A1 - Analysis
Der Bitterfelder Bogen ist eine 
hohe begehbare architektonische Stahlskulptur, die als das neue Wahrzeichen im ehemaligen Bitterfeld-Wolfener Chemie- und Braunkohlerevier bezeichnet werden kann. Er besteht aus drei Bögen, die leicht zueinander geneigt sind (Abbildung 1).
Zur Vereinfachung kann angenommen werden, dass diese drei Bögen in Ebenen liegen, die zum Boden senkrecht und somit parallel zueinander sind. Weitere Maße können Abbildung 2 entnommen werden.
 (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1).png)
Abbildung 1
Quelle: http://www.bitterfelder-bogen.de
Abbildung 2
Quelle: http://www.bitterfelder-bogen.de
1.1
Im Prospekt wird beschrieben, dass in die beiden Zwischenräume eine 
Steigung aufweisende Rampenanlage eingehängt ist.
Fußwege führen in langgestrecktem Zick-Zack-Kurs in die Höhe. Alle Wege sind stufenlos und von metallenen Geländern gesichert. Jede Biegung des insgesamt ca. 
langen Wanderweges hat eine kleine Plattform.
Bestimme den Höhenunterschied, den ein langer geradliniger Wanderweg bei einem Steigungungswinkel von überwindet.
Beurteile anhand des Ergebnisses und des einleitenden Textes die Angaben im Prospekt.
(4 BE)
1.2
Für Rollstuhlfahrer darf die Steigung höchstens 
betragen.
Berechne die Steigung in 
bei einem Steigungswinkel von und entscheide, ob ein solcher Wanderweg für Rollstuhlfahrer geeignet ist.
Im Folgenden soll der äußere Rand eines Bogens modelliert werden.
(3 BE)
2
In einem ersten Versuch werden quadratische Funktionen für diese Modellierung verwendet.
2.1
Bestimme den Funktionsterm einer quadratischen Funktion, die den äußeren Rand eines Bogens beschreibt, mit Hilfe der Informationen aus dem einleitenden Text und aus Abbildung 2.
(6 BE)
2.2
In Abbildung 1 ist zu erkennen, dass der Bogen an der höchsten Stelle einen Knick hat.
Erkläre, welche Konsequenzen dies für die Modellierung des Bogenrandes mit Hilfe von quadratischen Funktionen hat.
(3 BE)
3
In einem zweiten Versuch soll der äußere Rand des Bogens durch folgende Funktionen beschrieben werden:
![\(\begin{array}{rl}
K_{1}(x)=&\sqrt{1296-\left(x-\dfrac{1}{10}\right)^{2}}-8,
\\
x\in[-35;\;0] \text{ und}
\\
\\
K_{2}(x)=&\sqrt{1296-\left(x+\dfrac{1}{10}\right)^{2}}-8,
\\
x\in[0;\;35]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/115b17069a3e953cb921963c4b94d4b147e963c14569de5f61f93a77fd8bda38?color=5a5a5a)
3.1
Zeige, dass der so definierte äußere Rand des Bogens achsensymmetrisch zur 
-Achse ist.
(4 BE)
3.2
Bestimme den maximalen Höhenunterschied zwischen 
und dem Graphen der quadratischen Funktion aus Aufgabe 2.1.
Wenn Aufgabe 2.1 nicht gelöst wurde, kann die quadratische Funktion 
mit 
verwendet werden.![\(\big]\)](https://mathjax.schullv.de/0c6dff9ed6a80b0cc013679b53aff551dd11abb4691ba32076d10b15d6195a5d?color=5a5a5a)
(4 BE)
3.3
Ermittle den Schnittwinkel der Graphen von 
und an der höchsten Stelle des Bogens.
(6 BE)
3.4
Das komplette Bauwerk soll eine Stoffhülle erhalten.
Bestimme die benötigte Stofffläche und erläutere dein Vorgehen.
