A1 - Analysis

Die Bestimmung von Enzymaktivitäten in Serum, Plasma oder Harn hat in der medizinischen Diagnostik eine wichtige Bedeutung. Beispielsweise ist bei einem Herzinfarktpatienten die Serum-Enzymaktivität bestimmter Enzyme auch Tage nach dem Infarkt noch erhöht, sodass eine Spätdiagnose über die Messung der Enzymaktivität möglich ist.

Der Verlauf einer bestimmten Enzymaktivitätskurve lässt sich durch den Graphen einer Exponentialfunktion der Schar $f_{a, b, c}$ mit $f_{a, b, c}(t)=a+b\cdot t^2\cdot \mathrm{e}^{c\cdot t}$ ( $a, b \gt 0$ und $c \lt 0$ ) approximieren. Dabei steht $t$ für die Zeit in Tagen seit Beginn einer Erkrankung und $f(t)$ für die Enzymaktivität in Units (Substraktumsatz pro Tag).

1.1

Bestimme die Parameter $a$ , $b$ und $c$ unter Berücksichtigung der folgenden Angaben:

Die Enzymaktivität beträgt zu Beginn 80 Units.

Zum Zeitpunkt $t = 0,8$ ist die Enzymaktivität mit $773$ Units am größten.

(6 BE)

1.2

Beschreibe die Wirkung der drei Parameter $a$ , $b$ und $c$ auf den Verlauf des Graphen von $f$ und zeige rechnerisch, dass der Parameter $b$ keinen Einfluss auf den Zeitpunkt der maximalen Enzymaktivität hat.

(7 BE)

Um einen Herzinfarkt zu diagnostizieren, misst man beispielsweise die Aktivität des Enzyms Creatin-Kinase. Für einen bestimmten Patienten kann die Aktivitätskurve für dieses Enzym für $0 \leq t \leq 5$ durch den Graphen der Exponentialfunktion $f$ mit $f(t)=100+4.600\cdot t^2 \cdot \mathrm{e}^{-2\cdot t}$ angenähert werden, wobei $t$ für die Zeit in Tagen nach dem Infarkt steht und $f(t)$ für die Enzymaktivität in Units. Circa 3 Tage nach einem Herzinfarkt befindet sich die Aktivität dieses Enzyms wieder im Normalbereich.

2.1

Zeige rechnerisch, dass gilt: $f‘‘(t)=9200\cdot \mathrm{e}^{-2\cdot t}\cdot (2t^2-4t+1).$

(6 BE)

2.2

Berechne die Zeitpunkte, zu denen die Aktivitätskurve für das Enzym Creatin-Kinase am stärksten ansteigt bzw. am stärksten fällt, sowie jeweils die zugehörigen Änderungsraten.

Hinweis: Die Überprüfung der notwendigen Bedingung ist ausreichend.

(6 BE)

2.3

Die Ermittlung einer Stammfunktion von $f$ kann durch eine bestimmte Integrationsmethode angedeutet werden:

Methode anzeigen

2.3.1

Gib die Integrationsmethode an und leite durch Vervollständigung der Rechnung eine Stammfunktion $F$ von $f$ her.

(5 BE)

2.3.2

Bestimme das Integral $\dfrac{1}{3}\cdot \displaystyle\int_{0}^{3} f(t) dt$ und deute das Ergebnis im Sachzusammenhang.

(4 BE)

2.4

Die Entscheidung für die Diagnose Herzinfarkt liege bei einer Enzymaktivität des Enzyms Creatin-Kinase von mindestens 192 Units.
Untersuche, in welcher Zeitspanne die Diagnose Herzinfarkt gestellt werden kann.

