B1 - Analytische Geometrie
Eine Radarstation überwacht die Bewegung eines Flugzeugs. Die Bewegung kann modellhaft in einem kartesischen Koordinatensystem dargestellt werden, dessen 
-
-Ebene die Horizontale beschreibt; eine Längeneinheit entspricht einem Kilometer in der Realität. Der Standort der Radarstation wird durch den Punkt 
beschrieben.
Zu Beginn der Beobachtung um
Uhr wird die Position des Flugzeugs durch den Punkt 
beschrieben. Anschließend bewegt sich das Flugzeug im Modell entlang einer Geraden durch den Punkt 
, der die Position um 
Uhr darstellt. Ab 
Uhr fliegt das Flugzeug in gleicher Himmelsrichtung horizontal weiter; im Modell bleibt es dabei in der Ebene, die die Punkte 
und 
enthält und zur --Ebene senkrecht steht. Im Folgenden soll davon ausgegangen werden, dass das Flugzeug von Uhr bis Uhr mit konstanter Geschwindigkeit fliegt.
Zu Beginn der Beobachtung um
1.1
Berechne für die Zeit bis Uhr den Steigungswinkel der Flugbahn gegenüber der Horizontalen. Gib die Koordinaten des Punktes an, der die Position des Flugzeugs um 
Uhr darstellt.
(4 BE)
1.2
Die Abbildung im Material zeigt schematisch die Flugbahn des Flugzeugs sowie die Horizontale. Skizziere die Positionen des Flugzeugs zu den Zeitpunkten Uhr und Uhr in das Material.
(2 BE)
1.3
Ermittle für die Zeit bis Uhr die Geschwindigkeit des Flugzeugs in Kilometer pro Stunde.
(2 BE)
1.4
Gib eine Gleichung der Strecke an, die die Flugbahn von Uhr bis Uhr beschreibt.
(2 BE)
2.
Zu einem bestimmten Zeitpunkt zwischen Uhr und Uhr ist die Entfernung des Flugzeugs von der Radstation am geringsten. Die bis dahin seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit soll in Minuten bestimmt werden. Dafür werden zwei verschiedene Lösungsansätze 
und 
betrachtet:
![\(\begin{array}{}
\text{I:}\quad& d(t)&=& \left| \pmatrix{18-8t\\ -4t \\ -1-t}\right| \\[5pt]
& &=& \sqrt{81t^2 -286t +325}\\[10pt]
&d](https://mathjax.schullv.de/d81486eb9495cebf732445efe9e6e07ec7458ec5267112d515c5604b376b382d?color=5a5a5a)
2.1
Erläutere die beiden Lösungsansätze im Sachzusammenhang.
(4 BE)
2.2
Berechne die geringste Entfernung des Flugzeugs von der Radarstation, indem du einen der beiden Ansätze bis zur Lösung fortsetzt.
(4 BE)
3.
Ist das Flugzeug mehr als 
von der Radarstation entfernt, so kann es von dieser nicht mehr erfasst werden. Die Position, an der das Flugzeug nach Uhr den Erfassungsbereich der Radarstation verlässt, wird im Modell durch einen Punkt dargestellt.
Entwickle einen rechnerischen Ansatz zur Ermittlung der Koordinaten dieses Punkts.
Entwickle einen rechnerischen Ansatz zur Ermittlung der Koordinaten dieses Punkts.
(4 BE)
4.
Das Flugzeug überfliegt eine geneigte Hangfläche, die in der Ebene 
mit 
liegt. Durch das Sonnenlicht wirft das Flugzeug um Uhr einen Schatten auf die Hangfläche. Diese Parallelprojektion wird durch folgende Matrix beschrieben:
4.1
Berechne mit Hilfe der Matrix 
den Schattenpunkt des Flugzeuges um Uhr.
(3 BE)
4.2
Zeige rechnerisch, dass die Ebene die Fixpunktmenge der durch die Matrix beschriebenen Abbildung ist.
Material
(5 BE)
1.1
Steigungswinkel berechnen
Die Flugbahn kann als Gerade 
modelliert werden, die Horizontale wird durch die --Ebene beschrieben.
Als Richtungsvektor von ergibt sich:
Ein Normalenvektor der --Ebene ist 
.