Information: Länge eines Graphen
Die Länge des Graphen einer differenzierbaren Funktion 
zwischen den Punkten 
und 
wird durch folgende Formel berechnet:
,
(7 BE)
3.5
Ermittle das umbaute Volumen dieses Bauwerks.
(3 BE)
1.1
Höhenunterschied bestimmen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\sin (\alpha)&=& \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}& \\[5pt]
\sin (6 ^\circ) &=& \dfrac{h}{540\,\text{m}}&\quad \scriptsize \,\bigg \vert \, \cdot 540\,\text{m} \\[5pt]
\sin (6^\circ) \cdot 540\,\text{m}&=& h& \\[5pt]
56,45\,\text{m} &\approx& h
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/f44821513c16301b5499ac3bb2940e24db706a635f736a533500dc0acb27b27f?color=5a5a5a)
Ein 
langer geradliniger und um 
geneigter Wanderweg überwindet also einen Höhenunterschied von ungefähr 
Angaben beurteilen
Im Vergleich des Höhenunterschied zu der Größe bzw. dem überwundenen Höhenunterschieds des Bogens fällt auf, dass dieser nur hoch ist und lediglich einen Höhenunterschied von 
überwindet.
Ein Grund dafür könnte sein, dass die Skulptur jeweils an den äußeren Enden eine waagerechte Plattform besitzt, die ebenfalls in die Länge des langen Aufstiegs zählt.
Ein weiterer Grund könnte sein, dass der Anstiegswinkel im Prospekt nicht richtig angegeben wurde und dieser in Wahrheit kleiner ist.
Hilfsskizze (nicht maßstäblich)
1.2
Steigung berechnen
Eine Steigung von entspricht einer Zunahme der Höhe um 6 Meter pro 100 Meter in waagerechter Richtung.
![\(\begin{array}[t]{rll}
\tan (\alpha)&=&\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} & \\[5pt]
\tan (6^\circ)&=& \dfrac{h_s}{100\,\text{m}}&\quad \scriptsize \mid\; \cdot 100\,\text{m} \\[5pt]
\tan (6^\circ) \cdot 100\,\text{m}&=& h_s& \\[5pt]
10,51\,\text{m}&\approx& h_s
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/aa14ae281b5eae257ba8adb4b5a48ab40190f0b244b5a0fb6c21b0c8113e7b15?color=5a5a5a)
Ein um geneigter Wanderweg besitzt also einen Anstieg von 
Entscheidung
Ein solcher Wanderweg ist folglich nicht für Rollstuhlfahrer geeignet.
Hilfsskizze (nicht maßstäblich)
2.1
Allgemeine quadratische Funktionsgleichung:
Es kann davon ausgegangen werden, dass der Bogen symmetrisch zur -Achse ist. Die -Achse liegt folglich genau in der Mitte des Bogens und verläuft durch dessen höchsten Punkt. Die 
-Achse beschreibt den Boden, auf dem der Bogen steht.
Im CAS kann die Funktion gespeichert und das lineare Gleichungssystem aufgestellt werden:
Das CAS liefert 
und 
Die quadratische Funktion ergibt sich also zu:
Aufgrund der Symmetrie lässt sich die quadratische Funktion vereinfachen zu:
Zur Bestimmung der beiden Parameter ist ein Gleichungssystem mit 2 Bedingungen erforderlich.
- Da der Bogen eine Höhe von
hat, ergibt sich
- Aus der Gesamtänge von
folgt
2.2
Da der Bogen an der höchsten Stelle einen Knick hat, bedeutet dies, dass die Krümmung des Bogens an dieser Stelle nicht stetig ist. Quadratische Funktionen können jedoch nur eine einfache Parabel erzeugen.
Die Verwendung von quadratischen Funktionen kann also möglicherweise zu einer ungenauen Modellierung führen, insbesondere im Bereich des Knickpunktes.
Zur genaueren Modellierung des Knicks könnten Funktionen höheren Grades verwendet werden oder eine abschnittsweise definierte Funktion mit zwei quadratischen Gleichungen für den linken und den rechten Teil des Bogens aufgestellt werden.