(6 BE)

1.1

Aus den Angaben in der Aufgabenstellung können folgende Bedingungen abgeleitet werden:

„Die Enzymaktivität beträgt zu Beginn $80$ Units“
$(\text{I}):\;f_{a,b,c}(0)=80$

„Zum Zeitpunkt $t=0,8$ ist die Enzymaktivität mit $773$ Units am größten.“
$(\text{II}):\;f_{a,b,c}(0,8)=773$

„Zum Zeitpunkt $t=0,8$ ist die Enzymaktivität mit $773$ Units am größten.“
$\((\text{III}):\;f$

Das Gleichungssystem aus den Bedingungen $(\text{I}),(\text{II})\;$ und $\; (\text{III})$ kann mit deinem CAS gelöst werden.

Dafür müssen die Funktionen $f$ und $\(f$ abgespeichert werden. Mit folgendem Befehl können anschließend die 3 Bedingungen eingegeben werden:

menu 3: Algebra 7 1: Gleichungssystem lösen...

Mit Enter können die Bedingungen gespeichert werden. Es folgt:

Mathematische Gleichungen und Berechnungen in einer Softwareanwendung. Ergebnisse für Variablen a, b und c.

Die gesuchten Parameter sind somit $a=80$ , $b = 8000,96$ und $c=-2,5.$

Die gesuchte Funktionsgleichung lautet also:

$f_{80;\,8000,96;\,-2,5}(t)=...$

Funktion anzeigen

1.2

Einfluss von $b$ prüfen

Es gilt, die Extremstellen von $f_{a,b,c}$ in Abhängigkeit von den drei Parametern zu bestimmen.

1. Schritt: Ableitungen bestimmen

Mit der Produkt- und Kettenregel folgt:

$\begin{array}{rll} f(t)&=&a+b \cdot t^2\cdot \mathrm{e}^{c\cdot t}\\[5pt] \end{array}$

$\begin{array}{rll} f‘(t)&=&b \cdot \left(2 \cdot t\right) \cdot \mathrm{e}^{c \cdot t} + b \cdot t^2 \cdot \left(c \cdot \mathrm{e}^{c \cdot t}\right) \\[5pt] &=&b \cdot \mathrm{e}^{c \cdot t} \left(2 \cdot t + c\cdot t^2\right)\\[5pt] \end{array}$

2. Schritt: Notwendige Bedingung für Extremstellen prüfen

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt wegen $b\gt0$ , dass $b$ keinen Einfluss darauf hat, ob die Gleichung Null wird.

Als Bedingung für eine Extremstelle $t_0$ ergibt sich also:

$0=\mathrm{e}^{c \cdot t_0} \left(2 \cdot t_0 + c\cdot t_0^2\right)$

Der Parameter $b$ hat also keinen Einfluss auf die Extremstellen und somit auch nicht auf den Zeitpunkt der maximalen Enzymaktivität.

Wirkung der Parameter beschreiben

Parameter $a:$
Aus der ersten Bedingung folgt $f_{a,b,c}(0)=a$ .
Der Parameter $a$ bestimmt also den Schnittpunkt $\left(0 \mid a\right)$ des Graphen der Funktion $f_{a,b,c}$ mit der $y$ -Achse, den sogenannten $y$ -Achsenabschnitt. Der Parameter $a$ hat keinen Einfluss auf den Verlauf des Graphen, er verschiebt ihn lediglich nach oben und nach unten.
Parameter $b:$
Der Parameter $b$ hat Auswirkungen auf die Höhe des Graphen der Funktion $f_{a,b,c}$ . Je größer der Wert $b$ ist, desto größer werden die Funktionswerte von $f_{a,b,c}$ und desto höher verläuft dementsprechend der Graph.
Parameter $c:$
Im vorherigen Aufgabenteil konnte gezeigt werden, dass der Zeitpunkt der maximalen Enzymaktivität abhängig von $c$ ist.
Für eine Extremstelle $t_0$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} 0&=& \mathrm{e}^{c \cdot t_0} \left(2 \cdot t_0 + c\cdot t_0^2\right) \\[5pt] \end{array}$
Diese Bedingung ist nach dem Satz vom Nullprodukt für das Minimum $t_{\text{min}}=0$ und für das Maximum $t_{\text{max}}=-\dfrac{2}{c}$ (Maximalstelle) erfüllt. Somit hängt die Maximalstelle der Funktion $f_{a,b,c}$ vom Parameter $c$ ab. Durch Vergrößern beziehungsweise Verkleinern von $c$ wird der Graph folglich nach links beziehungsweise rechts verschoben.
Dabei hat $c$ auch Auswirkungen auf die Höhe des Graphen, streckt beziehungsweise staucht also den Graphen ähnlich wie $b$ in $y-$ Richtung.

