C - Stochastik

Fluggesellschaften nehmen mehr Buchungen an als Sitzplätze in einem Flugzeug vorhanden sind, weil nicht alle Buchungen in Anspruch genommen werden.
Die fiktive Fluggesellschaft AER setzt auf der Strecke Frankfurt - London nur ein Flugzeug mit genau $80$ Sitzplätzen ein. Für jeden Flug dieser Strecke werden $92$ Buchungen angenommen.
Durchschnittlich erscheinen zu einem Flug $84\,\%$ der Personen, die diesen Flug gebucht haben. Im Folgenden wird diese relative Häufigkeit als Wahrscheinlichkeit angesehen. Außerdem soll davon ausgegangen werden, dass die Personen unabhängig voneinander jeweils mit der gleichen Wahrscheinlichkeit zu einem Flug erscheinen.

1.1

Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass zu einem Flugzeug mit $92$ Buchungen genau $83$ Personen erscheinen und zeige, dass die Wahrscheinlichkeit, dass zu diesem Flug höchstens $80$ Personen erscheinen, $81,89\,\%$ beträgt.

(4 BE)

1.2

In einer Woche fliegt AER achtmal die Strecke Frankfurt - London.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit, mit der mindestens zu einem dieser acht Flüge mehr Personen zum Flug erscheinen als das Flugzeug Sitzplätze besitzt.

(4 BE)

1.3

Berechne, wie viele Flüge von AER auf der Strecke Frankfurt - London mindestens beobachtet werden müssen, damit unter diesen mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95\,\%$ mindestens ein Flug ist, zu dem mehr Personen erscheinen als das Flugzeug Sitzplätze besitzt.

(4 BE)

Für die Bestimmung der Wahrscheinlichkeit, dass genau $75$ Personen zu einem Flug erscheinen, wurden in einer Klausur die folgenden Lösungen von Schülern angeboten.

$\blacktriangleright$ Lösung A:

$P(X=75) = \binom{92}{75}\cdot 0,84^{75}\cdot 0,16^{17} \approx 0,0871$

$\blacktriangleright$ Lösung B:

$\begin{array}[t]{rll} z&\approx& \dfrac{75-77,28 + 0,5}{\sqrt{\frac{7.728}{625}}} &\approx& -0,51 & \quad \Phi(-0,51)\approx 0,3050 \\[10pt] z&\approx& \dfrac{74-77,28 + 0,5}{\sqrt{\frac{7.728}{625}}} &\approx& -0,79 & \quad \Phi(-0,79)\approx 0,2148 \\[5pt] \end{array}$

$P(X=75)\approx 0,3050 - 0,2148 = 0,0902$

Erkläre die beiden vorgelegten Lösungen für die Bestimmung der gesuchten Wahrscheinlichkeit. Gehe dabei auch auf die Voraussetzungen für die Verwendung des jeweiligen Ansatzes ein.

(5 BE)

Die Flüge von AER waren in den letzten Jahren zu $80\,\%$ pünktlich. Im Folgenden wird diese relative Häufikeit für alle Flüge als Wahrscheinlichkeit angesehen. Weiterhin soll davon ausgegangen werden, dass Verspätungen unabhängig voneinander jeweils mit gleicher Wahrscheinlichkeit erfolgen.
Das Unternehmen befürchtet, dass die Pünktlichkeit gesunken ist. Um zu testen, ob dies der Fall ist, werden die nächsten $1000$ Flüge überprüft. Entwickle einen geeigneten Hypothesentest auf einem Signifikanzniveau von $5\,\%$ und gib die Entscheidungsregel im Sachzusammenhang an.
Beschreibe den Fehler 2. Art im Sachzusammenhang.

(7 BE)

Die Flugzeit eines Fluges von AER von Frankfurt nach London beträgt im Mittel $\mu = 105\,\text{Minuten}.$ Es ist bekannt, dass $10\,\%$ dieser Flüge sogar mehr als $110\,\text{Minuten}$ dauerten.
Die Zufallsgröße $X$ sei normalverteilt und beschreibe die Flugzeit eines Fluges von AER von Frankfurt nach London.

4.1

Zeige, dass die Standardabweichung $\sigma$ der Zufallsgröße $X$ auf zwei Nachkommastellen gerundet $3,90$ beträgt.

(3 BE)

4.2

Gib die sogenannte $\sigma$ -Umgebung des Erwartungswertes der Zufallsgröße $X,$ d.h. das Intervall $[\mu-\sigma; \mu+\sigma],$ an.
Es gilt: $P(\mu-\sigma \leq X \leq \mu+\sigma) \approx 0,68$
Beschreibe die Bedeutung des Wertes $0,68$ im Sachzusammenhang.

