cdot \pmatrix{8& -1& 4\\-1 & 8 & 4 \\4&4& -7 }$

3.1

Ermittle die Fixpunktmenge der durch die Matrix $S$ beschriebenen Abbildung.

(3 BE)

3.2

Es gilt: $S^2=\pmatrix{ 1& 0 & 0\\0 & 1 & 0 \\ 0& 0 &1 }$

Begründe anhand des Ergebnisses aus Aufgabe 3.1 und der vorgegebenen Gleichung geometrisch, dass die Matrix $S$ eine Spiegelung an der Ebene $E$ aus Aufgabe 1.1 beschreibt.

(3 BE)

An einer Wand ist ein rechteckiges Bild befestigt.
Die Eckpunkte des Bildes befinden sich in $A(8\mid 0\mid 1),$ $B(14\mid 0\mid 1)$ , $C(14\mid 0\mid 3)$ und $D(8\mid 0\mid 3).$

Ein Laserstrahl fällt in Richtung des Vektors $\overrightarrow{v} = \pmatrix{3\\-2\\-4}.$

4.1

Ermittle die Abbildungsmatrix $W$ , die eine Projektion in Richtung des Laserstrahls auf die Wandfläche, an welcher das Bild befestigt ist, beschreibt.

(5 BE)

4.2

Der Laserstrahl verlässt im Punkt $L(4\mid 2\mid 6)$ einen Laserpointer. Untersuche, ob der Laserstrahl auf das Bild fällt.

(4 BE)

4.3

Erläutere (ohne Verwendung einer Rechnung) die geometrische Bedeutung des linearen Gleichungssystems $W \cdot \overrightarrow{x} = \overrightarrow{0}$ sowie die geometrische Bedeutung seiner Lösungsmenge.

(3 BE)

An der Bar gibt es alkoholfreie Cocktails. Bisher werden dort drei Cocktails (gleicher Füllmenge) verkauft, aus denen ein neuer Cocktail (gleicher Füllmenge) gemixt werden soll, der genau $25\,\%$ Ananassaft enthält.
Die Anteile an Ananassaft sowie die jeweiligen Kosten zur Herstellung der bisherigen Cocktails sind in folgender Tabelle dargestellt:

	Ananassaft	Kosten
Cocktail 1	$10\,\%$	$3\,€$
Cocktail 2	$30\,\%$	$5\,€$
Cocktail 3	$40\,\%$	$4\,€$

5.1

Gib ein lineares Gleichungssystem an, mit dem ermittelt werden kann, welche Anteile der bisherigen drei Cocktails zur Mischung des neuen Cocktails verwendet werden können.
Erläutere die Bedeutung der von dir verwendeten Variablen.

(3 BE)

5.2

Eine Darstellung aller Lösungen des linearen Gleichungssystems aus Aufgabe 5.1 lautet:

$\overrightarrow{x}=\pmatrix{0,25\\0,75\\0} +s \cdot \pmatrix{0,5\\-1,5\\1}$

Um eine mögliche Mischung herzustellen, müssen alle Variablen nichtnegative Werte annehmen. Ermittle das Intervall, aus dem $s$ unter dieser Bedingung gewählt werden darf.

(3 BE)

5.3

Der neue Cocktail soll mit derjenigen Mischung hergestellt werden, welche die geringsten Kosten verursacht.
Dabei müssen nicht zwingend alle drei bisherigen Cocktails enthalten sein.
Ermittle diese Mischung und deren Kosten.

(5 BE)

1.1

Parameterform:

$\begin{array}[t]{rll} E:\pmatrix{13\\11\\6}+s\pmatrix{-2\\2\\0}+t\pmatrix{-3\\-1\\-1}&,&s,t \in\mathbb{R} \end{array}$

Kreuzprodukt der Spannvektoren liefert einen Normalenvektor:

$...=2\cdot\pmatrix{-1\\-1\\4}$

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$E: -x-y+4z=d$

Koordinatenform:

$P$ in die Koordinatenform einsetzen, um $d$ zu berechnen:

$-1\cdot13-1\cdot11+4\cdot6=d=0$

$E: -x-y+4z=0$

Ursprungsprobe:

$\begin{array}[t]{rll} -(0)-(0)+4\cdot(0)&=&0 \\[5pt] 0&=&0 \end{array}$

Der Urspring liegt in der Ebene.

