C1 - Stochastik

In der sogenannten PINTA-Studie zur Internetabhängigkeit aus dem Jahr 2011 wurden bundesweit 15023 Personen im Alter von $14$ - $64$ Jahren befragt, die als repräsentativ für die Gesamtbevölkerung in dieser Altersklasse angesehen werden können. In der folgenden Tabelle sind einige Ergebnisse der Studie dargestellt.
$1 \%$ aller Befragten wird demnach als internetabhängig eingestuft; bei $4,6\%$ aller Befragten und $17,2 \%$ der weiblichen Befragten der Altersgruppe 14 - 16 Jahren wird die Internetnutzung als problematisch eingestuft.
Die Internetnutzung einer Person kann nicht gleichzeitig als problematisch und als Internetabhängigkeit eingestuft werden.

Tabelle anzeigen

Altersgruppe	Internetabhängigkeit (in $\%$ )	problematische Internetnutzung (in $\%$ )
	gesamt	weiblich	männlich	gesamt	weiblich	männlich
$14-64$	$1,0$	$0,8$	$1,2$	$4,6$	$4,4$	$4,9$
$14-24$	$2,4$	$2,4$	$2,4$	$13,6$	$14,8$	$12,4$
$14-16$	$4,0$	$4,9$	$3,1$	$15,4$	$17,2$	$13,7$

Im Folgenden werden die in der PINTA-Studie ermittelten relativen Häufigkeiten bundesweit für alle Personen im Alter von $14$ - $64$ Jahren als Wahrscheinlichkeiten angesehen.

Bestimme die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:

Eine zufällig ausgewählte männliche Person aus der Altersgruppe $14$ - $24$ wird als internetabhängig eingestuft.

Unter $50$ zufällig ausgewählten $14$ - $16$ -jährigen Mädchen sind genau $10$ , deren Internetnutzung als problematisch eingestuft wird.

Unter $100$ zufällig gewählten $14$ - $16$ -jährigen Mädchen sind mehr als $20$ , aber weniger als $30$ , deren Internetnutzung als problematisch oder gar als Internetabhängigkeit eingestuft wird.

(7 BE)

Im Internet finden sich zahlreiche Online-Tests, bei denen ein ähnlicher Fragenkatalog wie bei der Durchführung der PINTA-Studie zum Einsatz kommt. Hier können sich die Nutzer selbst bezüglich Internetabhängigkeit testen.
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmter Online-Test einen tatsächlich internetabhängigen Nutzer auch als internetabhängig einstuft (Sensitivität), liegt bei $86 \%$ . Für die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Online-Test einen nicht internetabhängigen Nutzer auch als nicht internetabhängig einstuft (Spezifität), wird ein Wert von $75 \%$ angegeben. Eine zufällig ausgewählte Person aus der Altersgruppe $14$ - $24$ Jahre macht diesen Online-Test.

2.1

Berechne die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $R:$ „Wenn der Test die Person als internetabhängig einstuft, ist die Person auch tatsächlich internetabhängig.“

(6 BE)

2.2

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Person aus der Altersgruppe $14$ - $24$ Jahre tatsächlich nicht internetabhängig ist, wenn der Test sie als nicht internetabhängig einstuft, beträgt ca. $99,5 \%$ .
Beurteile die Qualität des Online-Tests anhand dieser und der in Aufgabe 2.1 berechneten Wahrscheinlichkeit.

(2 BE)

Aus dem Abschlussbericht zur PINTA-Studie geht hervor, dass von den 15023 befragten Personen $45,9 \%$ das Internet weniger als eine Stunde täglich privat nutzen. Dieser Personenkreis wird im Folgenden als „Wenignutzer“ bezeichnet.

Ein Mathematik-Leistungskurs an einer sehr großen Schule hat die Vermutung, dass der Anteil der Wenignutzer unter den Schülerinnen und Schülern der Schule niedriger ist als der in der PINTA-Studie ermittelte Wert. Der bevorstehende Tag der offenen Tür soll dazu genutzt werden, die Vermutung mit Hilfe eines Hypothesentests zu überprüfen. Hierzu sollen 100 zufällig ausgewählte Schülerinnen und Schüler der Schule befragt werden.