2.1

Mit der Produkt- und Kettenregel können die ersten beiden Ableitungen von $f(t)=100+4600\cdot t^2\cdot \mathrm e^{-2\cdot t}$ bestimmt werden:

$\(\begin{array}{rll} f$

$\( f$

Rechenweg anzeigen

2.2

Die Zeitpunkte des stärksten Anstiegs beziehungsweise der stärksten Abnahme beschreiben die Wendestellen der Funktion $f$ und somit den Extrempunkten der ersten Ableitung $\(f$

1. Schritt: Notwendige Bedingung für Wendestellen anwenden

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Die Gleichung kann wie folgt mit dem CAS gelöst werden:

menu 3: Algebra 7 1: Gleichungssystem lösen...

Es ergibt sich somit:

Mathematische Gleichung in einem Software-Interface zur Lösung einer Funktion. Ergebnisse für t sind angegeben.

Die Extremstellen sind folglich gegeben durch ${t_1 \approx 0,29}$ und ${t_2 \approx 1,71}.$

2. Schritt: Änderungsraten bestimmen

Die gesuchten Änderungsraten entsprechen den Steigungen an den Stellen $t_1$ und $t_2.$

Durch Einsetzen in $\(f$ folgt also:

$\( t_1: \; f$

Rechenweg anzeigen

$\( t_2: \; f$

Rechenweg anzeigen

3. Schritt: Randwerte überprüfen

$\(\begin{array}[t]{rll} t=0: \; \; f$

$\(\begin{array}[t]{rll} t=5: \; \; f$

Damit befinden sich am Rand keine Wendestellen.

Die Aktivitätskurve steigt zum Zeitpunkt $t_1$ mit einer Änderungsrate von $1.060,67$ und folglich am stärksten. Zum Zeitpunkt $t_2$ fällt die Aktivitätskurve mit einer Änderungsrate von $-365,39$ am stärksten.

2.3

2.3.1

Integrationsmethode angeben

Die Integralgleichung im Material 2 ist von der Form

Gleichung anzeigen

mit $u(t)=4600 \cdot t^2$ und $v(t)=\left( -\dfrac{1}{2}\right) \cdot \mathrm{e}^{-2t}.$

Bei der Integration in Material 2 handelt es sich folglich um die Methode der partiellen Integration.

Stammfunktion herleiten

1. Schritt: Integral berechnen

$\displaystyle\int_{}^{}4600 \cdot t \cdot \mathrm{e}^{-2 \cdot t} \mathrm dt = ...$

Rechenweg anzeigen

2. Schritt: Ergebnis einsetzen

Rechenweg anzeigen

$\displaystyle\int_{}^{}f(t)\;\mathrm dt=...$

Für $c=0$ folgt also eine Stammfunktion $F$ von $f$ mit:

$F(t)=100t - 1150 \cdot \mathrm{e}^{-2t} \cdot \left(2t^2+2t+1\right)$

2.3.2

Integral bestimmen

Das Integral kann mit deinem CAS berechnet werden.

Nach Abspeichern der Funktion $f$ kann mit folgendem Befehl das Integral bestimmt werden:

menu 4: Analysis 3: Integral

Durch Eingeben der entsprechenden Integralsgrenzen und des Vorfaktors $\dfrac{1}{3}$ folgt:

Mathematische Gleichung mit Integral und Berechnung, dargestellt auf einem Bildschirm.