3.1
Ein Graph ist genau dann achsensymmetrisch zur -Achse, wenn gilt:
Mit den Definitionsbereichen folgt also, dass gelten soll:
![\(\begin{array}[t]{rll}
K_2(-x)&=& K_1(x)& \\[5pt]
\sqrt{1296 - \left(-x + \dfrac{1}{10}\right)^2} - 8&=& \sqrt{1296 - \left(x - \dfrac{1}{10}\right)^2} - 8&\\[5pt]
\sqrt{1296 - \left(-\left(x - \dfrac{1}{10}\right)\right)^2} - 8&=& \sqrt{1296 - \left(x - \dfrac{1}{10}\right)^2} - 8& \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/58773c29dd919924ce792fe080fe3aacc334ef4711b26e6977a21ec56e60f3e1?color=5a5a5a)
Da sich die beiden Funktionen nur im Vorzeichen von 
unterscheiden und dieser Term in beiden Gleichungen anschließend quadriert wird, gilt 
Der äußere Rand des Bogens ist folglich achsensymmetrisch zur -Achse.
3.2
1. Schritt: Differenzfunktion 
aufstellen
2. Schritt: Maximum bestimmen
Das CAS liefert, dass sich die Maximalstelle am Rand des Intervalls an der Stelle 
befindet.
3. Schritt: -Koordinate berechnen
Mit dem CAS ergibt sich:
![\(d(35) \approx 2,67 \; [\text{m}]\)](https://mathjax.schullv.de/7874fe4b02896a1a69f1b902177ff26590d4a0d2fa4466d25f953d16897c1233?color=5a5a5a)
Der maximale Höhenunterschied zwischen dem Graphen von und beträgt also etwa 
Die beiden Funktionen und können im CAS definiert werden.
Die Differenzfunktion 
ergibt sich nun aus dem Betrag der Differenz von 
und 
Der maximale Höhenunterschied entspricht der -Koordinate des Maximums der Differenzfunktion.
Mit dem Befehl 
des CAS kann das globale Maximum von bestimmt werden:
Als Funktion wird 
, als Variable wird und als Intervall wird ![\([0;35]\)](https://mathjax.schullv.de/788c38377e301c1dfbe94c12b026d44168202c2f152874d0198195624b82c30a?color=5a5a5a)
gewählt.
3.3
1. Schritt: Schnittpunkt 
bestimmen
2. Schritt: Winkel zur Horizontalen ermitteln
Die Winkel zur Horizontalen folgen also mit:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\tan(\alpha_1)&=& 0,0028& \quad \scriptsize \mid \tan^{-1}\\[5pt]
\alpha_1&\approx& 0,16& \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/6c5ae4157cab3f67e901d4552f697d1cdcf9bb5b78aa1ee6eedb1208fa6f7f6c?color=5a5a5a)
![\(\begin{array}[t]{rll}
\tan(\alpha_2)&=& -0,0028^\circ & \quad \scriptsize \mid \tan^{-1}\\[5pt]
\alpha_2&\approx& -0,16^\circ& \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/724fdb4d360c9c90db223f25e3eb8198c9ffda4b2789034bfc627d7821940037?color=5a5a5a)
3. Schritt: Schnittwinkel 
berechnen
Für den Schnittwinkel gilt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\alpha_S&=& 180\text{°} - |\alpha_1| - |\alpha_2| & \\[5pt]
&\approx& 180\text{°} - 0,16\text{°}- 0,16\text{°}& \\[5pt]
&=& 179,68\,\text{°}& \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/cfef80203049eac01c35afd6c2de7c5eff31f6f8efe8198c31cf90a872a36672?color=5a5a5a)
Die Graphen von und schneiden sich an der höchsten Stelle des Bogens unter einem Winkel von 
Im CAS können die beiden Funktionsterme 
und definiert werden und mit Hilfe des 
-Befehls die Schnittstellen der Graphen ermittelt werden.