3.1

Entwickle zu der oben genannten Vermutung einen geeigneten Hypothesentest auf einem Signifikanzniveau von $2,5\%$ und gib die Entscheidungsregel im Sachzusammenhang an.

(6 BE)

3.2

Beschreibe die Fehler 1. und 2. Art im Sachzusammenhang und berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art, wenn der Anteil der Wenignutzer unter den Schülerinnen und Schülern der Schule tatsächlich $40 \%$ beträgt.

(6 BE)

3.3

Die Graphen im Material zeigen für unterschiedliche Werte von $n$ , wie sich bei einem gleich bleibenden Signifikanzniveau von $2,5\%$ die Fehlerwahrscheinlichkeit $\beta$ für den Fehler 2 . Art in Abhängigkeit vom tatsächlichen Anteil $p$ der Wenignutzer verhält.
Beurteile anhand geeigneter Beispielwerte, ob sich eine Erhöhung des Stichprobenumfangs $n$ auf die Güte des Tests auswirkt.

(3 BE)

Material

Grafik mit Kurven, die den Zusammenhang zwischen n und p darstellen. Beschriftungen für n=100, n=350 und n=1000.

Abb. 1

Binomialsummenfunktion $F_{n;p}(k)$ $=\displaystyle\sum\limits_{i=0}^{k}\pmatrix{n\\i}$ $\cdot p^i$ $\cdot (1-p)^{n-i}$ für $n = 100$