Es ergibt sich also:

$\dfrac{1}{3} \displaystyle\int_{0}^{3} f(t) \;\mathrm dt \approx 459,58$

Ergebnis deuten

Nach Aufgabenstellung beschreibt die Funktion $f$ die Enzymaktivität in Units. Dabei steht $t$ für die Tage, die seit dem Infarkt vergangen sind. Das Integral $\displaystyle\int_{0}^{3} f(t) \mathrm dt$ beschreibt damit die gesamte Menge an Enzymaktivität in Units, die 3 Tage nach dem Infarkt insgesamt ausgeschüttet wurde.

Teilt man dies durch 3, so erhält man die durschnittliche Enzymaktivität der ersten 3 Tage in Units pro Tag.

Also lag die durchschnittliche Enzymaktivität während der ersten drei Tage nach dem Infarkt bei 459,58 Units pro Tag.

2.4

1. Schritt: Intervallgrenzen berechnen

Für die Grenzen des Intervalls, welches die gesuchte Zeitspanne beschreibt, muss $f(t)=192$ gelten, wobei $0\leq t \leq 5$ .

Nach Abspeichern der Funktion $f$ können mit dem CAS die beiden Schnittpunkte berechnet werden:

Mathematische Gleichung zur Lösung einer Funktion im Zeitbereich.

Die Intervallgrenzen sind somit gegeben durch ${t_1 \approx 0,17}$ und ${t_2\approx 3,08}.$

2. Schritt: Intervall prüfen

Für die Werte innerhalb des Intervalls muss $f(t) \gt 192 \;$ gelten, sodass die Diagnose Herzinfarkt gestellt werden kann.

Da die Funktion stetig ist, reicht es, jeweils einen Funktionswert eines Zeitpunkts vor $t_1$ , also $\tilde{t}_1 \in \left[0; t_1\right]$ , zwischen $t_1$ und $t_2$ , also $\tilde{t}_2 \in \left[t_1; t_2\right]$ , und nach $t_2$ , also $\tilde{t}_3 \in \left[t_2; 5\right]$ zu prüfen.

Es können beispielsweise folgende Werte gewählt werden: $\tilde{t}_1=0$ , $\tilde{t}_2=1$ und $\tilde{t}_3=4$ .

Mit dem CAS ergibt sich nun:

Mathematische Berechnungen und Lösungen in einer Software-Anwendung. Ergebnisse für t und A(t) angezeigt.

Es gilt also $\;f(0)\leq192, \; f(1)\geq192 \;$ und $\; (4)\leq192.$

Die Ungleichung ist folglich zwischen den beiden Schnittstellen erfüllt.

Im Intervall $\left[0,17;\, 3,08\right]$ ist die Enzymaktivität folglich größer oder gleich $192$ und es kann die Diagnose Herzinfarkt gestellt werden.

1.1

Aus den Angaben in der Aufgabenstellung können folgende Bedingungen abgeleitet werden:

„Die Enzymaktivität beträgt zu Beginn $80$ Units“
$(\text{I}):\;f_{a,b,c}(0)=80$

„Zum Zeitpunkt $t=0,8$ ist die Enzymaktivität mit $773$ Units am größten.“
$(\text{II}):\;f_{a,b,c}(0,8)=773$

„Zum Zeitpunkt $t=0,8$ ist die Enzymaktivität mit $773$ Units am größten.“
$\((\text{III}):\;f$

Das Gleichungssystem aus den Bedingungen $(\text{I}),(\text{II})\;$ und $\; (\text{III})$ kann mit deinem CAS gelöst werden.

Dafür müssen die Funktionen $f$ und $\(f$ abgespeichert werden. Mit folgendem Befehl können anschließend die 3 Bedingungen eingegeben werden:

Keyboard

Mit EXE können die Bedingungen bestätigt werden. Es folgt:

Mathematische Gleichungen und Funktionen in einem Software-Interface dargestellt.