Mit dem CAS folgt:
Berechnung mit dem CAS
Koordinaten der Position berechnen
Da das Flugzeug mit konstanter Geschwindigkeit fliegt, legt es bis Uhr das fünffache der Strecke 
zurück. Es folgt:
Berechnung mit dem CAS
1.2
Positionen einzeichnen
Zwischen Anfangs- und Endpunkt der Steigung liegen 
Minuten, in denen das Flugzeug, da es mit konstanter Geschwindigkeit fliegt, insgesamt siebenmal die Strecke zurücklegt. Durch Teilung der Gesamtstrecke in sieben gleichlange Teilstrecken folgt:
1.3
Geschwindigkeit ermitteln
Die Geschwindigkeit des Flugzeuges ist bis Uhr konstant.
Mit Hilfe des norm-Befehls des CAS folgt die Berechnung der Länge der Strecke
welche das Flugzeug in den ersten zwei Minuten zurücklegt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
s&=& \left|\overrightarrow{AB}\right| \\[5pt]
&=& \sqrt{8^2+4^2+1^2} \\[5pt]
&=& 9 \, \left[\text{km}\right] \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/19c62f3cb14f485b8594afd836e3b840390a40a4c51d4c12b39bdece3d9efc24?color=5a5a5a)
Ermittlung der Geschwindigkeit 
![\(\begin{array}[t]{rll}
v&=&\dfrac{s}{t} \\[5pt]
&=& \dfrac{9\;\text{km}}{2\;\text{min}} \\[5pt]
&=&\dfrac{270\;\text{km}}{60\;\text{min}} \\[5pt]
&=& \dfrac{270\;\text{km}}{1\;\text{h}} \\[5pt]
&=& 270 \;\dfrac{\text{km}}{\text{h}}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/0284294990087c0e5765b1353cab2e6edac1da02d178bf598f3988f7a34fb8ff?color=5a5a5a)
Mit Hilfe des norm-Befehls des CAS folgt die Berechnung der Länge der Strecke
1.4
Geradengleichung aufstellen
![\(\begin{array}[t]{rll}
g: \; \overrightarrow{x}&=& \overrightarrow{OA}+t\cdot \overrightarrow{AB}\\[5pt]
&=&\pmatrix{0\\0\\0}+t\cdot \pmatrix{8\\4\\1}\\[5pt]
&=& t\cdot \pmatrix{8\\4\\1}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/9f812eb683911a7341ab6bd168486e75e45bf1f9c46c19ec99b7aa3ad5003569?color=5a5a5a)
Intervall von t bestimmen
Für 
wird der Startpunkt beschrieben und für 
der Endpunkt um Uhr. Für die Strecke der Flugbahn folgt:
2.1
Lösungsansatz 
im Sachzusammenhang erläutern
Es handelt sich um den Betrag des Verbindungsvektors zwischen dem Punkt, in dem die Radarstation liegt, und dem allgemeinen Punkt der Geraden 
die die Flugbahn beschreibt. Dieser Vektorbetrag liefert eine Funktion 
welche den Abstand des Flugzeuges zur Radarstation in Abhängigkeit von der Zeit 
beschreibt. Dieser wird minimal, wenn das notwendige Kriterium für Extremstellen erfüllt ist.
Lösungsansatz 
im Sachzusammenhang erläutern
Hier wird mit Hilfe des Skalarproduktes des Richtungsvektors der Geraden und dem Verbindungsvektor zwischen Flugzeug und Radarstation überprüft, ob diese orthogonal sind. In dem Fall ist der Abstand des Flugzeuges zur Radarstation am geringsten.
2.2
Geringste Entfernung bestimmen
Lösungsweg A: Ansatz
Gesucht ist der Funktionswertwert an der Minimalstelle von 
Definition der Funktionen
Nullstellen bestimmen
Auf die Anwendung des hinreichenden Kriteriums kann verzichtet werden, da aus der Aufgabenstellung folgt dass es eine geringste Entfernung des Flugzeuges zu der Radarstation gibt.
3. Schritt: Funktionswert berechnen
Einsetzen in den CAS liefert:
![\(\begin{array}[t]{rll}
d\left(\frac{143}{81}\right)&\approx& 8,52
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/2222570f8888d28ea9a55e2c42796b6f4d407d7563cc07b28d8b443bfd9ae233?color=5a5a5a)
Die geringste Entfernung zwischen Flugzeug und Radarstation beträgt ca. 