$p=$	$k=$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$	$13$	$14$	$15$	$16$	$17$	$18$	$19$	$20$	$21$	$22$	$23$	$24$	$25$	$26$	$27$	$28$	$29$	$30$	$31$	$32$	$33$	$34$	$35$	$36$	$37$	$38$	$39$	$40$	$41$	$42$	$43$	$44$	$45$	$46$	$47$	$48$	$49$	$50$
$0,211$		$0,0004$	$0,0010$	$0,0027$	$0,0063$	$0,0135$	$0,0265$	$0,0480$	$0,0811$	$0,1281$	$0,1902$	$0,2667$	$0,3551$	$0,4508$	$0,5483$	$0,6420$	$0,7269$	$0,7998$	$0,8590$	$0,9047$	$0,9382$	$0,9615$	$0,9770$	$0,9868$	$0,9928$	$0,9962$	$0,9981$	$0,9991$	$0,9996$	$0,9998$	$0,9999$	$1,0000$	$1,0000$	$1,0000$	$1,0000$	$1,0000$	$1,0000$	$1,0000$	$1,0000$	$1,0000$	$1,0000$	$1,0000$	$1,0000$	$1,0000$
$0,221$		$0,0002$	$0,0005$	$0,0013$	$0,0032$	$0,0073$	$0,0151$	$0,0289$	$0,0513$	$0,0851$	$0,1324$	$0,1943$	$0,2701$	$0,3572$	$0,4513$	$0,5472$	$0,6395$	$0,7234$	$0,7959$	$0,8551$	$0,9012$	$0,9353$	$0,9593$	$0,9754$	$0,9857$	$0,9921$	$0,9958$	$0,9978$	$0,9989$	$0,9995$	$0,9998$	$0,9999$	$1,0000$	$1,0000$	$1,0000$	$1,0000$	$1,0000$	$1,0000$	$1,0000$	$1,0000$	$1,0000$	$1,0000$	$1,0000$	$1,0000$
$0,311$		$0,0000$	$0,0000$	$0,0000$	$0,0000$	$0,0000$	$0,0000$	$0,0001$	$0,0002$	$0,0004$	$0,0010$	$0,0023$	$0,0047$	$0,0090$	$0,0166$	$0,0288$	$0,0475$	$0,0746$	$0,1118$	$0,1602$	$0,2200$	$0,2905$	$0,3695$	$0,4538$	$0,5398$	$0,6235$	$0,7013$	$0,7705$	$0,8295$	$0,8775$	$0,9150$	$0,9430$	$0,9632$	$0,9770$	$0,9862$	$0,9920$	$0,9955$	$0,9976$	$0,9987$	$0,9994$	$0,9997$	$0,9999$	$0,9999$	$1,0000$
$0,400$		$0,0000$	$0,0000$	$0,0000$	$0,0000$	$0,0000$	$0,0000$	$0,0000$	$0,0000$	$0,0000$	$0,0000$	$0,0000$	$0,0000$	$0,0000$	$0,0000$	$0,0001$	$0,0003$	$0,0006$	$0,0012$	$0,0024$	$0,0046$	$0,0084$	$0,148$	$0,248$	$0,398$	$0,615$	$0,0913$	$0,1303$	$0,1795$	$0,2386$	$0,3068$	$0,3822$	$0,4621$	$0,5433$	$0,6225$	$0,6967$	$0,7635$	$0,8211$	$0,8689$	$0,9070$	$0,9362$	$0,9577$	$0,9729$	$0,9832$
$0,421$		$0,0000$	$0,0000$	$0,0000$	$0,0000$	$0,0000$	$0,0000$	$0,0000$	$0,0000$	$0,0000$	$0,0000$	$0,0000$	$0,0000$	$0,0000$	$0,0000$	$0,0000$	$0,0000$	$0,0001$	$0,0003$	$0,0006$	$0,0013$	$0,0025$	$0,0047$	$0,0086$	$0,0149$	$0,0247$	$0,0395$	$0,0607$	$0,0898$	$0,1280$	$0,1760$	$0,2338$	$0,3007$	$0,3749$	$0,4538$	$0,5344$	$0,6134$	$0,6879$	$0,7553$	$0,8138$	$0,8628$	$0,9021$	$0,9324$	$0,9549$
$0,459$		$0,0000$	$0,0000$	$0,0000$	$0,0000$	$0,0000$	$0,0000$	$0,0000$	$0,0000$	$0,0000$	$0,0000$	$0,0000$	$0,0000$	$0,0000$	$0,0000$	$0,0000$	$0,0000$	$0,0000$	$0,0000$	$0,0000$	$0,0001$	$0,0002$	$0,0004$	$0,0008$	$0,0017$	$0,0032$	$0,0060$	$0,0105$	$0,0178$	$0,0289$	$0,0452$	$0,0681$	$0,0991$	$0,1391$	$0,1888$	$0,2481$	$0,3159$	$0,3904$	$0,4691$	$0,5490$	$0,6268$	$0,6997$	$0,7653$	$0,8221$
$0,480$		$0,0000$	$0,0000$	$0,0000$	$0,0000$	$0,0000$	$0,0000$	$0,0000$	$0,0000$	$0,0000$	$0,0000$	$0,0000$	$0,0000$	$0,0000$	$0,0000$	$0,0000$	$0,0000$	$0,0000$	$0,0000$	$0,0000$	$0,0000$	$0,0000$	$0,0001$	$0,0002$	$0,0004$	$0,0009$	$0,0017$	$0,0032$	$0,0059$	$0,0103$	$0,0173$	$0,0281$	$0,0439$	$0,0662$	$0,0963$	$0,1354$	$0,1840$	$0,2421$	$0,3089$	$0,3826$	$0,4607$	$0,5404$	$0,6184$	$0,6918$

Die Werte $1,0000$ und $0,0000$ bedeuten: Die angegebenen Wahrscheinlichkeiten sind auf vier Stellen gerundet $1,0000$ bzw. $0,0000.$

Wahrscheinlichkeiten bestimmen

Wahrscheinlichkeit für Ereignis $\boldsymbol{A}$

Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $A$ lässt sich aus der Tabelle ablesen. $P(A)=2,4\,\%$ .

Wahrscheinlichkeit für Ereignis $B$

Hierbei ist $X$ die Anzahl der 14-16-jährigen Mädchen, deren Internetnutzung als problematisch eingestuft wird. $X$ ist $B_{50;0,172}$ -verteilt. Unter 5: Wahrscheinlichkeit $\to$ 5: Verteilungen $\to$ D: Binomial Pdf kann nun mit Hilfe des CAS $P(X=10)$ berechnet werden:

$P(X =10)$ $\approx 0,1225$ $= 12,25 \,\%$

Screenshot eines digitalen Dokuments mit einer Berechnung und einem Ergebnis.

Somit tritt Ereignis $B$ mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $12,25\,\%$ auf.

