C1 - Lineare Algebra/ Analytische Geometrie

Für eine Kirmes soll in einem Dorf ein Festzelt errichtet werden, das aus einem quaderförmigen Unterbau und einem symmetrischen Dach in Form eines dreieckigen Prismas besteht.

Im Modell sind die Eckpunkte $A(50\mid 0\mid0),$ $B(51\mid20\mid 0),$ $C(1\mid22,5\mid 0),$ $F(51\mid20\mid 3)$ des Unterbaus und der Endpunkt $J(0,5\mid12,5\mid 8)$ der waagrecht verlaufenden Dachkante $\overline{IJ}$ vorgegeben.

Die durch die Punkte $A, B, F, I, E$ begrenzte Vorderseite des Festzelts liegt in einer Ebene. Der Erdboden liegt in der $xy$ -Ebene. Alle Einheiten sind in Meter angegeben.

1.1

Gib die Koordinaten der Punkte $D, E, G$ und $H$ an.

Beschrifte die Achsen im Material mit der fehlenden Skalierung.

(5 BE)

1.2

Berechne das Gesamtvolumen des Festzelts.

(4 BE)

1.3

Der Eingangsbereich $ABFE$ liegt in der Ebene $K.$

Gib eine Parametergleichung der Ebene $K$ an und bestimme eine Koordinatengleichung dieser Ebene.

$\big[$ Zur Kontrolle: Eine mögliche Koordinatengleichung ist $K: 20 x-y=1000. \big]$

(5 BE)

Gegeben ist die Ebenenschar $E_a: 20 x-y=2 a \; (a \in \mathbb{R}).$

2.1

Zeige, dass die Ebene $K$ aus Aufgabe 1.3 eine Ebene der Schar $E_a$ ist.

Begründe, dass alle Ebenen der Schar $E_a$ parallel zueinander verlaufen.

(3 BE)

2.2

Das Festzelt soll im Inneren einen separaten Bereich erhalten. Dafür wird eine zum Eingangsbereich $ABFE$ parallele Trennwand eingezogen. Im Modell liegt diese Trennwand in einer Ebene der Schar $E_a.$

Erläutere hierzu die dargestellten Vorgehensweisen in den Zeilen $(1)$ bis $(4)$ und gib die in der Zeile $(3)$ durch Auslassungspunkte gekennzeichneten fehlenden Berechnungen an.

Beschreibe abschließend die Lage der Trennwand.

Vorgehensweisen anzeigen

(7 BE)

Im Modell steht im Punkt $P(26\mid 29,25 \mid 0)$ ein $14 \,\text{m}$ hoher, vertikal ausgerichteter Kirmesbaum. Die rechte Zeltwand, die durch die Punkte $B, C, G$ und $F$ begrenzt wird, liegt in der Ebene $L: x+20 y=451.$

3.1

Zu einem bestimmten Zeitpunkt des Festsamstags fällt das Sonnenlicht in Richtung des Vektors $\overrightarrow{v}=\pmatrix{0\\-2\\-3}$ ein.

Prüfe, ob der Schatten der Kirmesbaumspitze zu diesem Zeitpunkt auf die rechte Zeltwand trifft.

(6 BE)

3.2

Im Modell ist im Punkt $Q(25 \mid y \mid z)\; (y \gt 0, z \gt 0)$ der rechten Zeltwand ein punktförmiger Strahler angebracht, der genau in Richtung der Kirmesbaumspitze ausgerichtet ist. Der austretende Lichtstrahl verläuft unter einem Winkel von $57^{\circ}$ zur Horizontalen.

Zeige, dass $y=21,3$ gilt, und bestimme den Wert von $z.$

(5 BE)

Im Festzelt findet am Samstagabend eine Musikveranstaltung statt. Dazu werden vorab von drei Sponsoren $A, B$ und $C$ Freikarten für Sitzplätze in den Kategorien „VIP" $(V)$ und „Normal“ $(N)$ verlost.

In der Kategorie $V$ werden Freikarten für insgesamt 40 Sitzplätze und in der Kategorie $N$ Freikarten für insgesamt 100 Sitzplätze verlost. Alle Freikarten finden Abnehmer.

Die folgende Tabelle gibt für die drei Sponsoren die (prozentualen) Anteile der beiden Kategorien an den jeweils verlosten Freikarten an.

