B1 - Analysis

Blaualgen (oder auch Cyanobakterien) kommen in Gewässern wie z.B. in Badeseen vor. Sie vermehren sich vor allem bei hohen Wassertemperaturen in den Sommermonaten besonders schnell. Das kann für Badegäste an einem Badesee unangenehme Folgen haben: Neben dem Geruch nach Ammoniak kann es auch zu allergischen Reaktionen kommen.
Um die Situation der Badeseen besser einschätzen zu können, erhielten Forscher den Auftrag, das Vermehrungsverhalten der Blaualgen zu untersuchen. Dazu beobachteten sie einen Tag lang das Vermehrungsverhalten der Blaualgen in einer Petrischale bei einer Umgebungstemperatur von $21° C$ .
Zu Beobachtungsbeginn befanden sich $1000$ Bakterien in der Petrischale. Die Messwerte sind in der folgenden Tabelle dargestellt:

Zeit [in Stunden nach Beobachtungsbeginn]	Anzahl der Bakterien
$0$	$1000$
$1$	$1300$
$6$	$3900$
$12$	$11400$
$16$	$17300$
$24$	$23000$

1.1

Berechne jeweils die durchschnittliche Zunahme der Bakterienzahl pro Stunde in den fünf aufeinanderfolgenden Zeitintervallen und beschreibe die Veränderung der durchschnittlichen Zunahme der Bakterienzahl pro Stunde.

(6 BE)

1.2

Die Messwerte sollen durch eine geeignete Funktion modelliert werden. Dazu stehen zwei Funktionen $f$ und $g$ mit den folgenden Funktionsgleichungen zur Verfügung:

Formel anzeigen

$f(t)=...$

Formel anzeigen

$g(t)=...$

Hierbei gibt $t$ jeweils die Zeit in Stunden nach Beobachtungsbeginn an und $f(t)$ bzw. $g(t)$ die Anzahl der Bakterien.
Untersuche, welche der beiden Funktionen zur Modellierung der Messwerte besser geeignet ist.

(4 BE)

1.3

Berechne mithilfe der Messwerte in der Tabelle die durchschnittliche Zunahme der Bakterienzahl pro Stunde im Intervall $[6;16]$ und ermittle jeweils diejenigen Stellen im Intervall $[6;16],$ an denen die Funktion $f$ bzw. die Funktion $g$ genau diese Änderungsrate aufweist. Deute den Sachverhalt geometrisch.

(7 BE)

1.4

Erläutere unter Zuhilfenahme des Materials die Zeilen (1) bis (3) im Kasten und deute die rechte Seite der Äquivalenz in Zeile (4) geometrisch.

$q$ ist eine differenzierbare Funktion und $[a;b]$ ist eine Teilmenge des Definitionsbereichs von $q.$ $P\left(a\mid q(a)\right)$ und $Q\left(b\mid q(b)\right)$ sind Punkte des Graphen von $q.$

Zum Gleichungen anzeigen hier tippen

$s(x)=\dfrac{q(b)-q(a)}{b-a}\cdot (x-b)+q(b)\Rightarrow s(a)=q(a)$ und $s(b)=q(b)$

$d(x)=q(x)-s(x)$

$\(d$

$\(d$

Material 1

(7 BE)

Aus den Funktionen $f$ und $g$ aus Aufgabe 1.2 werden die Funktionen $f_1$ , $f_2$ und $f_3$ mit $f_1(t)=f(t)-g(t),$ $f_2(t)=\mid f(t)-g(t)\mid$ und $f_3(t)=\left(f(t)-g(t)\right)^2$ gebildet.

2.1

Skizziere die Graphen der Funktionen $f_1$ , $f_2$ und $f_3$ im Intervall $[0;24].$

(6 BE)

2.2

Ermittle jeweils den Wert des Terms $\dfrac{1}{24}\displaystyle\int_{0}^{24}f_1(t)\;\mathrm dt$ und $\dfrac{1}{24}\displaystyle\int_{0}^{24}f_2(t)\;\mathrm dt$ und gib jeweils (ohne Bezug zum Sachzusammenhang) die Bedeutung dieses Wertes an.

(6 BE)

Eine weitere Modellierung der Bakterienzahl in Abhängigkeit von der Zeit $t$ wird beschrieben durch die Funktion $h.$ Dabei bedeutet:
$t:$ Zeit in Stunden nach Beobachtungsbeginn
$h(t):$ Anzahl der Bakterien in $1000$
Gegeben ist die Ableitungsfunktion $\(h$ der Funktion $h$ durch
$\(h$ $k\gt 0.$

3.1

Bestimme $k$ so, dass zu Beobachtungsbeginn $1000$ Bakterien und nach $24$ Stunden $23595$ Bakterien vorhanden sind.

