C1 - Stochastik

Im Kampf gegen Doping sollten bei den Olympischen Sommerspielen in London mit neuen Verfahren "saubere Spiele" gewährleistet werden. Es sollten 5000 Tests durchgeführt werden.

Ein Mediziner äußert Zweifel, da weltweit pro Jahr ca. 300000 Dopingtests durchgeführt würden, davon nur $0,3\,\%$ mit positivem Ergebnis. Dies stehe im Widerspruch zu Studien, bei denen ein wesentlich größerer Anteil der Nachwuchssportler Doping zugaben.

1.1

Es kann angenommen werden, dass es sich bei den geplanten Dopingtests bei den Olympischen Sommerspielen in London um Bernoulli-Experimente handelt.

Gib eine Definition der Zufallsvariablen $X$ an und nenne die Bedingungen, unter denen $X$ als binomialverteilt angenommen werden kann.

(3 BE)

1.2

Beschreibe die Bedeutung der folgenden Rechnung im Sachzusammenhang:

$\displaystyle\sum\limits_{i=10}^{19}\begin{pmatrix}5000\\i\end{pmatrix}\cdot0,003^{i}\cdot0,997^{5000-i}\approx0,806$

(3 BE)

Mit neuem Verfahren verspricht ein renommiertes französisches Labor, die Quote der Dopingtests mit positivem Ergebnis von $0,3\,\%$ auf $1\,\%$ zu erhöhen.

In einem ersten Test unter 1000 Teilnehmern der Leichtathletik Jugendweltmeisterschaften wurden 6 Sportlerinnen und Sportler des Dopings überführt. Ein Heidelberger Molekularbiologe hält die Euphorie für verfrüht. Beide Seiten versuchen ihre Sichtweise durch ein Testverfahren zu untermauern.

Französisches Labor

Nullhypothese: $\quad \quad p_0=0,01$

Gegenhypothese: $\quad p_1 \lt 0,01$

Signifikanzniveau: $\quad \alpha =0,04$

Heidelberger Molekularbiologe

Nullhypothese: $\quad \quad p_0=0,003$

Gegenhypothese: $\quad p_1 \gt 0,003$

Signifikanzniveau: $\quad \alpha =0,04$

2.1

Bestimme die jeweiligen Annahmebereiche der Nullhypothese und beurteile anhand des Testergebnisses das neue Testverfahren.

(8 BE)

2.2

Beschreibe an einem der beiden Testverfahren, was in diesem Sachzusammenhang die Fehler 1. und 2. Art sind, und bestimme anschließend für beide Testverfahren den Fehler 2. Art.

Verwende für die Berechnung des Fehlers 2. Art die Wahrscheinlichkeit der Nullhypothese des jeweils anderen Labors.

(6 BE)

Ein amerikanischer Dopingexperte machte 2012 eine drastische Aussage in Bezug auf die Olympischen Spiele:

"Etwa $60\,\%$ aller Athleten sind gedopt."

Mit Hilfe einer anonymen Umfrage wollen Medizinstudenten herausfinden, wie hoch die Dunkelziffer der gedopten Athleten bei den Olympischen Spielen ist. Dabei soll ein Verfahren verwendet werden, das den Befragten weitgehenden Schutz verspricht.

Der Athlet soll die Frage beantworten:
"Stimmt es, dass Sie im Wettkampf oder im Training Dopingmittel benutzt haben?"

Die Antwort soll er nach folgender Regel geben:
Aus einer Urne mit 4 roten, 2 schwarzen und 3 weißen Kugeln zieht der Athlet zunächst unbeobachtet eine Kugel. Ist sie rot, beantwortet er die Frage mit NEIN, ist sie schwarz, mit JA. Zieht er eine weiße Kugel, so antwortet er wahrheitsgemäß (mit JA oder NEIN).

Von 3010 getesteten Athleten antworteten 1093 mit JA.