	$\color{#fff}{A}$	$\color{#fff}{B}$	$\color{#fff}{C}$
$\color{#fff}{V}$	$30\,\%$	$20\,\%$	$40\,\%$
$\color{#fff}{N}$	$70\,\%$	$80\,\%$	$60\,\%$

4.1

Deute den Wert $40 \%$ in der Tabelle im Sachzusammenhang.

Leite unter Angabe der Bedeutung der verwendeten Variablen ein lineares Gleichungssystem zur Berechnung der Anzahl der von den drei Sponsoren jeweils verlosten Freikarten her.

Berechne (ohne Betrachtung des Sachzusammenhangs) die Lösungsmenge des Gleichungssystems.

$\bigg[$ zur Kontrolle: Ein mögliches Ergebnis ist $\mathbb{L} =\{(120-2 c \mid 20+c\mid c) \mid c \in \mathbb{R}\}.\bigg]$

(6 BE)

4.2

Ermittle die zulässigen Werte des Parameters $c$ in dem in Aufgabe 4.1 angegebenen Kontrollergebnis, wenn jeder der drei Sponsoren mindestens 20 der 140 Freikarten verlost.

(5 BE)

4.3

Ein Gleichungssystem, das weniger Gleichungen als Variablen besitzt, heißt unterbestimmt. Ein Gleichungssystem, das mehr Gleichungen als Variablen besitzt, heißt überbestimmt.

Beurteile (ohne Betrachtung des Sachzusammenhangs) die folgenden beiden Aussagen:

Aussage $\text{I}:$ „Jedes unterbestimmte Gleichungssystem besitzt eine Lösung.“

Aussage $\text{II}:$ „Es gibt überbestimmte Gleichungssysteme, die keine eindeutige Lösung besitzen.“

(4 BE)

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1.1

Koordinaten angeben

$D(0\mid 2,5\mid 0),$ $E(50\mid 0\mid 3),$ $G(1\mid 22,5\mid 3),$ $H(0\mid 2,5\mid 3)$

Achsen beschriften

Skalierung Festzelt Kirmes Hessen Mathe Abi

1.2

1. Schritt: Volumen des quaderförmigen Unterbaus berechnen

$V_U = | \overline{EH} |\cdot | \overline{AB} |\cdot | \overline{AE} |$

$\left| \overline{EH} \right| \approx 50,06\; [\text{m}]$

Rechenweg anzeigen

$\left| \overline{AB} \right|\approx 20,02 \; [\text{m}]$

Rechenweg anzeigen

$\left| \overline{AE} \right| = 3\; [\text{m}]$

Damit folgt:

$\begin{array}[t]{rll} V_U&=& | \overline{EH} |\cdot | \overline{AB} |\cdot | \overline{AE} | \\[5pt] &=& 50,06\cdot 20,02\cdot 3 \\[5pt] &=& 3006,6 \; [\,\text{m}^3] \\[5pt] \end{array}$

2. Schritt: Volumen des Dachs berechnen

$\begin{array}[t]{rll} V_D&=& \dfrac{1}{2}\cdot |\overline{EF}|\cdot h\cdot |\overline{EH}| \\[5pt] \end{array}$

Die Höhe $h$ des Dachs ergibt sich aus Subtraktion der $z$ -Koordinaten der Punkte $J$ und $E$ mit $h = z_J-z_E=8-3=5\; [\text{m}].$

Außerdem gilt $|\overline{EF}| = |\overline{AB}| \approx 20,02\; [\text{m}].$

$\begin{array}[t]{rll} V_D &=& \dfrac{1}{2}\cdot 20,02\cdot 5\cdot 50,06 \\[5pt] &\approx& 2505,5 \; [\text{m}^3] \\[5pt] \end{array}$

3. Schritt: Gesamtvolumen berechnen

$\begin{array}[t]{rll} V_{Ges}&=& V_U+V_D \\[5pt] &=& 3006,6+2505,5 \\[5pt] &=& 5512,1 \; [\text{m}^3] \end{array}$

1.3

Parametergleichung angeben

$K: \overrightarrow{x}= \overrightarrow{OA} +s\cdot \overrightarrow{AB}+t\cdot \overrightarrow{AE}$

