A - Hilfsmittelfreier Teil

Analysis - Niveau 1

Gegeben sind die in $\mathbb{R}$ definierten ganzrationalen Funktionen $f_k:x \mapsto x^4+(2-k) \cdot x^3-k \cdot x^2$ mit $k \in \mathbb{R}$ .

1.1

Begründe, dass der Graph von $f_2$ symmetrisch bezüglich der $y$ -Achse ist.

(1 BE)

1.2

Es gibt einen Wert von $k,$ für den $1$ eine Wendestelle von $f_k$ ist.
Berechne diesen Wert von $k.$

(4 BE)

Stochastik - Niveau 1

In einem Behälter befinden sich Gummibärchen.

2.1

Es befinden sich $4$ rote und $2$ grüne Gummibärchen im Behälter. Paula nimmt zufällig drei Gummibärchen heraus und isst sie auf. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass sie dabei mindestens zwei rote Gummibärchen isst.

(3 BE)

2.2

Es befinden sich $n$ Gummibärchen im Behälter, von denen genau eines orange ist. Max nimmt zufällig zwei Gummibärchen heraus und isst sie auf. Die Wahrscheinlichkeit, dass er dabei das orangefarbene Gummibärchen isst, beträgt $0,2$ . Ermittle die Anzahl $n$ der Gummibärchen im Behälter.

(2 BE)

Lineare Algebra/Analytische Geometrie – Niveau 1

Wird der Punkt $P(1\mid 2\mid 3)$ an der Ebene $E$ gespiegelt, so ergibt sich der Punkt $Q(7\mid 2\mid 11)$ .

3.1

Bestimme eine Gleichung von $E$ in Koordinatenform.

(3 BE)

3.2

Auf der Gerade durch $P$ und $Q$ liegen die Punkte $R$ und $S$ symmetrisch bezüglich $E$ ; dabei liegt $R$ bezüglich $E$ auf der gleichen Seite wie $P.$ Der Abstand von $R$ und $S$ ist doppelt so groß wie der Abstand von $P$ und $Q.$ Bestimme die Koordinaten von $R.$

(2 BE)

Analysis – Niveau 2

Ermittle eine Gleichung der quadratischen Funktion $g$ , die die beiden folgenden Eigenschaften hat:

Der Graph von $g$ schneidet die Gerade mit der Gleichung $y=\dfrac{1}{4}x + 1$ im Punkt $(0\mid 1)$ unter einem rechten Winkel.
Die $x$ - und die $y$ -Koordinate des Extrempunkts des Graphen von $g$ stimmen überein.

(5 BE)

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Analysis - Niveau 1

1.1

$f_2: x\mapsto x^4- 2x^2$

Da alle Exponenten der Funktion $f_2$ gerade sind, gilt $f_2(x)=f_2(-x).$

Somit ist $f_2$ symmetrisch bezüglich der $y$ -Achse.

1.2

$\(f$

Notwendige Bedingung für Wendestellen anwenden

Rechenweg anzeigen

$k=3$

Da vorausgesetzt ist, dass an der Stelle $x=1$ für einen Wert von $k$ eine Wendestelle vorliegt, ist das Nachweisen der hinreichenden Bedingung für eine Wendestelle nicht mehr nötig.

Für $k=3$ besitzt $f_k$ an der Stelle $x=1$ eine Wendestelle.

Stochastik - Niveau 1

2.1

Für den Fall, dass Paula mindestens zwei rote Gummibärchen isst, gibt es vier Möglichkeiten:

$r:$ rotes Gummibärchen

$g:$ grünes Gummibärchen

$P(rrg)=\dfrac{4}{6}\cdot \dfrac{3}{5}\cdot \dfrac{2}{4}=\dfrac{24}{120}$ $=\dfrac{1}{5}$

$P(rgr)=\dfrac{4}{6}\cdot \dfrac{2}{5}\cdot \dfrac{3}{4}=\dfrac{24}{120}$ $=\dfrac{1}{5}$

$P(grr)=\dfrac{2}{6}\cdot \dfrac{4}{5}\cdot \dfrac{3}{4}=\dfrac{24}{120}$ $=\dfrac{1}{5}$

$P(rrr)=\dfrac{4}{6}\cdot \dfrac{3}{5}\cdot \dfrac{2}{4}=\dfrac{24}{120}$ $=\dfrac{1}{5}$