Lösungsweg B: Ansatz
Gesucht ist der Abstand des Lotfußpunktes auf der Geraden zu dem Punkt 
1. Schritt: Gleichung lösen
Gleichung lösen
2. Schritt: Ortsvektor des Lotfußpunktes bestimmen
Einsetzen von ergibt für den Ortsvektor des Lotfußpunktes 
3. Schritt: Abstand berechnen
1. Schritt: Ableitungsfunktionen bestimmen
Der CAS liefert, nach der Definition von 
mit Hilfe des Define-Befehls, die ersten beiden Ableitungsfunktionen in folgendem Menü:
menu 
4: Analysis 1: Ableitung
Definition der Funktionen
2. Schritt: Notwendiges Kriterium für Extremstellen anwenden
Der solve-Befehl des CAS liefert:
![\(\begin{array}[t]{rll}
d](https://mathjax.schullv.de/e2d8eb3e88126a5242871a5ae09f5b4429d2db1904c0c5935ce203df1d9598ad?color=5a5a5a)
Nullstellen bestimmen
Nutzung des solve-Befehls im CAS ergibt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\pmatrix{8\\4\\1}\circ \pmatrix{18-8t\\-4t\\-1-t}&=& 0 \\[5pt]
t &=& \frac{143}{81}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/8c6125d2061d07dc2992a570eb1b62349dddbffcc5489ec4eafe0dc443d10609?color=5a5a5a)
Gleichung lösen
3.
1. Schritt: Koordinaten des Punkts bestimmen, in dem sich das Flugzeug um Uhr befindet:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overrightarrow{OC}&=&\overrightarrow{OA}+7\cdot \overrightarrow{AB} \\[5pt]
&=&\pmatrix{0\\0\\0} + 7\cdot \pmatrix{8\\4\\1}\\[5pt]
&=& \pmatrix{56\\ 28 \\ 7} \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/6d4d16d80dfd22cbbcddf47aa55e341963eea5263e577a445aba57252720ab9c?color=5a5a5a)
Um Uhr befindet sich das Flugzeug an der Position mit den Koordinaten 
2. Schritt: Gerade aufstellen, die die Flugbahn ab Uhr beschreibt:
Als neuer Richtungsvektor ergibt sich: 
Die Gerade für die neue Flugbahn lautet damit:
mit 
.
3. Schritt: Abstand der Punkte auf der Geraden zur Radarstation mit 70 gleichsetzen:
Dies ist eine Möglichkeit für den gesuchten rechnerischen Ansatz.
4.1
Koordinaten des Schattenpunkts berechnen
Um Uhr befindet sich das Flugzeug im Punkt 
Parallelprojektion auf den Schattenpunkt 
durch Multiplikation mit der Matrix im CAS liefert:
Der Schattenpunkt des Flugzeugs um Uhr hat die ungefähren Koordinaten 
4.2
Fixpunktmenge der Matrix nachweisen
Für einen Fixpunkt 
einer von der Matrix beschriebenen Abbildung muss folgende Gleichung erfüllt sein:
Durch Ausmultiplizieren folgt:
Daraus ergibt sich folgendes lineares Gleichungssystem:
Die erste Gleichung ist immer erfüllt. Aus der zweiten und dritten ergibt sich jeweils 
. Alle Fixpunkte der Matrix müssen somit die Bedingung erfüllen. Die Fixpunktemenge wird damit durch die Ebene mit 
beschrieben.
1.1
Steigungswinkel berechnen
Die Flugbahn kann als Gerade modelliert werden, die Horizontale wird durch die --Ebene beschrieben.
Als Richtungsvektor von ergibt sich:
Ein Normalenvektor der --Ebene ist .
Mit dem CAS folgt:
Berechnung mit dem CAS
Koordinaten der Position berechnen
Da das Flugzeug mit konstanter Geschwindigkeit fliegt, legt es bis Uhr das fünffache der Strecke zurück. Es folgt:
Berechnung mit dem CAS
1.2
Positionen einzeichnen
Zwischen Anfangs- und Endpunkt der Steigung liegen Minuten, in denen das Flugzeug, da es mit konstanter Geschwindigkeit fliegt, insgesamt siebenmal die Strecke zurücklegt. Durch Teilung der Gesamtstrecke in sieben gleichlange Teilstrecken folgt:
1.3
Geschwindigkeit ermitteln
Die Geschwindigkeit des Flugzeuges ist bis Uhr konstant.