3.1

Stelle das Testverfahren mit Hilfe eines Baumdiagramms dar und ermittle daraus den Anteil an gedopten Athleten.

(5 BE)

3.2

Einige Athleten befürchten, dass sie bei einer Antwort JA eher des Dopings verdächtigt werden könnten als bei NEIN.

Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass der Athlet, der mit JA geantwortet hat, wirklich Dopingmittel benutzt hat. Verwende dabei die in Aufgabe 3.1 ermittelte Wahrscheinlichkeit $p.$

Falls Aufgabe 3.1 nicht bearbeitet wurde, kann $p=0,4$ gewählt werden.

(5 BE)

Material

Binomialsummenfunktion $F_{n;p}(k)=\displaystyle\sum\limits_{i=0}^{k}\begin{pmatrix}n\\i\end{pmatrix}p^{i}(1-p)^{n-i}$ $\quad$ für $n=1\,000$

p=	0,01	0,003
k=
0	0,0000	0,04956
1	0,0005	0,19870
2	0,0027	0,42285
3	0,0101	0,64723
4	0,0287	0,81552
5	0,0661	0,91639
6	0,1289	0,96672
7	0,2189	0,98822
8	0,3317	0,99626
9	0,4573	0,99892
10	0,5830	0,99972
11	0,6974	0,99993
12	0,7925	0,99998
13	0,8656	1,00000
14	0,9176	1,00000
15	0,9521	1,00000
16	0,9736	1,00000
17	0,9862	1,00000
18	0,9931	1,00000
19	0,9967	1,00000
20	0,9985	1,00000
21	0,9993	1,00000
22	0,9997	1,00000
23	0,9999	1,00000
24	1,0000	1,00000
25	1,0000	1,00000

1.1

Zufallsvariable $X$ definieren

$X$ beschreibt die Anzahl der positiven Dopingtests.

Bedingungen nennen

Die Wahrscheinlichkeit eines positiven Dopingtests ist für jeden befragten Spieler gleich.

Es gibt jeweils nur zwei mögliche Ergebnisse: "Der Test ist positiv" und "Der Test ist negativ".

1.2

$X$ kann als binomialverteilt mit den Parametern $n = 5000$ und $p= 0,003$ angenommen werden. Mit der Formel für die summierte Binomialverteilung lässt sich also schließen:

Die obige Rechnung gibt an, dass die Wahrscheinlichkeit für mindestens 10 und höchstens 19 positive Dopingtests unter insgesamt 5000 Tests ca. 0,806 beträgt unter der Annahme, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein Test positiv ist, $0,3\,\%$ beträgt.

2.1

Annahmebereich des französischen Labors berechnen

Wegen $p_1 \lt p_0$ führt das Labor einen linksseitigen Test durch.
Also hat der Annahmebereich die folgende Form:

$A = \{k,...,1000\}$

Gesucht ist das kleinste $k$ , für das die Nulhypothese noch angenommen wird. Es muss gelten:

$P(X \leq k) \geq 0,04$

Mit Hilfe der Tabelle im Material folgt:

$P(X\leq4) = 0,0287 \lt 0,04$

$P(X\leq5) = 0,0661 \gt 0,04$

Damit ergibt sich der folgende Annahmebereich zu:

$A = \{5,...,1000\}$

Annahmebereich des Heidelberger Molekularbiologen berechnen

Wegen $p_1 \gt p_0$ führt der Biologe einen rechtsseitigen Test durch.
Der Annnahmebereich hat also die folgende Form:

$A = \{0,...,k\}$

Es muss gelten:

$P(X\leq k-1) \leq 0,96$

Rechenweg anzeigen

Aus der Tabelle lässt sich ablesen:

$\begin{array}[t]{rll} P(X\geq7) &=& 1- 0,96672& \\[5pt] &=& 0,03328 & \\[5pt] &\lt & 0,04 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} P(X\geq6)&=& 1- 0,91639& \\[5pt] &=& 0,08361 & \\[5pt] &\gt& 0,04 \end{array}$

Damit ergibt sich der Annahmebereich mit:

$A = \{0,...,6\}$

Neues Testverfahren beurteilen

Bei dem Ergebnis von 6 positiven Dopingtests würde die Nullhypothese des französischen Labors angenommen werden. Das Labor würde also weiterhin von einer Wahrscheinlichkeit von $1\,\%$ ausgehen.