Vollständige Gleichung anzeigen

Ebenengleichung ermitteln

Mittels Kreuzprodukt ergibt sich ein Normalenvektor von $K:$

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{n}&=& \pmatrix{1\\20\\0} \times \pmatrix{0\\0\\3}&\\[5pt] &=& \pmatrix{20\cdot 3-0\cdot 0\\0\cdot 0-3\cdot 1\\1\cdot 0-0\cdot 20}&\\[5pt] &=& \pmatrix{60\\-3\\0} &\\[5pt] &=& 3\cdot \pmatrix{20\\-1\\0} \end{array}$

Mit $\overrightarrow{OA}$ folgt also:

$20x-y = 1000$

Rechenweg anzeigen

Eine mögliche Koordinatengleichung ist somit $K: 20x-y=1000.$

2.1

Es gilt:

$\begin{array}[t]{rll} K: 20x-y&=& 1000 & \\[5pt] 20x-y&=& 2\cdot 500 \end{array}$

Somit folgt $K=E_{500}.$

Da die linke Seite der Koordinatengleichung unabhängig von $a$ bei allen Ebenen der Schar gleich ist und somit alle Ebenen der Schar die gleichen Normalenvektoren besitzen, verlaufen diese parallel zueinander.

2.2

Vorgehensweisen erklären

$(1)$ Die Gerade $g$ verläuft orthogonal zum Eingangsbereich bzw. zur Ebene $K$ durch den Punkt $A.$ Einer der Eckpunkte der Trennwand wird mit $T$ bezeichnet und liegt auf $g.$

$(2)$ Der Abstand zwischen $A$ und $T$ soll $20\,\text{LE}$ betragen. Die Trennwand soll also 20 Meter hinter dem Eingangsbereich eingezogen werden.

$(3)$ Für die Werte $r=1$ und $r=-1$ besitzen die Punkte der Gerade $g$ einen Abstand von 20 Metern zum Punkt $A$ im Eingangsbereich. Mit $r_2=-1$ ergeben sich die Koordinaten des Punkts $T_2,$ der innerhalb des Zelts liegt.

$(4)$ Einsetzen der Koordinaten von $T_2$ in die Ebenenschar $E_a$ liefert die Ebenengleichung $E_{299,5}.$

Fehlende Berechnung angeben

Rechnung anzeigen

Lage der Trennwand beschreiben

Die Trennwand liegt parallel zum Eingangsbereich $ABFE,$ lediglich um 20 Meter entlang der Strecke $\overline{AD}$ in negative $x$ -Richtung und somit in den hinteren Teil des Zeltes verschoben.

3.1

1. Schritt: Geradengleichung aufstellen

Die Sonnenstrahlen, die auf die Kirmesbaumspitze $S(26 \mid 29,25 \mid 14)$ treffen, können mit folgender Gleichung beschrieben werden:

$\begin{array}[t]{rll} g: \overrightarrow{x}&=& \overrightarrow{OS}+t\cdot \overrightarrow{v} \\[5pt] &=& \pmatrix{26\\29,25\\14} +t\cdot \pmatrix{0\\-2\\-3} \end{array}$

2. Schritt: Schnittpunkt mit der Zeltwandebene bestimmen

Einsetzen der Geradengleichung in die Ebenengleichung $L$ der rechten Zeltwand:

Rechenweg anzeigen

$t=4$

Daraus ergibt sich der Schnittpunkt $\(S$ der Sonnengerade mit der Zeltwandebene:

$\(\overrightarrow{OS$

Da die Koordinaten des Schnittpunkts innerhalb des Rechtecks $BCGF$ liegen, trifft der Schatten der Kirmesbaumspitze auf die rechte Zeltwand.

3.2

$\boldsymbol{y}$ -Koordinate nachweisen

Da der Punkt $Q$ in der Ebene $L$ liegt, gilt:

$\begin{array}[t]{rll} L: x+20y&=& 451 &\quad \scriptsize \mid\; Q(25\mid y\mid z) \\[5pt] 25+20y&=& 451 &\quad \scriptsize \mid\;-25 \\[5pt] 20y&=& 426 &\quad \scriptsize \mid\;:20 \\[5pt] y&=& 21,3 \end{array}$

Für den Punkt $Q$ folgt somit die $y$ -Koordinate mit $21,3.$

Wert von $\boldsymbol{z}$ bestimmen

Die Horizontale wird als eine Ebene mit möglichem Normalenvektor $\overrightarrow{n}=\pmatrix{0\\0\\1}$ betrachtet.