Wahrscheinlichkeit für Ereignis $C$

Bei Ereignis $C$ beschreibt $X$ die Anzahl der $14-16$ -jährigen Mädchen, deren Internetnutzung als problematisch oder gar als Internetabhängigkeit eingestuft wird. X ist binomial verteilt.

$n=100$

$\begin{array}[t]{rll} p&=& p_{Abh} + p_{probl} \\[5pt] &=& 0,049 + 0,172\\[5pt] &=& 0,221 \end{array}$

Mit Hilfe dieser Werte kann nun unter 5: Wahrscheinlichkeit $\to$ 5: Verteilungen $\to$ D: Binomial Cdf im CAS $P(C)$ $=P(20 \lt X \lt 30)$ $= P(X\leq 29)$ $- P(X\leq 20)$ berechnet werden:

$P(C)=0,6021=60,21 \,\%$

Screenshot einer Software mit Berechnung von binomCDF-Werten.

Somit tritt Ereignis $C$ mit einer Wahrscheinlichkeit von $60,21\,\%$ auf.

2.1

Wahrscheinlichkeit berechnen

Die Aufgabe lässt sich mit einer Vierfeldertafel lösen.

$A$ : Person ist internetabhängig.

$B$ : Online-Test stuft Person als internetabhängig ein (Test positiv).

$P(R)=P_B(A) = \dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$

$P(A)=0,024$

$\begin{array}[t]{rll} P(\overline{A})&=& 1-P(A) \\[5pt] &=& 1- 0,024\\[5pt] &=& 0,976 \end{array}$

$P(A\cap B)=0,024\cdot0,86=0,02064$

In der Aufgabenstellung sind folgende Wahrscheinlichkeiten bereits gegeben : $P_A(B)=0,86$ und $P_{\overline{A}}(\overline{B})=0,75$

Für eine bedingte Wahrscheinlichkeit gilt die Formel:

$P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$

Somit kann nun die Wahrscheinlichkeiten $P(A \cap B)$ und $P(\overline{A} \cap \overline{B})$ folgendermaßen bestimmt werden:

Rechenweg anzeigen

$P_A(B) = 0,02064$

Für $P(\overline{A} \cap \overline{B})$ folgt entsprechend:

$\begin{array}[t]{rll} P(\overline{A} \cap \overline{B})&=& P_{\overline{A}}(\overline{B}) \cdot P(\overline{A}) \\[5pt] &=& 0,75 \cdot 0,976 \\[5pt] &=& 0,7327 \end{array}$

Nun kann die Vierfeldertafel erstellt werden:

	$A$	$\overline{A}$
$B$	$0,02064$	$0,244$	$0,26464$
$\overline{B}$	$0,00336$	$0,732$	$0,73536$
	$0,024$	$0,976$	$1$

Schließlich kann $P(R)$ berechnet werden.

$P(R)=P_B(A)$ $=\dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$ $=\dfrac{0,02064}{0,26464}$ $\approx 0,0780$

2.2

Qualität des Tests beurteilen

Die Wahrscheinlichkeit $\mathrm{P}(\mathrm{R})$ erscheint mit ca. $7,8 \%$ sehr gering. Bei einem positiven Testergebnis sind also weitere Untersuchungen ratsam. Die in Aufgabe $2.2$ angegebene Wahrscheinlichkeit ist mit $99,5 \%$ sehr hoch. Personen, die ein negatives Testergebnis erhalten, können also mit hoher Wahrscheinlichkeit davon ausgehen, dass sie tatsächlich nicht internetabhängig sind. Deshalb ist der Online-Test gut geeignet, um eine Internetabhängigkeit auszuschließen.

3.1

Hypothesentest entwickeln und Entscheidungsregel im Sachzusammenhang angeben

$X$ : Anzahl der Schüler, die zur Gruppe der Wenignutzer gehören

$n$ = 100

Die Nullhypothese $H_0$ und die Alternativhypothese $H_1$ können nun wie folgt formuliert werden:

$H_0: p \geq 0,459$

$H_1: p \lt 0,459$

In Worten lautet die Nullhypothese: Es sind mindestens $45,9\, \%$ der Schüler Wenignutzer.