Somit ergibt sich für das Ereignis folgende Wahrscheinlichkeit: $4\cdot \dfrac{1}{5}$ $=\dfrac{4}{5}$

2.2

Ereignis $1$ : Oranges Gummibärchen wird zuerst gezogen

$P(E1)=\dfrac{1}{n}\cdot \dfrac{n-1}{n-1}$

Ereignis $2$ : Oranges Gummibärchen wird als zweites gezogen

$P(E2)=\dfrac{n-1}{n}\cdot \dfrac{1}{n-1}$

Anzahl $n$ der Gummibärchen bestimmen:

$n=10$

Rechenweg anzeigen

Es befinden sich somit $10$ Gummibärchen im Behälter.

Lineare Algebra / Analytische Geometrie - Niveau 1

3.1

1. Schritt: Einen Normalenvektor von $E$ bestimmen

Ein Normalenvektor von $E$ ist gegeben durch $\overrightarrow{PQ}:$

$\overrightarrow{PQ}=\pmatrix{7\\2\\11}-\pmatrix{1\\2\\3}=\pmatrix{6\\0\\8}$

2. Schritt: Punkt aus $E$ ermitteln

Der Mittelpunkt $M$ der Strecke $\overline{PQ}$ liegt in der Ebene $E.$

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OM}&=&\overrightarrow{OP}+\dfrac{1}{2}\cdot \overrightarrow{PQ} & \\[5pt] &=&\pmatrix{1\\2\\3}+\dfrac{1}{2}\cdot \pmatrix{6\\0\\8} & \\[5pt] &=&\pmatrix{4\\2\\7} \end{array}$

3. Schritt: $M$ in $E$ einsetzen

$\begin{array}[t]{rll} E: 6\cdot x_1+8\cdot x_3&=&c & \\[5pt] 6\cdot 4+8\cdot 7&=&c & \\[5pt] 80&=&c \end{array}$

Eine Gleichung für $E$ ist somit gegeben durch:

$E: 6x_1+8x_3=80$

3.2

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OR}&=&\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{PQ} & \\[5pt] &=&\pmatrix{4\\2\\7}-\pmatrix{6\\0\\8} & \\[5pt] &=&\pmatrix{-2\\2\\-1} \end{array}$

Die Koordinaten von $R$ sind somit gegeben durch $(-2 \mid 2 \mid -1).$

Analysis - Niveau 2

Gleichung einer quadratischen Funktion:

$g(x)=ax^2+bx+c$

Aus dem Schnittpunkt mit der Gerade $y$ folgt, dass die Gerade ebenfalls durch den Punkt $(0\mid 1)$ verläuft.

$\begin{array}[t]{rll} g(0)&=& 1& \\[5pt] a\cdot 0^2+b\cdot 0+c&=& 1& \\[5pt] c&=&1 \end{array}$

Der Schnittwinkel von $90^{\circ}$ weist auf Orthogonalität hin. Für den Punkt $(0\mid 1)$ gilt also:

$\(g$

Für die Ableitung gilt:

$\(g$

Somit gilt:

$\(\begin{array}[t]{rll} g$

Koordinaten des Extrempunktes bestimmen:

Notwendige Bedingung für einen Extrempunkt anwenden:

$\(\begin{array}[t]{rll} g$

Da bereits vorausgesetzt ist, dass ein Extrempunkt existiert, ist das Prüfen der hinreichenden Bedingung hier nicht mehr nötig.

$\begin{array}[t]{rll} g\left(\dfrac{2}{a}\right)&=&\dfrac{2}{a} & \\[5pt] a\cdot\left(\dfrac{2}{a}\right)^2-4\cdot \left(\dfrac{2}{a}\right)+1&=&\dfrac{2}{a} & \\[5pt] a\cdot\dfrac{4}{a^2}-\dfrac{8}{a}+1&=&\dfrac{2}{a} & \\[5pt] -\dfrac{4}{a}+1&=&\dfrac{2}{a} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot a \\[5pt] -4+a&=& 2 &\quad \scriptsize \mid\; +4 \\[5pt] a&=& 6 & \\[5pt] \end{array}$

Somit folgt: $g(x)=6x^2-4x+1$

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