1.2

Berechnung des Winkels zwischen zwei Ebenen: $\cos(\alpha)=\dfrac{\mid \overrightarrow{n_1}\circ\overrightarrow{n_2}\mid}{\mid\overrightarrow{n_1}\mid\cdot\mid\overrightarrow{n_2}\mid}$

Aus 1.1 folgt:

$n_1=\pmatrix{-1\\-1\\4}$
$\overrightarrow{n_2}$ steht senkrecht auf der $x-y-$ Ebene und hat damit nur Werte für $z:$

$n_2=\pmatrix{0\\0\\1}$

$\alpha\approx19,47^{\circ}$

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Der Winkel zwischen den beiden Ebenen beträgt etwa $19,47°$ .

2.1

Aufstellen einer Lotgeraden $h$ durch den Mittelpunkt $M$ der Discokugel, welche durch verwenden von $\overrightarrow{n_1}$ als Richtungsvektor senkrecht auf der Ebebe $E$ steht:

$h: \overrightarrow{x}=\pmatrix{17\\17\\4}+s\cdot\pmatrix{-1\\-1\\4}$ $=\pmatrix{17-s\\17-s\\4+4s}\;,\;s\in\mathbb{R}$

Einsetzen des Punktes $P (17-s\mid 17-s\mid4+4s),$ in Abhängigkeit von $s,$ in die Koordinatenform der Ebene $E$ , um den Lotpunkt zu berechnen:

$s=1$

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$L:\overrightarrow{x}=\pmatrix{17-1\\17-1\\4+4}=\pmatrix{16\\16\\8}$

$L(16\mid16\mid8)$ der nächstgelegene Punkt der Discokugel zur Ebene $E.$ Hier beträgt die $z$ -Koordinate $8$ , allerdings ist die Decke nur $6\,\text{m}$ hoch, sodass dieser Punkt nicht mehr innerhalb der Spiegelfläche liegt.

2.2

Gerade $g$ durch die Punkte $P$ und $Q$ :

$g: \overrightarrow{x}=\pmatrix{13\\11\\6}+s\cdot\pmatrix{-2\\2\\0}$ $=\pmatrix{13-2s\\11+2s\\6}\quad,\quad s\in\mathbb{R}$

Der Punkt $F_s,$ der den kürzeseten Abstand zu $M$ auf der Geraden $g$ besitzt, ist durch $F_s(13-2s\mid11+2s\mid6)$ gegeben.

$\overrightarrow{MF_s}=\pmatrix{13-2s-17\\11+2s-17\\6-4}=\pmatrix{-2s-4\\2s-6\\2}$

Es muss $\overrightarrow{MF_s}\circ \pmatrix{-2\\2\\0}=0$ gelten:

$\pmatrix{-2s-4\\2s-6\\2}\circ\pmatrix{-2\\2\\0}=0$

$s=\dfrac{1}{2}$

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$s$ in $F_s$ einsetzen: $F_{\frac{1}{2}}(12\mid12\mid6)$
Da $0\leq s\leq1$ gilt, liegt $F_{\frac{1}{2}}$ zwischen $P$ und $Q$ .

$\vert \overrightarrow{MF_{\frac{1}{2}}}\vert$ $=\left\vert \pmatrix{-2\cdot \frac{1}{2}-4\\2\cdot \frac{1}{2}-6\\2}\right\vert$ $=\left\vert \pmatrix{-5\\-5\\2}\right\vert$ $= \sqrt{(-5)^2+(-5)^2+2^2}$ $= \sqrt{25+25+4}$ $=\sqrt{54}$

Zu beachten ist, dass die Discokugel einen Durchmesser von $0,5\,\text{m}$ hat und somit der Radius von $0,25\,\text{m}$ noch abgezogen werden muss:

$\sqrt{54}-0,25\approx7,1\text{[LE]}$

Die kürzeste Entfernung der Kugel zum Spiegel beträgt somit etwa $7,1\,\text{m}$ .

3.1

$S\cdot\overrightarrow{x}=\pmatrix{ \frac{8}{9}& -\frac{1}{9} & \frac{4}{9}\\-\frac{1}{9} & \frac{8}{9} & \frac{4}{9} \\\frac{4}{9}&\frac{4}{9}&-\frac{7}{9} }\cdot \overrightarrow{x}=\overrightarrow{x}$

Der Ansatz $S\cdot \overrightarrow{x}=\overrightarrow{x}$ führt zum linearen Gleichungssystem:

$\begin{array}[t]{rll} I&:& \frac{8}{9} x-\frac{1}{9}y+\frac{4}{9}z&=&x&\quad \scriptsize \mid\cdot 9\\[5pt] && 8x-y+4z&=& 9x&\quad \scriptsize \mid-9x\\[5pt] && -x_1-y+4z&=& 0&\quad \scriptsize\\[5pt] II&:& -\frac{1}{9} x+\frac{8}{9}y+\frac{4}{9}z&=&y&\quad \scriptsize\mid\cdot 9 \\[5pt] && -x+8y+4z&=&9y&\quad \scriptsize \mid -9y\\[5pt] && -x-y+4z&=&0&\quad \scriptsize \\[5pt] III&:& \frac{4}{9} x+\frac{4}{9}y-\frac{7}{9}z&=&z&\quad \scriptsize \mid\cdot 9\\[5pt] && 4x+4y-7z&=&9z&\quad \scriptsize \mid-9z\\[5pt] && 4x+4y-16z&=&0&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Das lineare Gleichungssystem ist unterbestimmt, da $I=II$ ist.
Als Fixpunktmenge erhält man somit eine Ebene $E:-x-y+4z=0$

3.2

Die Fixpunktmenge der durch $S$ beschriebenen Abbildung ist die Ebene $E$ aus Aufgabe 1.1. Alle Punkte der Ebene $E$ werden also bei Abbildung mit der Matrix $S$ auf sich selbst abgebildet. Quadriert man die Matrix $S$ , erhält man die Einheitsmatrix, die zweimalige Abbildung eines beliebigen Punktes mithilfe der durch die Matrix $S$ beschriebenen Abbildung führt also wieder auf denselben Punkt. $S$ beschreibt also eine Spiegelung an der Ebene $E$ aus Aufgabe 1.1.

4.1

Projetionsstrahl $g:$ $\(\overrightarrow{x$

Projektionsebene $E:$ $y=0$

$g$ geschnitten mit $E:$

$\begin{array}[t]{rll} y-2t&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;-y\mid\;:(-2) \\[5pt] t&=&0,5y \end{array}$

$t$ eingesetzt in $g$ liefert die Projetionsabbildungen:

$\(\begin{array}[t]{rll} x$

Dadurch ergibt sich die Abbildungsmatrix $W$ :

$W=\pmatrix{ 1& 1,5 &0\\0 & 0& 0 \\0&-2&1 }$

4.2

Ortsvektor des Bildpunktes von $L$ auf der Wandfläche ermitteln:

$\(\overrightarrow{OL$ $=\pmatrix{4+3+0\\0+0+0\\0-4+6}=\pmatrix{7\\0\\2}$

Die $x$ -Koordinaten des Bildes an der Wand liegen in dem Intervall $[8;14]$ . Die $x$ -Koordinate des Bildpunktes von $L$ liegt allerdings bei 7 und somit außerhalb des Intervalls, sodass der Laserstrahl nicht auf das Bild fällt.

4.3

Durch das lineare Gleichungssystem wird die Menge der Punkte des Raumes berechnet, die auf den Nullvektor abgebildet werden. Als Lösungsmenge erhält man die Geradengleichung einer Ursprungsgerade.

5.1

$\begin{array}[t]{rll} &I&&:&0,1x_1+0,3x_2+0,4x_3&=&0,25& \quad \scriptsize \; \\[5pt] &II&&:&x_1+x_2+x_3&=&1\quad\\[5pt] \end{array}$

Mit $x_1,x_2,x_3$ als jeweiliger Anteil der drei Cocktails am neu zu mischenden Cocktail.

5.2

Aufstellen des linearen Gleichungssystems:

$\begin{array}[t]{rll} &I&&:&x_1&=&0,25+0,5s\quad \scriptsize \; \\[5pt] &II&&:&x_2&=&0,75-1,5s\\[5pt] &III&&:&x_3&=&s& \end{array}$

Dabei müssen $x_1,x_2,x_3$ jeweils $\geq0$ sein, das bedeutet:

$0\leq s\leq0,5$

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Damit liegt $s$ in dem Intervall $[0;0,5].$

5.3

Kosten:

$3\cdot(0,25+0,5s)$ $+5\cdot(0,75-1,5s)+4s$ $=4,5-2s$

Je größer $s$ ist, desto geringer ist der Preis des neu gemixten Cocktails. Da $s$ in dem Intervall $[0;0,5]$ liegt, erhält man die geringsten Kosten folglich mit $s=0,5$ .

Kosten mit $s=0,5$ :

$4,5-2\cdot 0,5=3,5$

Der Preis für den neu gemixten Cocktail beträgt somit $3,50\,€$ .

Lösen des linearen Gleichungssystems mit $s=0,5$ :

$\begin{array}[t]{rll} &I&&:&x_1&=&0,25+0,5\cdot 0,5=0,5\quad \scriptsize \; \\[5pt] &II&&:&x_2&=&0,75-1,5\cdot 0,5=0\\[5pt] &III&&:&x_3&=&0,5& \end{array}$

Daraus folgt, dass der neu gemixte Cocktail aus $50\,\%$ des ersten Cocktails und aus $50\,\%$ des dritten Cocktails besteht, wobei der zweite Cocktail keine Verwendung findet.