(3 BE)

Binomialsummenfunktion $\boldsymbol{F_{n;p}(k) = \displaystyle\sum\limits_{i=0}^k \binom{n}{i}\cdot p^{i}\cdot (1-p)^{n-i}}$ für $\boldsymbol{n=1000}$

$p=$	$0,75$	$0,80$	$\frac{5}{6}$
$k=$
$775$	$0,9698$	$0,0277$	$0,0000$
$776$	$0,9746$	$0,0329$	$0,0000$
$777$	$0,9787$	$0,0390$	$0,0000$
$778$	$0,9823$	$0,0459$	$0,0000$
$779$	$0,9853$	$0,0539$	$0,0000$
$780$	$0,9879$	$0,0628$	$0,0000$
$781$	$0,9901$	$0,0730$	$0,0000$
$782$	$0,9919$	$0,0843$	$0,0000$
$783$	$0,9934$	$0,0969$	$0,0000$
$784$	$0,9947$	$0,1109$	$0,0000$
$785$	$0,9957$	$0,1263$	$0,0000$
$...$	$...$	$...$	$...$
$815$	$1,000$	$0,8906$	$0,0666$
$816$	$1,000$	$0,9050$	$0,0779$
$817$	$1,000$	$0,9179$	$0,0907$
$818$	$1,000$	$0,9295$	$0,1050$
$819$	$1,000$	$0,9398$	$0,1209$
$820$	$1,000$	$0,9489$	$0,1384$
$821$	$1,000$	$0,9569$	$0,1577$
$822$	$1,000$	$0,9638$	$0,1786$
$823$	$1,000$	$0,9698$	$0,2012$
$824$	$1,000$	$0,9750$	$0,2255$

Die Werte $1,0000$ und $0,0000$ bedeuten: Die angegebenen Wahrscheinlichkeiten sind auf vier Stellen gerundet $1,0000$ bzw. $0,0000.$

1.1

Betrachtet wird die Zufallsgröße $X$ , die die Anzahl der Personen beschreibt, welche tatsächlich zum Flug erscheinen. Insgesamt kann $X$ als binomialverteilt mit den Parametern $n=92$ und $p = 84\,\%=0,84$ angesehen werden.

Rechnung oder Verwendung des binomPDf-Befehl im CAS liefert:

$\begin{array}[t]{rll} &P(X=83)\\[5pt] =& \binom{92}{83}\cdot 0,84^{83}\cdot 0,16^{9}\\[5pt] \approx& 0,0310 \\[5pt] =& 3,1\,\% \end{array}$

Screenshot eines Dokumentes mit einer Berechnung der Binomialverteilung.

binomPDf(n,p,k)

Erneut durch Rechnung oder dieses Mal mit Hilfe des binomCDf-Befehls folgt:

$\begin{array}[t]{rll} &P(X\leq 80)\\[5pt] \approx& 0,8189 \\[5pt] =& 81,89\,\% \\[5pt] \end{array}$

Screenshot einer Softwareanwendung mit Berechnungen zu binomialen Wahrscheinlichkeiten.

binomCDf(n,p,k)

1.2

Eine neue Zufallsgröße $Y,$ beschreibt die die Anzahl der Flüge in einer Woche, bei denen mehr Personen erscheinen, als das Flugzeug Sitzplätze hat. $Y$ ist auch binomialverteilt, hier mit $n=8$ und $p = 1 - 0,8189 = 0,1811.$ Entweder mit Hilfe des Gegenereignisses und der Formel für die Binomialverteilung, oder dem binomCDf-Befehl des CAS folgt:

Rechenweg anzeigen

$P(Y\geq 1) \approx 79,78\,\%$

Screenshot eines Dokuments mit Berechnungen zu binomialen Verteilungen.

binomCDf(n, p, untere Grenze, obere Grenze)

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $79,78\,\%$ erscheinen zu mindestens einem der acht Flüge mehr Personen als das Flugzeug Sitzplätze besitzt.

1.3

Mindestanzahl der Flüge berechnen

Mit Hilfe des solve-Befehls des CAS folgt:

Rechenweg anzeigen

$n \geq 15$

Da $\ln(0,8189)\lt0$ gilt, ergibt sich: $n \geq \frac{\ln(0,05)}{\ln(0,8189)} \approx 14,99.$

Screenshot einer mathematischen Berechnung mit Funktionen zur Binomialverteilung und einer Gleichung.

Lösen mit dem CAS

Es müssen somit mindestens $15$ Flüge beobachtet werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95\,\%$ mindestens ein Flug dabei ist, bei dem mehr Personen erscheinen als Sitzplätze vorhanden sind.

Lösungsweg A: Binomialverteilung

Hier wird die Formel für die Binomialverteilung verwendet. Diese kann verwendet werden, da die Personen laut Aufgabenstellung unabhängig voneinander zum Flug erscheinen. Bei jeder Person ist die Wahrscheinlichkeit gleich, dass sie zu ihrem gebuchten Flug erscheint somit gleich.