Nach dem Test des Molekularbiologen in Heidelberg würde dessen Nullhypothese angenommen werden, da $6$ im Annahmebereich liegt. Er würde sich also in seiner Vermutung ebenfalls bestätigt sehen, dass die Wahrscheinlichkeit immer noch bei $0,3\,\%$ liegt.

Das neue Testverfahren des französischen Labors ist somit nicht aussagekräftig.

2.2

Fehler 1. Art: Die Nullhypothese wird fälschlicherweise abgelehnt.
Fehler 2. Art: Die Nullhypothese wird fälschlicherweise angenommen.

Lösungsweg A: Test des französischen Labors

Fehler 1. Art:

Wenn weniger als 5 positive Dopingtests vorliegen wird die Nullhypothese abgelehnt, obwohl diese womöglich tatsächlich zutrifft. Man geht also davon aus, dass die neue Testmethode nicht besser ist als die alte, obwohl sie es in Wahrheit womöglich doch ist.

Fehler 2. Art:

Wenn mehr als 4 Dopingtests positiv ausfallen, würden die französischen Forscher ihre Hypothese, dass ihr neues Testverfahren besser ist, annehmen, obwohl vielleicht immer noch die alte Trefferquote gilt.

Lösungsweg B: Test des Heidelberger Molekularbiologen

Fehler 1. Art:

Wenn mehr als $6$ positive Dopingtests vorkommen, würde der Molekularbiologe seine Nullhypothese, dass die französischen Forscher nicht Recht haben, ablehnen, obwohl diese vielleicht tatsächlich nicht richtig liegen.

Fehler 2. Art:

Wennweniger als 7 Dopingtests positiv sind, würde der Molekularbiologe fälschlicherweise davon ausgehen, dass die Trefferquote des neuen Testverfahrens nicht besser ist, obwohl sie vielleicht tatsächlich besser wäre.

Fehler 2. Art des französischen Labors berechnen

Es soll angenommen werden, dass die Nullhypothese des Molekularbiologen gilt, also: $p_r = 0,003$

Mit der Tabelle aus dem Material folgt somit:

$\begin{array}[t]{rll} P_{0,003}(X\geq5) &=& 1- P_{0,003}(X\leq4)& \\[5pt] &=& 1-0,81552 & \\[5pt] &=& 0,18448& \\[5pt] &=& 18,448\,\% & \\[5pt] \end{array}$

Der Fehler 2. Art beträgt für das französische Labor folglich ca. $18,448\,\%.$

Fehler 2. Art des Molekularbiologen berechnen

Es soll angenommen werden, dass die Nullhypothese des französischen Labors gilt, also: $p_r = 0,01$

Mit der Tabelle aus dem Material folgt somit:

$\begin{array}[t]{rll} P_{0,01}(X\leq6)&=& 0,1289 &\\[5pt] &=& 12,89 \,\%&\\[5pt] \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art liegt für den Heidelberger Molekularbiologen somit bei ca. $12,89\,\%.$

3.1

Baumdiagramm erstellen

$p \; \mathrel{\widehat{=}} \;$ Wahrscheinlichkeit eines Sportlers, Dopingmittel zu nutzen

Baumdiagramm Doping Test Hessen Mathe Abi

Anteil der gedopten Athleten ermitteln

1093 von 3010 getesteten Athleten haben mit „Ja“ geantwortet.

