A2 - Analysis

Eine Schokoladenglocke soll mathematisch modelliert werden. Dazu werden an sieben verschiedenen Stellen die Radien der Glocke gemessen. Im Material 1 sind die Messdaten als Punkte eingetragen. Die Punkte liegen auf dem oberen Rand der Querschnittsfläche, die bei einem Querschnitt durch eine Symmetrieebene der Glocke entsteht. Durch Rotation des oberen Randes der Querschnittsfläche um die $x$ -Achse erhält man die Glockenform.
Die Wertetabelle gibt die im Koordinatensystem eingetragenen Punkte an. Eine Einheit entspricht dabei einem Zentimeter.

$x$	$y$
$-1,5$	$0,00$
$-1,0$	$0,55$
$-0,5$	$0,80$
$0,0$	$1,00$
$0,5$	$1,20$
$1,0$	$1,45$
$1,5$	$2,00$

Die Form des oberen Randes der Querschnittsfläche soll in einem ersten Modell anhand der in der Wertetabelle gegebenen Punkte annähernd durch den Graphen einer ganzrationalen Funktion $f$ beschrieben werden.

1.1

Begründe unter Verwendung von Material 1, warum die ganzrationale Funktion $f$ mindestens dritten Grades sein muss.

(4 BE)

1.2

Bestimme eine ganzrationale Funktion $f$ dritten Grades so, dass ihr Graph durch $(0,5\mid 1,20)$ und $(1,5\mid 2,00)$ verläuft und in $(0,0\mid 1,00)$ einen Wendepunkt besitzt.

(8 BE)

1.3

Begründe, dass es keine ganzrationale Funktion dritten Grades geben kann, die durch alle in der Wertetabelle gegebenen Punkte verläuft und in $(0,0\mid 1,00)$ einen Wendepunkt besitzt.

(3 BE)

Eine weitere Möglichkeit, eine Näherungsfunktion für die Datenpunkte zu erhalten ist die Methode der Regression.

2.1

Gib eine mit Hilfe dieser Methode bestimmte ganzrationale Funktion $g$ dritten Grades an, welche die Datenpunkte der Tabelle annähert. Die Koeffizienten sollen auf vier Nachkommastellen gerundet sein.

(3 BE)

2.2

Bestimme als Näherungswert für das Volumen der Glocke das Volumen des Rotationskörpers, der durch Rotation des Graphen der Funktion $g$ im Intervall $[-1,5;1,5]$ um die $x$ -Achse entsteht.
Solltest du den Funktionsterm von $g$ in Aufgabe 2.1 nicht bestimmt haben, verwende die Ersatzfunktion $g$ mit $g(x)=0,15x^3+0,31x+1.$

(3 BE)

Die Form des oberen Randes der Querschnittsfläche soll in einem dritten Modell in einer Umgebung von $x=0$ für eine geeignete Wahl des Parameters $t$ näherungsweise durch einen Graphen der Funktionenschar $f_t$ mit $f_t(x)$ $=\dfrac{\mathrm e^{tx}-\mathrm e^{-tx}}{5t}$ $+1$ und $t\neq0$ beschrieben werden.
Berechne die Funktionsgleichungen der ersten drei Ableitungen der Funktionenschar $f_t$ . Zeige, dass alle Graphen der Schar $f_t$ genau einen Wendepunkt besitzen, und entscheide, ob dort ein Wechsel von einer Rechts- in eine Linskrümmung oder ein Wechsel von einer Links- in eine Rechtskrümmung erfolgt.

(7 BE)

Die Schokoladenglocke soll mit Blattgold verziert werden. Dazu wird eine extrem dünne, essbare Blattgoldfolie benötigt. Das Blattgold soll in einem Streifen von $x_1=0$ bis $x_2=1$ rund um die Glocke aufgetragen werden. Um einen ersten Näherungswert für den Materialbedarf zu erhalten, wird zunächst vereinfachend eine Funktion $k$ betrachtet, deren Graph vom Punkt $(0\mid 1)$ bis zum Punkt $(1\mid 1,5)$ geradlinig verläuft und in diesem Intervall um die $x$ -Achse rotiert.
Es ergibt sich die Form eines geraden Kegelstumpfs. Als Maß für den Materialbedarf dient der Flächeninhalt der Mantelfläche des Kegelstumpfs.