Die gesuchten Parameter sind somit $a=80$ , $b \approx 8000,96$ und $c=-2,5.$

Die gesuchte Funktionsgleichung lautet also:

$f_{80;\,8000,96;\,-2,5}(t)=...$

Funktion anzeigen

1.2

Einfluss von $b$ prüfen

Es gilt, die Extremstellen von $f_{a,b,c}$ in Abhängigkeit von den drei Parametern zu bestimmen.

1. Schritt: Ableitungen bestimmen

Mit der Produkt- und Kettenregel folgt:

$\begin{array}{rll} f(t)&=&a+b \cdot t^2\cdot \mathrm{e}^{c\cdot t}\\[5pt] \end{array}$

2. Schritt: Notwendige Bedingung für Extremstellen prüfen

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt wegen $b\gt0$ , dass $b$ keinen Einfluss darauf hat, ob die Gleichung Null wird.

Als Bedingung für eine Extremstelle $t_0$ ergibt sich also:

$0=\mathrm{e}^{c \cdot t_0} \left(2 \cdot t_0 + c\cdot t_0^2\right)$

Der Parameter $b$ hat also keinen Einfluss auf die Extremstellen und somit auch nicht auf den Zeitpunkt der maximalen Enzymaktivität.

Wirkung der Parameter beschreiben

Parameter $a:$
Aus der ersten Bedingung folgt $f_{a,b,c}(0)=a$ .
Der Parameter $a$ bestimmt also den Schnittpunkt $\left(0 \mid a\right)$ des Graphen der Funktion $f_{a,b,c}$ mit der $y$ -Achse, den sogenannten $y$ -Achsenabschnitt. Der Parameter $a$ hat keinen Einfluss auf den Verlauf des Graphen, er verschiebt ihn lediglich nach oben und nach unten.
Parameter $b:$
Der Parameter $b$ hat Auswirkungen auf die Höhe des Graphen der Funktion $f_{a,b,c}$ . Je größer der Wert $b$ ist, desto größer werden die Funktionswerte von $f_{a,b,c}$ und desto höher verläuft dementsprechend der Graph.
Parameter $c:$
Im vorherigen Aufgabenteil konnte gezeigt werden, dass der Zeitpunkt der maximalen Enzymaktivität abhängig von $c$ ist.
Für eine Extremstelle $t_0$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} 0&=& \mathrm{e}^{c \cdot t_0} \left(2 \cdot t_0 + c\cdot t_0^2\right) \\[5pt] \end{array}$
Diese Bedingung ist nach dem Satz vom Nullprodukt für das Minimum $t_{\text{min}}=0$ und für das Maximum $t_{\text{max}}=-\dfrac{2}{c}$ (Maximalstelle) erfüllt. Somit hängt die Maximalstelle der Funktion $f_{a,b,c}$ vom Parameter $c$ ab. Durch Vergrößern beziehungsweise Verkleinern von $c$ wird der Graph folglich nach links beziehungsweise rechts verschoben.
Dabei hat $c$ auch Auswirkungen auf die Höhe des Graphen, streckt beziehungsweise staucht also den Graphen ähnlich wie $b$ in $y-$ Richtung.

2.1

Mit der Produkt- und Kettenregel können die ersten beiden Ableitungen von $f(t)=100+4600\cdot t^2\cdot \mathrm e^{-2\cdot t}$ bestimmt werden:

$\(\begin{array}{rll} f$

$\( f$

Rechenweg anzeigen

2.2

Die Zeitpunkte des stärksten Anstiegs beziehungsweise der stärksten Abnahme beschreiben die Wendestellen der Funktion $f$ und somit den Extrempunkten der ersten Ableitung $\(f$

1. Schritt: Notwendige Bedingung für Wendestellen anwenden

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Die Gleichung kann wie folgt mit dem CAS gelöst werden:

Interaktiv Weiterführend solve

Es ergibt sich somit:

Mathematische Gleichungen und Lösungen in einem Programmierfenster.