Es gilt also:

$p \approx 0,423$

Rechenweg anzeigen

Der Anteil an gedopten Athleten beträgt also ca. $42,3\,\%.$

3.2

$A:$ „Der Athlet hat Dopingmittel benutzt.“

$B:$ „Der Athlet antwortet „Ja“.“

Mit der Formel von Bayes gilt also:

$P_B(A) = \dfrac{P_A(B)\cdot P(A)}{P(B)}$

Der Anteil der gedopten Athleten wurde bereits in Aufgabe 3.1 berechnet. Mit $p\approx 0,4$ folgt also auch $P(A)\approx 0,4.$

Wenn ein Spieler, der dopt, mit Ja antwortet, gibt es zwei Möglichkeiten:

Der gedopte Spieler hat eine schwarze Kugel aus der Urne gezogen
Der gedopte Spieler hat eine weiße Kugel aus der Urne gezogen

Es gilt also:

$P_A(B)=\dfrac{2}{9}+\dfrac{3}{9}=\dfrac{5}{9}$

Für die Wahrscheinlichkeit $P(B)$ gilt:

$\begin{array}[t]{rll} P(B)&=&\dfrac{2}{9}\cdot 1 + \dfrac{3}{9}\cdot 0,4 &\quad \scriptsize \\[5pt] &\approx&0,36 \end{array}$

Es ergibt sich also:

$\begin{array}[t]{rll} P_B(A)&=& \dfrac{P_A(B)\cdot P(A)}{P(B)} &\\[5pt] &=& \dfrac{\dfrac{5}{9}\cdot0,4}{0,36}&\\[5pt] &=& 0,617&\\[5pt] &=& 61,7\,\% \end{array}$

Etwa $62\,\%$ der Sportler, die mit „Ja“ antworten, nutzen tatsächlich Dopingmittel.

1.1

Zufallsvariable $X$ definieren

$X$ beschreibt die Anzahl der positiven Dopingtests.

Bedingungen nennen

Die Wahrscheinlichkeit eines positiven Dopingtests ist für jeden befragten Spieler gleich.

Es gibt jeweils nur zwei mögliche Ergebnisse: "Der Test ist positiv" und "Der Test ist negativ".

1.2

$X$ kann als binomialverteilt mit den Parametern $n = 5000$ und $p= 0,003$ angenommen werden. Mit der Formel für die summierte Binomialverteilung lässt sich also schließen:

2.1

Annahmebereich des französischen Labors berechnen

Wegen $p_1 \lt p_0$ führt das Labor einen linksseitigen Test durch.
Also hat der Annahmebereich die folgende Form:

$A = \{k,...,1000\}$

Gesucht ist das kleinste $k$ , für das die Nulhypothese noch angenommen wird. Es muss gelten:

$P(X \leq k) \geq 0,04$

Mit Hilfe der Tabelle im Material folgt:

$P(X\leq4) = 0,0287 \lt 0,04$

$P(X\leq5) = 0,0661 \gt 0,04$

Damit ergibt sich der folgende Annahmebereich zu:

$A = \{5,...,1000\}$

Annahmebereich des Heidelberger Molekularbiologen berechnen

Wegen $p_1 \gt p_0$ führt der Biologe einen rechtsseitigen Test durch.
Der Annnahmebereich hat also die folgende Form:

$A = \{0,...,k\}$

Es muss gelten:

$P(X\leq k-1) \leq 0,96$

Rechenweg anzeigen

Aus der Tabelle lässt sich ablesen:

$\begin{array}[t]{rll} P(X\geq7) &=& 1- 0,96672& \\[5pt] &=& 0,03328 & \\[5pt] &\lt & 0,04 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} P(X\geq6)&=& 1- 0,91639& \\[5pt] &=& 0,08361 & \\[5pt] &\gt& 0,04 \end{array}$

Damit ergibt sich der Annahmebereich mit:

$A = \{0,...,6\}$

Neues Testverfahren beurteilen

Bei dem Ergebnis von 6 positiven Dopingtests würde die Nullhypothese des französischen Labors angenommen werden. Das Labor würde also weiterhin von einer Wahrscheinlichkeit von $1\,\%$ ausgehen.