Lösungsweg B: DeMoivre-Laplace

Hier wird die Binomialverteilung durch die Standardnormalverteilung approximiert. Umschreiben von $P(X = 75)$ als

$P(X=75)$ $= P(X\leq 75)$ $-P(X\leq 74)$

und näherungsweise Berechnung der beiden Wahrscheinlichkeiten $P(X\leq 75)$ und $P(X\leq 74)$ mit Hilfe der Normalverteilung durch Anwendung der Regel von DeMoivre-Laplace.
Die notwendige Standardisierung der Zufallsgröße $X$ geschieht durch das Subtrahieren des Erwartungswerts $\mu = 77,28$ und das Dividieren durch die Standardabweichung $\sigma = \sqrt{\frac{7728}{625}}.$
Der Summand $+0,5$ führt eine Stetigkeitskorrektur durch.
Diese Methode kann nur dann angewendet werden, wenn die Laplace-Bedingung $\sigma \gt 3$ erfüllt ist. Dies ist hier der Fall, da $\sqrt{\frac{7728}{625}}\approx 3,5 \gt 3$ gilt.

1. Schritt: Art des Testes bestimmen

Mit dem Hypothesentest soll überprüft werden, ob die Wahrscheinlichkeit $p$ für einen pünktlichen Flug immernoch mindestens $80\,\%$ beträgt oder gesunken ist. Die Fluggesellschaft geht dabei erstmal von einer unveränderten Wahrscheinlichkeit aus. Es folgt:

Nullhypothese: $H_0:\; p \geq 0,8\quad$ Gegenhypothese: $H_1:\; p \lt 0,8$

2. Schritt: Zufallsgröße einführen

Die neue Zufallsgröße $Y$ beschreibt die Anzahl der pünktlichen Flüge. $Y$ kann als binomialverteilt mit den Parametern $n =1000$ und $p = 0,80$ angenommen werden.

3. Schritt: Gleichung aufstellen

Durch Beachten des Signifikanzniveaus wird betrachtet:

$P(Y \leq k) \leq 0,05$

Bestimmung von $k$ mit Hilfe der Tabelle auf dem Aufgabenblatt liefert:

$\begin{array}[t]{rll} P(Y\leq k)&\leq& 0,05 \\[5pt] P(Y \leq 778)&\approx& 0,0459\\[5pt] P(Y \leq 779)&\approx& 0,0539 \\[5pt] k &\leq& 778 \end{array}$

4. Schritt: Entscheidungsregel formulieren

Wenn höchstens $778$ pünktliche Flüge beobachtet werden, wird die Nullhypothese $p \geq 0,80$ abgelehnt und die Vermutung, dass die Pünktlichkeit gesunken ist, bestätigt. Andernfalls wird die Nullhypothese nicht abgelehnt und es kann nicht von einer verringerten Pünktlichkeit ausgegangen werden.

5. Schritt: Fehler 2. Art im Sachzusammenhang beschreiben

Der Fehler 2. Art bedeutet die Nullhypothese fälschlicherweise zu bestätigen. In diesem Fall wird dieser begangen, wenn mehr als $778$ pünktliche Flüge beobachtet werden, obwohl die Pünktlichkeit in Wahrheit doch gesunken ist, da die Fluggesellschaft dann fälschlicherweise davon ausgeht, dass die Pünktlichkeit nicht gesunken ist.

4.1

Standardabweichung nachweisen

Es gilt $P(X \leq k)$ $\approx \Phi \left(\dfrac{k-\mu}{\sigma}\right).$

Dabei ist $\Phi$ die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung. Somit folgt:

Rechenweg anzeigen

$\Phi\left(\dfrac{5}{\sigma}\right)=0,9$

Die Tabelle zur Normalverteilung, oder der invNorm-Befehl des CAS, liefern:

$\Phi(1,2816)\approx 0,9$
bzw. $\Phi^{-1}(0,9)\approx 1,2816$

Durch Einsetzen folgt weiter:

Rechenweg anzeigen

$\sigma \approx 3,90$

Screenshot eines mathematischen Dokuments mit Berechnungen und Formeln.

Berechnung mit dem CAS

Die Standardabweichung von $X$ beträgt somit $\sigma \approx 3,90$ .

4.2

Sigma-Umgebung angeben

Einsetzen von $\mu=105$ und $\sigma=3,90$ liefert für die $\sigma$ -Umgebung:

Rechenweg anzeigen

$[101,10;108,90]$

Bedeutung des Werts im Sachzusammenhang beschreiben

$P(\mu -\sigma \leq X\leq \mu+\sigma)$
$\approx 0,68$

$P(101,10 \leq X \leq 108,90)$
$\approx 0,68$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $68\,\%$ beträgt die Flugzeit eines solchen Fluges somit zwischen etwas mehr als $101$ und etwas weniger als $109$ Minuten.