Die Extremstellen sind folglich gegeben durch ${t_1 \approx 0,29}$ und ${t_2 \approx 1,71}.$

2. Schritt: Änderungsraten bestimmen

Die gesuchten Änderungsraten entsprechen den Steigungen an den Stellen $t_1$ und $t_2.$

Durch Einsetzen in $\(f$ folgt also:

$\( t_1: \; f$

Rechenweg anzeigen

$\( t_2: \; f$

Rechenweg anzeigen

3. Schritt: Randwerte überprüfen

$\(\begin{array}[t]{rll} t=0: \; \; f$

$\(\begin{array}[t]{rll} t=5: \; \; f$

Damit befinden sich am Rand keine Wendestellen.

2.3

2.3.1

Integrationsmethode angeben

Die Integralgleichung im Material 2 ist von der Form

Gleichung anzeigen

mit $u(t)=4600 \cdot t^2$ und $v(t)=\left( -\dfrac{1}{2}\right) \cdot \mathrm{e}^{-2t}.$

Bei der Integration in Material 2 handelt es sich folglich um die Methode der partiellen Integration.

Stammfunktion herleiten

1. Schritt: Integral berechnen

$\displaystyle\int_{}^{}4600 \cdot t \cdot \mathrm{e}^{-2 \cdot t} \mathrm dt = ...$

Rechenweg anzeigen

2. Schritt: Ergebnis einsetzen

Rechenweg anzeigen

$\displaystyle\int_{}^{}f(t)\;\mathrm dt=...$

Für $c=0$ folgt also eine Stammfunktion $F$ von $f$ mit:

$F(t)=100t - 1150 \cdot \mathrm{e}^{-2t} \cdot \left(2t^2+2t+1\right)$

2.3.2

Integral bestimmen

Das Integral kann mit deinem CAS durch folgenden Befehl berechnet werden:

Interaktiv Berechnungen

Durch Eingeben der Funktion $f,\;$ der entsprechenden Integralgrenzen und des Vorfaktors $\dfrac{1}{3}$ folgt:

Mathematische Gleichung und Berechnung in einer Programmierschnittstelle.

Es ergibt sich also:

$\dfrac{1}{3} \displaystyle\int_{0}^{3} f(t) \;\mathrm dt \approx 459,58$

Ergebnis deuten

Teilt man dies durch 3, so erhält man die durschnittliche Enzymaktivität der ersten 3 Tage in Units pro Tag.

Also lag die durchschnittliche Enzymaktivität während der ersten drei Tage nach dem Infarkt bei 459,58 Units pro Tag.

2.4

1. Schritt: Intervallgrenzen berechnen

Für die Grenzen des Intervalls, welches die gesuchte Zeitspanne beschreibt, muss $f(t)=192$ gelten, wobei $0\leq t \leq 5$ .

Nach Abspeichern der Funktion $f$ können mit dem CAS die beiden Schnittpunkte berechnet werden:

Mathematische Gleichung und Lösung für die Variable t.

Die Intervallgrenzen sind somit gegeben durch ${t_1 \approx 0,17}$ und ${t_2\approx 3,08}.$

2. Schritt: Intervall prüfen

Für die Werte innerhalb des Intervalls muss $f(t) \gt 192 \;$ gelten, sodass die Diagnose Herzinfarkt gestellt werden kann.

Es können beispielsweise folgende Werte gewählt werden: $\tilde{t}_1=0$ , $\tilde{t}_2=1$ und $\tilde{t}_3=4$ .

Mit dem CAS ergibt sich nun:

Mathematische Gleichung und Lösung in einer grafischen Benutzeroberfläche dargestellt.

Es gilt also $\;f(0)\leq192, \; f(1)\geq192 \;$ und $\; (4)\leq192.$

Die Ungleichung ist folglich zwischen den beiden Schnittstellen erfüllt.

Im Intervall $\left[0,17;\, 3,08\right]$ ist die Enzymaktivität folglich größer oder gleich $192$ und es kann die Diagnose Herzinfarkt gestellt werden.