4.1

Zeige, dass beim Bestimmen des Flächeninhalts der Mantelfläche des Kegelstumpfs, der bei Rotation des Graphen von $k$ für $0\leq x\leq1$ um die $x$ -Achse entsteht, beide in Material 2 angegebenen Methoden A und B zum gleichen Ergebnis führen.

(7 BE)

4.2

Bestimme mit Hilfe der Methode A den Inhalt der mit Blattgold bedeckten Fläche unter Verwendung der Scharkurve von $f_t$ aus Aufgabe 3 für $t=1,183$ und vergleiche das Ergebnis mit dem Ergebnis aus Aufgabe 4.1.

(5 BE)

Material 1

Material 2

Methode A:
Lässt man den Graphen einer Funktion $f$ für $x_1 \leq x \leq x_2$ um die $x$ -Achse rotieren, dann lässt sich der Flächeninhalt $M$ der Mantelfläche des Rotationskörpers folgendermaßen mit Hilfe eines Integrals ermitteln:

$M=2\pi$ $\( \cdot\displaystyle\int_{x_1}^{x_2} f(x)\sqrt{1+(f$ $\text{ für } f(x)\geq0$

Methode B:

Der Flächeninhalt $M$ der Mantelfläche eines geraden Kreiskegelstumpfs lässt sich mit folgender Formel berechnen:

$M=\pi\cdot(r_1+r_2)$ $\cdot s$

1.1

Zwischen den Punkten $(-1,5\mid 0,0)$ und $(0,0\mid 1,0)$ weist der Graph eine Rechtskrümmung auf. Vom Punkt $(0,0\mid 1,0)$ bis zum Punkt $(1,5\mid 2,0)$ existiert allerdings eine Linkskrümmung. Es handelt sich bei $(0,0\mid 1,0)$ somit um einen Wendepunkt und die ganzrationale Funktion muss damit mindestens Grad drei haben.

1.2

Eine ganzrationale Funktion $f$ dritten Grades hat die allgemeine Form $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ und soll die Punkte $P_1(0,5\mid 1,2)$ , $P_2(1,5\mid 2,0)$ und $W(0,0\mid 1,0)$ durchlaufen, wobei $W(0,0\mid 1,0)$ ein Wendepunkt ist.
Mit Hilfe des CAS folgt, dass die zweite Ableitung von $f$ durch $\(f$ gegeben ist. Mit dem notwendingen Kriterium für Wendestellen ergibt sich folgendes Gleichungssystem:

Gleichungssystem anzeigen

Mit Hilfe der folgenden Befehle wird das Gleichungssystem nun mit dem CAS gelöst:

on $\rightarrow$ Calculator $\rightarrow$ Menu $\rightarrow$ Algebra $\rightarrow$ Gleichungssysteme lösen $\rightarrow$ System linearer Gleichungen lösen... $\rightarrow$ Anzahl der Gleichungen: 4 $\rightarrow$ Variablen: Variablennamen mit Komma getrennt eingeben $\rightarrow$ OK

Screenshot einer Softwareanwendung mit mathematischer Gleichung und Befehlen zur Lösung eines linearen Problems.

Für die Variablen folgt damit:

$a=0,133333$

$b=0$

$c=0$

$d=366667,1$

Mathematische Gleichungen und Berechnungen in einem Programm zur Lösung linearer Gleichungen.

Für die gesuchte Funktion $f$ folgt damit:

$f(x)$ $=0,133x^3$ $+0,367x$ $+1$

1.3

Einsetzen des Punktes $P_3(1 \mid 1,45)$ in die in der vorherigen Teilaufgabe bestimmten Funktion liefert:

$f(1)$ $=0,133$ $\cdot 1$ $+0,367$ $\cdot 1$ $+1 =1,5$

Der Punkt aus der Wertetabelle liegt nicht auf $f,$ somit kann keine ganzrationale Funktion dritten Grades existieren, welche die Forderungen erfüllt.