Das CAS liefert die Schnittstelle 
Die -Koordinate folgt mit:
Die Graphen von und schneiden sich somit im Punkt 
Für den Winkel 
bzw. 
der Graphen bzw. zur Horizontalen im betrachteten Punkt 
gilt:
Hierbei beschreibt 
die Steigung der Funktion im betrachteten Punkt 
Diese entspricht jeweils der Ableitung an der Stelle 
Der CAS liefert:
und 
3.4
Die Oberfläche des Bauwerks, welche die Stoffhülle abdecken soll, kann in drei Bereiche unterteilt werden:
1. Schritt: 
berechnen
Es gilt also:
![\(\begin{array}[t]{rll}
A_{v/h}&=& 2 \cdot 729,46\,\text{m}^2 & \\[5pt]
&=& 1458,92\,\text{m}^2
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/a84bffa20eddde8fc096de62aaefb088dc3836f08a57752be18c88be0c08e2e2?color=5a5a5a)
2. Schritt: Bogenlänge 
ermitteln
3. Schritt: 
bestimmen
Aus Abbildung 2 folgt die Breite des Bauwerks mit 
Der Flächeninhalt des Zwischenstreifens ergibt sich also zu:
![\(\begin{array}[t]{rll}
A&=& L\cdot b & \\[5pt]
&=& 96,76\,\text{m} \cdot 14\,\text{m}& \\[5pt]
&=& 1354,64\,\text{m}^2
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/82523fcd54dadb3788f1acb9942ccd71b03b89286304896646f7422f46a9b64b?color=5a5a5a)
4. Schritt: Gesamtflächeninhalt berechnen
Die Menge des benötigten Stoffes ergibt sich nun durch die Summe der einzelnen Flächeninhalte:
![\(\begin{array}[t]{rll}
A_{ges}&=& A_v + A_h + A_S& \\[5pt]
&=& 1458,92\,\text{m}^2 + 1458,92\,\text{m}^2+ 1354,64\,\text{m}^2& \\[5pt]
&=& 4271,92
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/dee33d228e2f2b398f88fd5b39e8aa12661c635bfe2e11cc105ec32fa074a0d3?color=5a5a5a)
Es werden also insgesamt etwa 
Stoff benötigt, um das Bauwerk einzuhüllen.
- Fläche vorne mit dem Flächeninhalt
- Fläche hinten mit dem Flächeninhalt
- Zwischenstreifen mit dem Flächeninhalt
Aufgrund der Achsensymmetrie des Bogens ist es ausreichend, über dem Intervall ![\([-35;0]\)](https://mathjax.schullv.de/e0f86dd90ddfbb3ae0aeeb1628b0c7d70ef8f811198cadafc3e6ce56fc1e0cb3?color=5a5a5a)
zu integrieren. Das Doppelte des resultierenden Flächeninhalts entspricht dann 
bzw. 
Angeben der Integrationsgrenzen 
und 
der Funktion und der Variablen 
nach der integriert werden soll, liefert:
![\(\displaystyle\int_{-35}^{0}K_1(x)\;\mathrm dx\approx 729,46 \; [\text{m}^2]\)](https://mathjax.schullv.de/96e358c29f4a3a9ea199422c5316af0cde3eff4490422888ffdd44c720b76d4e?color=5a5a5a)
Aufgrund der Symmetrie genügt es auch hier, nur den Graphen von zu betrachten. Die Länge des Bogens ergibt sich dann aus dem Doppelten der Länge des Bogens über ![\([-35;0].\)](https://mathjax.schullv.de/a04a7cb0fd5e34a20cbcccdcb0caf98309ea12db847048d89dc532706e873822?color=5a5a5a)
Mit dem CAS kann die Funktion abgeleitet werden:
Einsetzen der Integralgrenzen und 
sowie der Funktion 
in die Formel zur Berechnung der Länge eines Graphen liefert:
![\(\begin{array}[t]{rll}
L&=& \displaystyle\int_{-35}^{0}\sqrt{1+\left(K_1](https://mathjax.schullv.de/6b17bb772ba53c16758f6eee09634a15fafada40f7ab7c50fe8eb1146114524a?color=5a5a5a)
Die Länge des Bogens beträgt also etwa 
3.5
Für das Volumen eines Prismas gilt:
Die Grundfläche 
entspricht hierbei der Fläche der vorderen bzw. hinteren Fläche des Bogens mit dem Flächeninhalt bzw. Die Höhe des Prismas ist gegeben durch die Breite des Bogens.
