A - Hilfsmittelfreier Teil

Analysis - Niveau 1

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=\sqrt{9-x^2}.$ Der Graph der Funktion $f$ ist ein Halbkreis.

1.1

Begründe, dass $f$ nur für $x\in[-3;3]$ definiert ist.

(1 BE)

1.2

Der Graph von $f$ rotiert im Intervall $[-3;3]$ um die $x$ -Achse. Berechne das Volumen des Rotationskörpers und beschreibe seine Form.

(4 BE)

Lineare Algebra/Analytische Geometrie - Niveau 1

Gegeben sind die Punkte $A (0\mid 0\mid 0)$ , $B (3\mid a\mid -4)$ , $C (0\mid 2a\mid 0)$ und $D (-3\mid a\mid 4)$ mit $a\neq0.$

2.1

Die Punkte $A, B$ und $C$ liegen in der Ebene $E$ : $4x+3z=0.$ Bestätige, dass auch der Punkt $D$ in $E$ liegt.

(1 BE)

2.2

Zeige, dass es sich bei dem Viereck $ABCD$ um eine Raute handelt.

(2 BE)

2.3

Ermittle diejenigen Werte für $a,$ für welche das Viereck $ABCD$ ein Quadrat ist.

(2 BE)

Stochastik - Niveau 1

In einem Behälter befinden sich $100$ Würfel, von denen $95$ fair und $5$ gezinkt sind, wobei faire und gezinkte Würfel äußerlich nicht zu unterscheiden sind. Bei einem Test wird ein fairer Würfel mit einer Wahrscheinlichkeit von $5\,\%$ als gezinkt eingestuft und ein gezinkter Würfel mit einer Wahrscheinlichkeit von $95\,\%$ als gezinkt eingestuft.

3.1

Zeige, dass ein zufällig herausgegriffener Würfel mit einer Wahrscheinlichkeit von $9,5\,\%$ als gezinkt eingestuft wird.

(3 BE)

3.2

Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig herausgegriffener Würfel, der als gezinkt eingestuft wird, fair ist.

(2 BE)

Lineare Algebra/Analytische Geometrie - Niveau 2

Ein Lieferservice bietet unter anderem die Pizzasorten Pizza Margherita (Preis $x$ ), Pizza Hawaii (Preis $y$ ) und Pizza Speciale (Preis $z$ ) an. Die Preise sind jeweils ganzzahlige Eurobeträge.

Aus zwei Bestellungen lässt sich folgendes Gleichungssystem aufstellen: $\begin{vmatrix}x+3y+2z=39\\2x+2y+z=30\end{vmatrix}$

4.1

Ermittle die Lösungsmenge des Gleichungssystems.
[mögliches Ergebnis: $\mathbb{L}=$ $\{(3+0,25c\mid12-0,75c\mid c)\mid c\in\mathbb{R}\}]$

(3 BE)

4.2

Untersuche, ob sich die Preise der einzelnen Pizzen eindeutig bestimmen lassen, wenn Pizza Speciale am teuersten und Pizza Margherita am günstigsten ist.

(2 BE)

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Analysis - Niveau 1

1.1

Für die reellen Zahlen ist eine Wurzel nur dann definiert, wenn der Radikand größer oder gleich $0$ ist. In diesem Fall muss also gelten:

$\begin{array}[t]{rll} 9 - x^2& \geq& 0& \quad \scriptsize \mid \, +x^2 \\[5pt] 9 & \geq & x^2& \quad \scriptsize \mid \, \sqrt{\;} \\[5pt] \pm 3& \geq& x \end{array}$

Somit kann $f$ nur für $x \in [-3;3]$ definiert sein.

1.2

Der durch $f(x)$ definierte Halbkreis hat einen Radius von $3 \,\text{LE}$ . Rotiert dieser nun um die $x$ -Achse, entsteht eine Kugel um den Ursprung mit dem Radius $3 \,\text{LE}.$ Damit gilt für das Volumen:

$V = \dfrac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3 = \dfrac{4}{3} \cdot \pi \cdot 3^3$ $\approx 113,1 \,\text{[VE]}$

Lineare Algebra / Analytische Geometrie – Niveau 1

2.1

Einsetzen der Koordinaten von $D$ in $E$ ergibt:

$4 \cdot (-3) + 3 \cdot 4 = -12 + 12 = 0$

Somit liegt der Punkt $D$ ebenfalls in der Ebene $E.$

2.2

Ein Viereck ist genau dann eine Raute, wenn alle vier Seiten gleich lang sind:

$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{25 + a^2}$

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{25 + a^2}$

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$|\overrightarrow{CD}|= \sqrt{25 + a^2}$

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$|\overrightarrow{DA}| = \sqrt{25 + a^2}$

Vollständigen Rechenweg anzeigen

Da alle Seiten gleich lang sind, folgt, dass das Viereck eine Raute ist.

2.3

Damit das Viereck $ABCD$ ein Quadrat ist, müssen die benachbarten Seiten senkrecht zueinander sein. Durch die Eigenschaften einer Raute reicht es jedoch, zwei Seiten zu überprüfen.

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{BC}&=0& \quad \scriptsize \\[5pt] \pmatrix{3\\a\\-4} \circ \pmatrix{-3\\a\\4}&=0& \quad \scriptsize \\[5pt] -9 + a^2 - 16& = 0& \quad \scriptsize \\[5pt] a^2 & = 25& \quad \scriptsize \\[5pt] a &= \pm 5& \end{array}$

Somit ist das Viereck $ABCD$ für die Werte $a = \pm 5$ ein Quadrat.

Stochastik – Niveau 1

3.1

Die Wahrscheinlichkeit setzt sich aus den beiden Eregnissen "Ist gezinkt und wird als gezinkt eingestuft" und "Ist nicht gezinkt aber wird als gezinkt eingestuft" zusammen.

$0,05 \cdot 0,95 + 0,95 \cdot 0,05 = 0,095 = 9,5 \,\%$

Damit wird ein gezogener Würfel mit einer Wahrscheinlichkeit von $9,5\,\%$ als gezinkt eingestuft.

3.2

$F:$ Der Würfel ist fair.
$G:$ Der Würfel wird als gezinkt eingestuft.

Gesucht ist die bedingte Wahrscheinlichkeit $P_G(F).$

Mit Teilaufgabe 3.1 gilt:

Rechenweg anzeigen

$P_G(F)=50\,\%$

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig herausgegriffener Würfel, der als gezinkt eingestuft wird, fair ist, beträgt also $50 \%.$

Lineare Algebra/Analytische Geometrie – Niveau 2

4.1

Gleichungssystem anzeigen

Da das Gleichungssystem 3 Variablen aber nur 2 Zeilen beinhaltet, wird die Lösungsmenge anhand einer Unbekannten berechnet.

Für $z=c$ folgt:

$\begin{array}[t]{rll} -4y -3c &=& -48 &\quad \scriptsize \mid\;+3c \\[5pt] -4y &=& -48+3c &\quad \scriptsize \mid\;:(-4) \\[5pt] y&=&\dfrac{-48 + 3c}{-4} \\[5pt] &=& 12 - 0,75c \end{array}$