2.1

Mit Hilfe von Listen für die $x$ - und $y$ -Werte, welche im CAS unter on $\rightarrow$ List & Spreadsheet erstellt werden, folgt die Durchführung der kubischen Regression wie folgt:

Menu $\rightarrow$ Statistik $\rightarrow$ 1: statistische Berechnung $\rightarrow$ 7: Kubische Regression $\rightarrow$ x-Liste: a[], y-Liste: b[] $\rightarrow$ ok

Der CAS liefert folgende Werte:

$a=0,166667$

$b\approx 0$

$c=0,286905$

$d=0,992857$

Tabellenansicht mit Daten zur kubischen Regression und den Werten a, b, c und d.

Die Methode der Regression liefert somit die Funktion $g(x)$ $=0,1667x^3$ $+0,2869x$ $+0,9929.$

2.2

Das Volumenintegral bei Rotation um die $x$ -Achse im Intervall $[a; b]$ ist beschrieben durch folgende Gleichung:

$V(x)$ $=\pi \displaystyle\int_{a}^{b}(f(x))^2\;\mathrm dx$

Zunächst wird der Funktionsterm von $(g(x))^2$ unter on $\rightarrow$ Graphs eingegeben. Anschließend wird im CAS wie folgt von $a=-1,5$ bis $b=1,5$ integriert:

Menu $\rightarrow$ Graph analysieren $\rightarrow$ 7: Integral $\rightarrow$ untere Schranke: $-1,5 

\rightarrow$ ENTER $\rightarrow$ obere Schranke: $1,5 

\rightarrow$ ENTER

Nach Multiplikation des Werts des Integrals mit $\pi$ folgt für das Volumen:

$V(x)$ $= 11,22$

Graph einer Funktion mit einer kubischen Gleichung im Koordinatensystem.

1. Schritt: Funktionsgleichungen dreimal ableiten

Dreimaliges Ableiten der Funktionenschar $f_t(x)$ nach $x$ liefert:

$\(\begin{array}[t]{rll} f_t$

2. Schritt: Zeigen, dass es nur einen Wendepunkt gibt

Zunächst wird die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt überprüft:

Rechenweg anzeigen

$x=0$

Überprüfung des hinreichenden Kriteriums für eine Wendestelle liefert weiter:

Rechenweg anzeigen

$\( f_t$

Die Funktion $f$ hat also genau einen Wendepunkt, und zwar an der Stelle $x=0$ mit dem Funktionswert $f_t(0)$ $= \dfrac{e^{t\cdot 0}-e^{-t\cdot 0}}{5t}$ $+1$ $= 1.$

3. Schritt: Krümmungsverhalten bestimmen

Da die dritte Ableitung am Wendepunkt wie oben berechnet größer Null ist, erfolgt an dem Wendepunkt eine Änderung der Krümmung von rechts nach links.

4.1

1. Schritt: Funktionsgleichung $k(x)$ aufstellen

Erstellen zweier Listen für die $x$ - und $y$ -Werte der beiden Punkte liefert die Variablen der allgemeinen Funktionsgleichung $k(x)=m\cdot x+b$ im CAS wie folgt:

Menu $\rightarrow$ Statistik $\rightarrow$ 1: statistische Berechnung $\rightarrow$ 3: Lineare Regression $\rightarrow$ x-Liste: a[], y-Liste: b[] $\rightarrow$ ok

Für die Variablen folgt dann:

$m=0,5$

$b=1$

Tabelle mit Daten zur linearen Regression, einschließlich Titel, Gleichung und Werten für m, b und r².

Die Funktion $k(x)$ hat also folgende Funktionsgleichung:

$k(x)=0,5x+1$

2. Schritt: Mantelfläche nach Methode A berechnen

Mit Hilfe der ersten Ableitung $\(k$ folgt:

$M_A$ $= 2\pi$ $\cdot\displaystyle\int_0 ^1(0,5x+1)\sqrt{1+0,5^2}\;\mathrm dx$

Eingabe des Terms unterhalb des Integrals in den CAS und Integrieren von den Grenzen $0$ bis $1$ liefert multipliziert mit $2\pi:$

$M_A=8,8$

Graph einer Funktion mit roten Linien und Achsenbeschriftungen im Koordinatensystem.