Das heißt, es wird ein linksseitiger Hypothesentest durchgeführt. Der Ablehnungsbereich $\overline{A}$ lautet:

$\overline{A}= \{{0,\dotsc ,k}\}$

Deshalb muss gelten:

$P(X\leq k) \leq 2,5 \,\%$

Aus der Tabelle folgt:

$P(X\leq 35)=0,0178$ und $P(X\leq 36)=0,0289$ .

Somit folgt für den Ablehungsbereich:

$\overline{A}=\{{0,\dotsc ,35}\}$

Das bedeutet, dass wenn $35$ oder weniger der befragten Nutzer zu der Gruppe der Wenignutzer gehören wird die Nullhypothese verworfen und somit wird die Vermutung des Mathematik-Leisungskurs als bestätigt betrachtet.

3.2

Fehler 1. und 2. Art beschreiben

Der Fehler 1. Art beschreibt, dass die Nullhypothese abgelehnt wird, obwohl diese in Wahrheit zutrifft. Im Sachzusammenhang bedeutet dies, dass man aufgrund des Hypothesentests davon ausgeht, dass der Anteil der Wenignutzer geringer als $45,9\,\%$ ist, also dass die Nullhypothese abgelehnt wird, obwohl der Anteil in Wahrheit $45,9\,\%$ oder mehr beträgt.

Der Fehler 2. Art beschreibt, dass die Nullhypothese angenommen wird, obwohl diese in Wahrheit nicht zutrifft. Im Sachzusammenhang bedeutet dies, dass man aufgrund des Hypothesentests davon ausgeht, dass der Anteil der Wenignutzer gleich oder größer als $45,9\,\%$ ist, also dass die Nullhypothese angenommen wird, obwohl der Anteil in Wahrheit kleiner als $45,9\,\%$ ist.

Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2.Art bestimmen:

Es wird die Wahrscheinlichkeit berechnet, dass $X$ im Annahmebereich liegt mit $p=0,4$

$P\left(\text{Fehler 2. Art}\right) = P(X \gt 35)$ .

Somit berechnet sich die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art wie folgt:

$P\left(\text{Fehler 2. Art}\right)$ $= P(X \gt 35)$ $= 1- P(X \leq 35)$

Mit Hilfe des CAS folgt dann weiter:

$P\left(\text{Fehler 2. Art}\right)$ $\approx 0,8205$ $= 82,05\,\%$

Bildschirmansicht einer Berechnung mit dem Befehl

Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art $82,05\,\%$ .

3.3

Güte des Tests beurteilen

Die Kurven werden mit wachsendem $\mathrm{n}$ immer steiler. Die Betrachtung von $\beta$ (p) für verschiedene $n$ bei einem festen Wert $p$ , beispielsweise $p=0,4$ , zeigt: Für $n=100$ ergibt sich der Wert $\beta(0,4) \approx 0,82$ , für $n=350$ der Wert $\beta(0,4) \approx 0,43$ und für $n=1000$ der Wert $\beta(0,4) \approx 0,04$ . Je größer $n$ ist, desto kleiner ist also $\beta(p)$ , d.h. desto kleiner ist die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art. Eine Erhöhung des Stichprobenumfangs $\mathrm{n}$ wirkt sich somit positiv auf die Güte des Tests aus.

Wahrscheinlichkeiten bestimmen

Wahrscheinlichkeit für Ereignis $\boldsymbol{A}$

Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $A$ lässt sich aus der Tabelle ablesen. $P(A)=2,4\,\%$ .

Wahrscheinlichkeit für Ereignis $B$

$P(X =10)$ $\approx 0,1225$ $= 12,25 \,\%$

Screenshot eines mathematischen Programms mit der Berechnung einer binomialen Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion.

Somit tritt Ereignis $B$ mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $12,25\,\%$ auf.

Wahrscheinlichkeit für Ereignis $C$

Bei Ereignis $C$ beschreibt $X$ die Anzahl der $14-16$ -jährigen Mädchen, deren Internetnutzung als problematisch oder gar als Internetabhängigkeit eingestuft wird. X ist binomial verteilt.