Das Volumen 
des Bogens ergibt sich also zu:
![\(\begin{array}[t]{rll}
V&=& G \cdot h & \\[5pt]
&=& 1458,92\,\text{m}^2 \cdot 14\,\text{m}& \\[5pt]
&=& 20424,88\,\text{m}^3
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/7bda9c7dafd80fb0ae3f1790cee6bb2bcd0647496fe9b3081c273797eefd02fb?color=5a5a5a)
Das Volumen des Bauwerks beträgt folglich etwa 
1.1
Höhenunterschied bestimmen
Ein langer geradliniger und um geneigter Wanderweg überwindet also einen Höhenunterschied von ungefähr
Angaben beurteilen
Im Vergleich des Höhenunterschied zu der Größe bzw. dem überwundenen Höhenunterschieds des Bogens fällt auf, dass dieser nur hoch ist und lediglich einen Höhenunterschied von überwindet.
Ein Grund dafür könnte sein, dass die Skulptur jeweils an den äußeren Enden eine waagerechte Plattform besitzt, die ebenfalls in die Länge des langen Aufstiegs zählt.
Ein weiterer Grund könnte sein, dass der Anstiegswinkel im Prospekt nicht richtig angegeben wurde und dieser in Wahrheit kleiner ist.
Hilfsskizze (nicht maßstäblich)
1.2
Steigung berechnen
Eine Steigung von entspricht einer Zunahme der Höhe um 6 Meter pro 100 Meter in waagerechter Richtung.
Ein um geneigter Wanderweg besitzt also einen Anstieg von
Entscheidung
Ein solcher Wanderweg ist folglich nicht für Rollstuhlfahrer geeignet.
Hilfsskizze (nicht maßstäblich)
2.1
Allgemeine quadratische Funktionsgleichung:
Es kann davon ausgegangen werden, dass der Bogen symmetrisch zur -Achse ist. Die -Achse liegt folglich genau in der Mitte des Bogens und verläuft durch dessen höchsten Punkt. Die -Achse beschreibt den Boden, auf dem der Bogen steht.
Im CAS kann die Funktion gespeichert und das lineare Gleichungssystem aufgestellt werden:
Das CAS liefert und
Die quadratische Funktion ergibt sich also zu:
Aufgrund der Symmetrie lässt sich die quadratische Funktion vereinfachen zu:
Zur Bestimmung der beiden Parameter ist ein Gleichungssystem mit 2 Bedingungen erforderlich.
- Da der Bogen eine Höhe von
- Aus der Gesamtänge von
2.2
Da der Bogen an der höchsten Stelle einen Knick hat, bedeutet dies, dass die Krümmung des Bogens an dieser Stelle nicht stetig ist. Quadratische Funktionen können jedoch nur eine einfache Parabel erzeugen.
Die Verwendung von quadratischen Funktionen kann also möglicherweise zu einer ungenauen Modellierung führen, insbesondere im Bereich des Knickpunktes.
Zur genaueren Modellierung des Knicks könnten Funktionen höheren Grades verwendet werden oder eine abschnittsweise definierte Funktion mit zwei quadratischen Gleichungen für den linken und den rechten Teil des Bogens aufgestellt werden.