3. Schritt: Mantelfläche nach Methode B berechnen

Für den Kegelstumpf aus dieser Aufgabe sind die Werte für die beiden Radien die $y$ -Werte der beiden Punkte $(0\mid 1)$ und $(1\mid 1,5),$ das heißt es gilt $r_1=1$ und $r_2=1,5.$

Weiter folgt die Länge der Mantellinie $s$ als die Länge der Verbindungslinie der Punkte $(0\mid 1)$ und $(1\mid 1,5):$

Rechenweg anzeigen

$s=\sqrt{1+0,5^2}$

Insgesamt folgt damit für die Mantelfläche:

$M_B$ $=\pi$ $\cdot(1+1,5)$ $\cdot \sqrt{1+0,5^2}$ $=\pi$ $\cdot 2,5$ $\cdot \sqrt{1+0,5^2}$ $= 8,8$

4. Schritt: Vergleich der Ergebnisse

Die Ergebnisse der Methoden $A$ und $B$ sind identisch.

4.2

Der CAS liefert für die erste Ableitung der Funktion $f_{1,183}(x)=\dfrac{e^{1,183x}-e^{-1,183x}}{5\cdot 1,183}+1$ folgendes:

$\(f$ $=\dfrac{1,183e^{1,183x}+1,183e^{-1,183x}}{5\cdot 1,183}$

Einsetzen in die Formel aus Methode A und Berechnung des Integrals mit dem CAS liefert als Wert für die Mantellinie, nach Multiplikation mit $2\pi:$

$M=8,7$

Graf einer mathematischen Funktion mit Achsenbeschriftungen und einer Formel.

Verglichen mit dem Wert $M_A=8,8$ aus Aufgabe 4.1 ist das hier berechnete Ergebnis um $0,1$ geringerer.

1.1

1.2

Gleichungssystem anzeigen

Mit Hilfe der folgenden Befehle wird das Gleichungssystem nun mit dem CAS gelöst:

solve({lin. Gleichungen}, {Variablen}) $\rightarrow$ ENTER

Mathematische Gleichungslösung mit Variablen a, b, c und d in einem interaktiven Programm.

Mit den erhaltenen Variablen $a=0,133333,\;b=0,\;c=0$ und $d=366667,1$ folgt für die gesuchte Funktion $f$ damit:

$f(x)$ $=0,133x^3$ $+0,367x$ $+1$

1.3

Einsetzen des Punktes $P_3(1 \mid 1,45)$ in die in der vorherigen Teilaufgabe bestimmten Funktion liefert:

$f(1)$ $=0,133$ $\cdot 1$ $+0,367$ $\cdot 1$ $+1 =1,5$

Der Punkt aus der Wertetabelle liegt nicht auf $f,$ somit kann keine ganzrationale Funktion dritten Grades existieren, welche die Forderungen erfüllt.

2.1

Mit Hilfe von Listen für die $x$ - und $y$ -Werte, welche im CAS unter MENU $\rightarrow$ Statistics erstellt werden, folgt die Durchführung der kubischen Regression wie folgt:

Calc $\rightarrow$ Regression $\rightarrow$ Cubic Reg $\rightarrow$ OK

Der CAS liefert folgende Werte:

$a=0,166667$

$b\approx 0$

$c=0,286905$

$d=0,992857$

Statistische Berechnung einer kubischen Regression mit Koeffizienten und Werten für r² und MSe.

Die Methode der Regression liefert somit die Funktion $g(x)$ $=0,1667x^3$ $+0,2869x$ $+0,9929.$

2.2

Das Volumenintegral bei Rotation um die $x$ -Achse im Intervall $[a; b]$ ist beschrieben durch folgende Gleichung:

$V(x)$ $=\pi \displaystyle\int_{a}^{b}(f(x))^2\;\mathrm dx$

Zunächst wird der Funktionsterm von $(g(x))^2$ unter MENU $\rightarrow$ Graph & Table eingegeben. Anschließend wird im CAS wie folgt von $a=-1,5$ bis $b=1,5$ integriert:

Graph-Icon $\rightarrow$ Analysis $\rightarrow$ G-Solve $\rightarrow$ Integral $\rightarrow 

\displaystyle\int\;\mathrm dx 

\rightarrow$ lower: $-1,5$ , upper: $1,5 

\rightarrow$ OK

Nach Multiplikation des Werts des Integrals mit $\pi$ folgt für das Volumen:

$V(x)$ $= 11,22$

Graph einer Funktion mit einer schattierten Fläche zwischen -1,5 und 1,5 auf den Achsen x und y.