$\overrightarrow{QS}$ wird als ein Richtungsvektor $\overrightarrow{r}$ der Geraden, die den von $Q$ ausgehenden Lichtstrahl beschreibt, betrachtet.

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{QS}&=&\pmatrix{26\\29,25\\14}-\pmatrix{25\\21,3\\z} & \\[5pt] &=& \pmatrix{1\\7,95\\14-z} \end{array}$

Hilfsskizze Lichtstrahl Zeltwand Hessen Abi LK

Hilfsskizze (nicht maßstäblich)

Aus der Winkelbeziehung zwischen Gerade und Ebene folgt:

$\sin (57^{\circ})= \dfrac{\left| \overrightarrow{r} \circ \overrightarrow{n} \right|}{|\overrightarrow{r}|\cdot |\overrightarrow{n}|}$

Rechnung anzeigen

Mit dem solve-Befehl des CAS ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} z_1&\approx& 1,67 \\[5pt] z_2&\approx& 26,33 \end{array}$

Da die rechte Zeltwand nur 3 Meter hoch ist, kann $z_2$ ausgeschlossen werden.

Der Wert von $z$ ist somit bestimmt durch $z\approx1,67.$

4.1

Wert deuten

Der Wert $40\,\%$ beschreibt den Anteil der VIP-Tickets an der Gesamtanzahl der Tickets, die der Sponsor $C$ verlost.

Lineares Gleichungssystem herleiten

$a:$ Gesamtanzahl der Freikarten, die von Sponsor A verlost werden
$b:$ Gesamtanzahl der Freikarten, die von Sponsor B verlost werden
$c:$ Gesamtanzahl der Freikarten, die von Sponsor C verlost werden

Aus der Tabelle ergibt sich nun folgendes Gleichunssystem:

Gleichungssystem anzeigen

Lösungsmenge berechnen

Rechenweg anzeigen

Aus $\text{II}$ folgt:

$\begin{array}[t]{rll} b-c&=& 20&\quad \scriptsize \mid\; +c \\[5pt] b&=& 20+c \end{array}$

Einsetzen in $\text{I}$ ergibt:

Rechenweg anzeigen

$a= 120-2c$

Somit ist die Lösungsmenge des Gleichungssystems gegeben durch $L=\{(120-2 c \mid 20+c\mid c) \mid c \in \mathbb{R}\}.$

4.2

Damit Sponsor $C$ eine passende Anzahl an Karten verlost, muss gelten:

$20 \leq c\leq 140$

Für Sponsor $A$ muss gelten:

$\begin{array}[t]{rlcll} 20 &\leq & 120-2c &\leq & 140 &\quad \scriptsize \mid\;-120 \\[5pt] -100 &\leq & -2c &\leq & 20 &\quad \scriptsize \mid\;:(-2) \\[5pt] 50&\geq & c &\geq& -10 \end{array}$

Für Sponsor $B$ muss gelten:

$\begin{array}[t]{rlcll} 20 &\leq & 20+c &\leq & 140 &\quad \scriptsize \mid\;-20 \\[5pt] 0 &\leq & c &\leq & 120 \end{array}$

Aus allen drei Einschränkungen ergibt sich also $20 \leq c \leq 50.$

4.3

Aussage $\boldsymbol{\text{I}}$

Die Aussage ist nicht korrekt. Beispielsweise ist folgendes Gleichungssystem unterbestimmt und besitzt keine Lösung:

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad& a+b+c &=& 5\\ \text{II}\quad& a+b+c &=& 1 \\ \end{array}$

Aussage $\boldsymbol{\text{II}}$

Die Aussage ist korrekt.

Beispielsweise ist folgendes Gleichungssystem überbestimmt, besitzt aber keine eindeutige Lösung:

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad& a+ b &=& 2 \\ \text{II}\quad& 2a + 2b &=& 4 \\ \text{II}\quad& 3a + 3b &=& 6 \\ \end{array}$

Alle drei Gleichungen sind linear abhängig, wodurch das Gleichungssystem keine eindeutige Lösung besitzt.

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