3.1
Ein Graph ist genau dann achsensymmetrisch zur -Achse, wenn gilt:
Mit den Definitionsbereichen folgt also, dass gelten soll:
Da sich die beiden Funktionen nur im Vorzeichen von unterscheiden und dieser Term in beiden Gleichungen anschließend quadriert wird, gilt
Der äußere Rand des Bogens ist folglich achsensymmetrisch zur -Achse.
3.2
1. Schritt: Differenzfunktion aufstellen
2. Schritt: Maximum bestimmen
Das CAS liefert, dass sich die Maximalstelle am Rand des Intervalls an der Stelle befindet.
3. Schritt: -Koordinate berechnen
Mit dem CAS ergibt sich:
Der maximale Höhenunterschied zwischen dem Graphen von und beträgt also etwa
Die beiden Funktionen und können im CAS definiert werden.
Die Differenzfunktion ergibt sich nun aus dem Betrag der Differenz von und
Der maximale Höhenunterschied entspricht der -Koordinate des Maximums der Differenzfunktion.
Mit dem Befehl des CAS kann das globale Maximum von bestimmt werden:
Als Funktion wird , als Variable wird und als Intervall wird gewählt.
3.3
1. Schritt: Schnittpunkt bestimmen
2. Schritt: Winkel zur Horizontalen ermitteln
Die Winkel zur Horizontalen folgen also mit:
3. Schritt: Schnittwinkel berechnen
Für den Schnittwinkel gilt:
Die Graphen von und schneiden sich an der höchsten Stelle des Bogens unter einem Winkel von
Im CAS können die beiden Funktionsterme und definiert werden und mit Hilfe des -Befehls die Schnittstellen der Graphen ermittelt werden.
Das CAS liefert die Schnittstelle
Die -Koordinate folgt mit:
Die Graphen von und schneiden sich somit im Punkt
Für den Winkel bzw. der Graphen bzw. zur Horizontalen im betrachteten Punkt gilt:
Hierbei beschreibt die Steigung der Funktion im betrachteten Punkt Diese entspricht jeweils der Ableitung an der Stelle
Der CAS liefert:
und
3.4
Die Oberfläche des Bauwerks, welche die Stoffhülle abdecken soll, kann in drei Bereiche unterteilt werden:
1. Schritt: berechnen
Es gilt also:
2. Schritt: Bogenlänge ermitteln
Die Länge des Bogens beträgt also etwa
3. Schritt: bestimmen
Aus Abbildung 2 folgt die Breite des Bauwerks mit
Der Flächeninhalt des Zwischenstreifens ergibt sich also zu:
4. Schritt: Gesamtflächeninhalt berechnen
Die Menge des benötigten Stoffes ergibt sich nun durch die Summe der einzelnen Flächeninhalte:
Es werden also insgesamt etwa Stoff benötigt, um das Bauwerk einzuhüllen.
- Fläche vorne mit dem Flächeninhalt
- Fläche hinten mit dem Flächeninhalt
- Zwischenstreifen mit dem Flächeninhalt
Aufgrund der Achsensymmetrie des Bogens ist es ausreichend, über dem Intervall zu integrieren. Das Doppelte des resultierenden Flächeninhalts entspricht dann bzw.
Angeben der Integrationsgrenzen und der Funktion und der Variablen nach der integriert werden soll, liefert:
Aufgrund der Symmetrie genügt es auch hier, nur den Graphen von zu betrachten. Die Länge des Bogens ergibt sich dann aus dem Doppelten der Länge des Bogens über
Mit dem CAS kann die Funktion abgeleitet werden:
Einsetzen der Integralgrenzen und sowie der Funktion in die Formel zur Berechnung der Länge eines Graphen liefert:
3.5
Für das Volumen eines Prismas gilt:
Die Grundfläche entspricht hierbei der Fläche der vorderen bzw. hinteren Fläche des Bogens mit dem Flächeninhalt bzw. Die Höhe des Prismas ist gegeben durch die Breite des Bogens.
Das Volumen des Bogens ergibt sich also zu:
Das Volumen des Bauwerks beträgt folglich etwa