1. Schritt: Funktionsgleichungen dreimal ableiten

Dreimaliges Ableiten der Funktionenschar $f_t(x)$ nach $x$ liefert:

$\(\begin{array}[t]{rll} f_t$

2. Schritt: Zeigen, dass es nur einen Wendepunkt gibt

Zunächst wird die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt überprüft:

Rechenweg anzeigen

$x=0$

Überprüfung des hinreichenden Kriteriums für eine Wendestelle liefert weiter:

Rechenweg anzeigen

$\( f_t$

Die Funktion $f$ hat also genau einen Wendepunkt, und zwar an der Stelle $x=0$ mit dem Funktionswert $f_t(0)$ $= \dfrac{e^{t\cdot 0}-e^{-t\cdot 0}}{5t}$ $+1$ $= 1.$

3. Schritt: Krümmungsverhalten bestimmen

Da die dritte Ableitung am Wendepunkt wie oben berechnet größer Null ist, erfolgt an dem Wendepunkt eine Änderung der Krümmung von rechts nach links.

4.1

1. Schritt: Funktionsgleichung $k(x)$ aufstellen

Erstellen zweier Listen für die $x$ - und $y$ -Werte der beiden Punkte liefert die Variablen der allgemeinen Funktionsgleichung $k(x)=m\cdot x+b$ im CAS wie folgt:

Calc $\rightarrow$ Regression $\rightarrow$ Linear Reg $\rightarrow$ OK

Für die Variablen folgt dann:

$m=0,5$

$b=1$

Fenster zur Berechnung der linearen Regression mit verschiedenen statistischen Werten.

Die Funktion $k(x)$ hat also folgende Funktionsgleichung:

$k(x)=0,5x+1$

2. Schritt: Mantelfläche nach Methode A berechnen

Mit Hilfe der ersten Ableitung $\(k$ folgt:

$M_A$ $= 2\pi$ $\cdot\displaystyle\int_0 ^1(0,5x+1)\sqrt{1+0,5^2}\;\mathrm dx$

Eingabe des Terms unterhalb des Integrals in den CAS und Integrieren von den Grenzen $0$ bis $1$ liefert multipliziert mit $2\pi:$

$M_A=8,8$

Grafische Darstellung einer Funktion mit gefärbtem Bereich zwischen den Achsen und Zahlenangaben.

3. Schritt: Mantelfläche nach Methode B berechnen

Für den Kegelstumpf aus dieser Aufgabe sind die Werte für die beiden Radien die $y$ -Werte der beiden Punkte $(0\mid 1)$ und $(1\mid 1,5),$ das heißt es gilt $r_1=1$ und $r_2=1,5.$

Weiter folgt die Länge der Mantellinie $s$ als die Länge der Verbindungslinie der Punkte $(0\mid 1)$ und $(1\mid 1,5):$

Rechenweg anzeigen

$s=\sqrt{1+0,5^2}$

Insgesamt folgt damit für die Mantelfläche:

$M_B$ $=\pi$ $\cdot(1+1,5)$ $\cdot \sqrt{1+0,5^2}$ $=\pi$ $\cdot 2,5$ $\cdot \sqrt{1+0,5^2}$ $= 8,8$

4. Schritt: Vergleich der Ergebnisse

Die Ergebnisse der Methoden $A$ und $B$ sind identisch.

4.2

Der CAS liefert für die erste Ableitung der Funktion $f_{1,183}(x)=\dfrac{e^{1,183x}-e^{-1,183x}}{5\cdot 1,183}+1$ folgendes:

$\(f$ $=\dfrac{1,183e^{1,183x}+1,183e^{-1,183x}}{5\cdot 1,183}$

Einsetzen in die Formel aus Methode A und Berechnung des Integrals mit dem CAS liefert als Wert für die Mantellinie, nach Multiplikation mit $2\pi:$

$M=8,7$

Graph einer Funktion mit einer hervorgehobenen Fläche zwischen den Werten 0 und 1 im Koordinatensystem.

Verglichen mit dem Wert $M_A=8,8$ aus Aufgabe 4.1 ist das hier berechnete Ergebnis um $0,1$ geringerer.