1.1

Rechnung oder Verwendung des binomialPDf-Befehl im CAS liefert:

$\begin{array}[t]{rll} &P(X=83)\\[5pt] =& \binom{92}{83}\cdot 0,84^{83}\cdot 0,16^{9}\\[5pt] \approx& 0,0310 \\[5pt] =& 3,1\,\% \end{array}$

Berechnung einer binomialen Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion mit bestimmten Werten.

binomialPDf(k,n,p)

Wahrscheinlichkeit nachweisen

Erneut durch Rechnung oder dieses Mal mit Hilfe des binomialCDf-Befehls folgt:

$\begin{array}[t]{rll} &P(X\leq 80)\\[5pt] \approx& 0,8189 \\[5pt] =& 81,89\,\% \\[5pt] \end{array}$

Screenshot einer mathematischen Software mit Berechnungen zu binomialen Verteilungen.

binomialCDf(k,n,p)

1.2

Rechenweg anzeigen

$P(Y\geq 1) \approx 79,78\,\%$

Mathematische Berechnungen mit binomialPDF und binomialCDF in einer Software.

binomialCDf(untere Grenze, obere Grenze,n,p)

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $79,78\,\%$ erscheinen zu mindestens einem der acht Flüge mehr Personen als das Flugzeug Sitzplätze besitzt.

1.3

Mit Hilfe des solve-Befehls des CAS folgt:

Rechenweg anzeigen

$n \geq 15$

Da $\ln(0,8189)\lt0$ gilt, ergibt sich: $n \geq \frac{\ln(0,05)}{\ln(0,8189)} \approx 14,99.$

Mathematische Berechnungen und Funktionen auf einem Bildschirm, einschließlich binomialer Verteilungen und Gleichungen.

Lösen mit dem CAS

Lösungsweg A: Binomialverteilung

Lösungsweg B: DeMoivre-Laplace

Hier wird die Binomialverteilung durch die Standardnormalverteilung approximiert. Umschreiben von $P(X = 75)$ als

$P(X=75)$ $= P(X\leq 75)$ $-P(X\leq 74)$

1. Schritt: Art des Testes bestimmen

Nullhypothese: $H_0:\; p \geq 0,8\quad$ Gegenhypothese: $H_1:\; p \lt 0,8$

2. Schritt: Zufallsgröße einführen

Die neue Zufallsgröße $Y$ beschreibt die Anzahl der pünktlichen Flüge. $Y$ kann als binomialverteilt mit den Parametern $n =1000$ und $p = 0,80$ angenommen werden.

3. Schritt: Gleichung aufstellen

Durch Beachten des Signifikanzniveaus wird betrachtet:

$P(Y \leq k) \leq 0,05$

Bestimmung von $k$ mit Hilfe der Tabelle auf dem Aufgabenblatt liefert:

$\begin{array}[t]{rll} P(Y\leq k)&\leq& 0,05 \\[5pt] P(Y \leq 778)&\approx& 0,0459\\[5pt] P(Y \leq 779)&\approx& 0,0539 \\[5pt] k &\leq& 778 \end{array}$

4. Schritt: Entscheidungsregel formulieren

5. Schritt: Fehler 2. Art im Sachzusammenhang beschreiben

4.1

Standardabweichung nachweisen

Es gilt $P(X \leq k)$ $\approx \Phi \left(\dfrac{k-\mu}{\sigma}\right).$

Dabei ist $\Phi$ die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung. Somit folgt:

Rechenweg anzeigen

$\Phi\left(\dfrac{5}{\sigma}\right)=0,9$

Die Tabelle zur Normalverteilung, oder der invNorm-Befehl des CAS, liefern:

$\Phi(1,2816)\approx 0,9$
bzw. $\Phi^{-1}(0,9)\approx 1,2816$

Durch Einsetzen folgt weiter:

Rechenweg anzeigen

$\sigma \approx 3,90$

Screenshot einer mathematischen Software mit Berechnungen zu Wahrscheinlichkeiten und Funktionen.

Berechnung mit dem CAS

Die Standardabweichung von $X$ beträgt somit $\sigma \approx 3,90$ .

4.2

Sigma-Umgebung angeben

Einsetzen von $\mu=105$ und $\sigma=3,90$ liefert für die $\sigma$ -Umgebung:

Rechenweg anzeigen

$[101,10;108,90]$

Bedeutung des Werts im Sachzusammenhang beschreiben

$P(\mu -\sigma \leq X\leq \mu+\sigma)$
$\approx 0,68$

$P(101,10 \leq X \leq 108,90)$
$\approx 0,68$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $68\,\%$ beträgt die Flugzeit eines solchen Fluges somit zwischen etwas mehr als $101$ und etwas weniger als $109$ Minuten.