$n=100$

$\begin{array}[t]{rll} p&=& p_{Abh} + p_{probl} \\[5pt] &=& 0,049 + 0,172\\[5pt] &=& 0,221 \end{array}$

Mit Hilfe dieser Werte kann nun unter 5: Wahrscheinlichkeit $\to$ 5: Verteilungen $\to$ D: Binomial Cdf im CAS $P(C)$ $=P(20 \lt X \lt 30)$ $= P(X\leq 29)$ $- P(X\leq 20)$ berechnet werden:

$P(C)=0,6021=60,21 \,\%$

Bildschirmaufnahme eines mathematischen Programms mit Berechnungen zur binomialen Verteilung.

Somit tritt Ereignis $C$ mit einer Wahrscheinlichkeit von $60,21\,\%$ auf.

2.1

Wahrscheinlichkeit berechnen

Die Aufgabe lässt sich mit einer Vierfeldertafel lösen.

$A$ : Person ist internetabhängig.

$B$ : Online-Test stuft Person als internetabhängig ein (Test positiv).

$P(R)=P_B(A) = \dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$

$P(A)=0,024$

$\begin{array}[t]{rll} P(\overline{A})&=& 1-P(A) \\[5pt] &=& 1- 0,024\\[5pt] &=& 0,976 \end{array}$

$P(A\cap B)=0,024\cdot0,86=0,02064$

In der Aufgabenstellung sind folgende Wahrscheinlichkeiten bereits gegeben : $P_A(B)=0,86$ und $P_{\overline{A}}(\overline{B})=0,75$

Für eine bedingte Wahrscheinlichkeit gilt die Formel:

$P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$

Somit kann nun die Wahrscheinlichkeiten $P(A \cap B)$ und $P(\overline{A} \cap \overline{B})$ folgendermaßen bestimmt werden:

Rechenweg anzeigen

$P_A(B) = 0,02064$

Für $P(\overline{A} \cap \overline{B})$ folgt entsprechend:

$\begin{array}[t]{rll} P(\overline{A} \cap \overline{B})&=& P_{\overline{A}}(\overline{B}) \cdot P(\overline{A}) \\[5pt] &=& 0,75 \cdot 0,976 \\[5pt] &=& 0,7327 \end{array}$

Nun kann die Vierfeldertafel erstellt werden:

	$A$	$\overline{A}$
$B$	$0,02064$	$0,244$	$0,26464$
$\overline{B}$	$0,00336$	$0,732$	$0,73536$
	$0,024$	$0,976$	$1$

Schließlich kann $P(R)$ berechnet werden.

$P(R)=P_B(A)$ $=\dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$ $=\dfrac{0,02064}{0,26464}$ $\approx 0,0780$

2.2

Qualität des Tests beurteilen

3.1

Hypothesentest entwickeln und Entscheidungsregel im Sachzusammenhang angeben

$X$ : Anzahl der Schüler, die zur Gruppe der Wenignutzer gehören

$n$ = 100

Die Nullhypothese $H_0$ und die Alternativhypothese $H_1$ können nun wie folgt formuliert werden:

$H_0: p \geq 0,459$

$H_1: p \lt 0,459$

In Worten lautet die Nullhypothese: Es sind mindestens $45,9\, \%$ der Schüler Wenignutzer.

Das heißt, es wird ein linksseitiger Hypothesentest durchgeführt. Der Ablehnungsbereich $\overline{A}$ lautet:

$\overline{A}= \{{0,\dotsc ,k}\}$

Deshalb muss gelten:

$P(X\leq k) \leq 2,5 \,\%$

Aus der Tabelle folgt:

$P(X\leq 35)=0,0178$ und $P(X\leq 36)=0,0289$ .

Somit folgt für den Ablehungsbereich:

$\overline{A}=\{{0,\dotsc ,35}\}$

3.2

Fehler 1. und 2. Art beschreiben

Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2.Art bestimmen:

Es wird die Wahrscheinlichkeit berechnet, dass $X$ im Annahmebereich liegt mit $p=0,4$

$P\left(\text{Fehler 2. Art}\right) = P(X \gt 35)$ .

Somit berechnet sich die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art wie folgt:

$P\left(\text{Fehler 2. Art}\right)$ $= P(X \gt 35)$ $= 1- P(X \leq 35)$

Mit Hilfe des CAS folgt dann weiter:

$P\left(\text{Fehler 2. Art}\right)$ $\approx 0,8205$ $= 82,05\,\%$

Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art $82,05\,\%$ .

3.3

Güte des Tests beurteilen