Das neue Testverfahren des französischen Labors ist somit nicht aussagekräftig.

2.2

Fehler 1. Art: Die Nullhypothese wird fälschlicherweise abgelehnt.
Fehler 2. Art: Die Nullhypothese wird fälschlicherweise angenommen.

Lösungsweg A: Test des französischen Labors

Fehler 1. Art:

Fehler 2. Art:

Lösungsweg B: Test des Heidelberger Molekularbiologen

Fehler 1. Art:

Fehler 2. Art:

Fehler 2. Art des französischen Labors berechnen

Es soll angenommen werden, dass die Nullhypothese des Molekularbiologen gilt, also: $p_r = 0,003$

Mit der Tabelle aus dem Material folgt somit:

$\begin{array}[t]{rll} P_{0,003}(X\geq5) &=& 1- P_{0,003}(X\leq4)& \\[5pt] &=& 1-0,81552 & \\[5pt] &=& 0,18448& \\[5pt] &=& 18,448\,\% & \\[5pt] \end{array}$

Der Fehler 2. Art beträgt für das französische Labor folglich ca. $18,448\,\%.$

Fehler 2. Art des Molekularbiologen berechnen

Es soll angenommen werden, dass die Nullhypothese des französischen Labors gilt, also: $p_r = 0,01$

Mit der Tabelle aus dem Material folgt somit:

$\begin{array}[t]{rll} P_{0,01}(X\leq6)&=& 0,1289 &\\[5pt] &=& 12,89 \,\%&\\[5pt] \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art liegt für den Heidelberger Molekularbiologen somit bei ca. $12,89\,\%.$

3.1

Baumdiagramm erstellen

$p \; \mathrel{\widehat{=}} \;$ Wahrscheinlichkeit eines Sportlers, Dopingmittel zu nutzen

Anteil der gedopten Athleten ermitteln

1093 von 3010 getesteten Athleten haben mit „Ja“ geantwortet.

Es gilt also:

$p \approx 0,423$

Rechenweg anzeigen

Der Anteil an gedopten Athleten beträgt also ca. $42,3\,\%.$

3.2

$A:$ „Der Athlet hat Dopingmittel benutzt.“

$B:$ „Der Athlet antwortet „Ja“.“

Mit der Formel von Bayes gilt also:

$P_B(A) = \dfrac{P_A(B)\cdot P(A)}{P(B)}$

Der Anteil der gedopten Athleten wurde bereits in Aufgabe 3.1 berechnet. Mit $p\approx 0,4$ folgt also auch $P(A)\approx 0,4.$

Wenn ein Spieler, der dopt, mit Ja antwortet, gibt es zwei Möglichkeiten:

Der gedopte Spieler hat eine schwarze Kugel aus der Urne gezogen
Der gedopte Spieler hat eine weiße Kugel aus der Urne gezogen

Es gilt also:

$P_A(B)=\dfrac{2}{9}+\dfrac{3}{9}=\dfrac{5}{9}$

Für die Wahrscheinlichkeit $P(B)$ gilt:

$\begin{array}[t]{rll} P(B)&=&\dfrac{2}{9}\cdot 1 + \dfrac{3}{9}\cdot 0,4 &\quad \scriptsize \\[5pt] &\approx&0,36 \end{array}$

Es ergibt sich also:

$\begin{array}[t]{rll} P_B(A)&=& \dfrac{P_A(B)\cdot P(A)}{P(B)} &\\[5pt] &=& \dfrac{\dfrac{5}{9}\cdot0,4}{0,36}&\\[5pt] &=& 0,617&\\[5pt] &=& 61,7\,\% \end{array}$

Etwa $62\,\%$ der Sportler, die mit „Ja“ antworten, nutzen tatsächlich Dopingmittel.