Mit Hilfe des norm-Befehls des CAS folgt die Berechnung der Länge der Strecke welche das Flugzeug in den ersten zwei Minuten zurücklegt:
Ermittlung der Geschwindigkeit
Mit Hilfe des norm-Befehls des CAS folgt die Berechnung der Länge der Strecke
1.4
Geradengleichung aufstellen
Intervall von t bestimmen
Für wird der Startpunkt beschrieben und für der Endpunkt um Uhr. Für die Strecke der Flugbahn folgt:
2.1
Lösungsansatz im Sachzusammenhang erläutern
Es handelt sich um den Betrag des Verbindungsvektors zwischen dem Punkt, in dem die Radarstation liegt, und dem allgemeinen Punkt der Geraden die die Flugbahn beschreibt. Dieser Vektorbetrag liefert eine Funktion 
, die den Abstand des Flugzeugs zur Radarstation in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt. Dieser wird minimal, wenn das notwendige Kriterium für Extremstellen erfüllt ist.
Lösungsansatz im Sachzusammenhang erläutern
Hier wird mit Hilfe des Skalarprodukts des Richtungsvektors der Geraden und dem Verbindungsvektor zwischen Flugzeug und Radarstation überprüft, ob diese orthogonal sind. Wenn das eintritt, ist der Abstand des Flugzeuges zur Radarstation am geringsten.
2.2
Geringste Entfernung bestimmen
Lösungsweg A: Ansatz
Gesucht ist der Funktionswertwert an der Minimalstelle von
Definition der Funktionen
Nullstellen bestimmen
Auf die Anwendung des hinreichenden Kriteriums kann verzichtet werden, da aus der Aufgabenstellung folgt dass es eine geringste Entfernung des Flugzeuges zu der Radarstation gibt.
3. Schritt: Funktionswert berechnen
Einsetzen in den CAS liefert:
Die geringste Entfernung zwischen Flugzeug und Radarstation beträgt ca.
Lösungsweg B: Ansatz
Gesucht ist der Abstand des Lotfußpunktes auf der Geraden zu dem Punkt
1. Schritt: Gleichung lösen
Gleichung lösen
2. Schritt: Ortsvektor des Lotfußpunktes bestimmen
Einsetzen von ergibt für den Ortsvektor des Lotfußpunktes
3. Schritt: Abstand berechnen
1. Schritt: Ableitungsfunktionen bestimmen
Der CAS liefert, nach der Definition von mit Hilfe des Define-Befehls, die ersten beiden Ableitungsfunktionen in folgendem Menü:
Keyboard Math2
Definition der Funktionen
2. Schritt: Notwendiges Kriterium für Extremstellen anwenden
Der solve-Befehl des CAS liefert:
Nullstellen bestimmen
Nutzung des solve-Befehls im CAS ergibt:
Gleichung lösen
3.
1. Schritt: Koordinaten des Punkts bestimmen, in dem sich das Flugzeug um Uhr befindet:
Um Uhr befindet sich das Flugzeug an der Position mit den Koordinaten
2. Schritt: Gerade aufstellen, die die Flugbahn ab Uhr beschreibt:
Als neuer Richtungsvektor ergibt sich:
Die Gerade für die neue Flugbahn lautet damit:
mit .
3. Schritt: Abstand der Punkte auf der Geraden zur Radarstation mit 70 gleichsetzen:
Dies ist eine Möglichkeit für den gesuchten rechnerischen Ansatz.
4.1
Koordinaten des Schattenpunkts berechnen
Um Uhr befindet sich das Flugzeug im Punkt Parallelprojektion auf den Schattenpunkt durch Multiplikation mit der Matrix im CAS liefert:
Der Schattenpunkt des Flugzeugs um Uhr hat die ungefähren Koordinaten
4.2
Fixpunktmenge der Matrix nachweisen
Für einen Fixpunkt einer von der Matrix beschriebenen Abbildung muss folgende Gleichung erfüllt sein:
Durch Ausmultiplizieren folgt:
Daraus ergibt sich folgendes lineares Gleichungssystem:
Die erste Gleichung ist immer erfüllt. Aus der zweiten und dritten ergibt sich jeweils . Alle Fixpunkte der Matrix müssen somit die Bedingung erfüllen. Die Fixpunktemenge wird damit durch die Ebene mit beschrieben.