(4 BE)

3.2

Zeige rechnerisch, dass sich die gegebene Ableitungsfunktion $\(h$ auch durch die Gleichung

Formel anzeigen

$\( h$

darstellen lässt.
Begründe anhand des Terms $\(h$ dass $\(\lim\limits_{t\to\infty}\left(h$ gilt, und erläutere im Sachzusammenhang, was dieses Ergebnis für die Funktion $h$ bedeutet.

(7 BE)

3.3

Bestimme $k$ so, dass die Funktion $h$ für $t=12$ am stärksten wächst.

(3 BE)

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1.1

Zeit [in Stunden nach Beobachtungsbeginn]	Durchschnittliche Zunahme der Bakterienzahl pro Stunde
0	0
1	300
6	520
12	1250
16	1475
24	712,5

In den ersten vier Zeitintervallen nimmt die Veränderung monoton zu und fällt dann im fünften Intervall wieder ab.

1.2

Zeit [in Stunden nach Beobachtungsbeginn]	f(t)	g(t)
0	1000	1185
1	1299,98	1082,23
6	3899,46	3871,03
12	11396,56	11574,46
16	17296,38	17146,79
24	23314,91	22992,65

Anhand der Tabelle lässt sich erschließen, dass die Funktionswerte von $f$ bessere Näherungswerte darstellen, da sie näher an den Messwerten liegen.

1.3

Durchschnittliche Änderung bestimmen

$\dfrac{17300 - 3900}{10} = 1340$

Mit dem CAS lassen sich die Ableitungen von $f$ und $g$ berechnen:

$\blacktriangleright$ TI nspire CAS

menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 1: Ableitung

$\blacktriangleright$ Casio Classpad II

keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\frac{d}{d \Box}\Box$

Vollständige Ableitung anzeigen

$\( f$

Vollständige Ableitung anzeigen

$\( g$

Gesucht sind die Lösungen der folgenden Gleichungen:

$\( f$
$\( g$

Für $t \in [6;16]$ liefert der CAS für die Funktion $f$ die Lösung $t \approx 9,51$ und für $g$ die Lösungen $t \approx 9,33$ und $t \approx 15,32.$

Sachverhalt geometrisch deuten

Die Steigung der Sekante zwischen den Punkten $(6 \mid 3900)$ und $(16 \mid 17300)$ ist gleich der Steigung der Tangenten an die Funktion $f$ bzw. $g$ an den jeweils berechneten Stellen $t.$

1.4

Die Gerade $s,$ die durch die Punkte $P$ und $Q$ verläuft, wurde wie folgt konstruiert: Die Steigung enstpricht gerade der mittleren Steigung von $q$ im Intervall $[a;b]$ . Außerdem wird sie um den Wert $b$ in Richtung der positiven $x-$ Achse und um den Wert $q(b)$ in Richtung der positiven $y-$ Achse verschoben. Damit folgt direkt dass $q(b) = s(b)$ und $q(a) = s(a)$ gilt.

$d(x)$ gibt gerade den vertikalen Abstand der Funktionen $q$ und $s$ an der Stelle $x$ an.

Durch Ableiten gilt: $\(d$ . Da $s(x)$ eine Gerade mit konstanter Steigung ist, folgt $\(d$

$\( d$ gilt genau dann, wenn die Steigung des Graphen von $q$ an der Stelle $x_z$ der mittleren Steigung des Graphen von $q$ im Intervall $[a;b]$ entspricht.
Anders ausgedrückt gilt die Gleichheit genau dann, wenn der Graph von $\(q$ die konstante Gerade $p(x) = \dfrac{q(b) - q(a)}{b-a}$ berührt oder schneidet.

2.1

Funktion 1

Funktion 2

Funktion 3

2.2

Die Werte der Integrale lassen sich mit dem CAS berechnen.

$\blacktriangleright$ TI nspire CAS

menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 3: Integral

$\blacktriangleright$ Casio Classpad II

keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\int_{\Box}^{\Box}\Box$

$\dfrac{1}{24} \cdot \displaystyle\int_{0}^{24}f_1(t)\;\mathrm dt \approx 75,7$

Dieser Wert gibt den durchschnittlichen Wert für die Differenz der Funktionswerte von $f$ und $g$ an.

$\dfrac{1}{24} \cdot \displaystyle\int_{0}^{24}f_2(t)\;\mathrm dt \approx 189,99$

Dieser Wert gibt den durchschnittlichen Wert für den Betrag der Differenz der Funktionswerte von $f$ und $g$ an.

3.1

Es gilt: $h(0)=1$ und $h(24)=23,595.$

1. Schritt: $h(t)$ berechnen

Die Funktion $h(t)$ ist durch eine Stammfunktion von $\(h$ gegeben. $\(\displaystyle\int_{}^{}h$ wird mit dem CAS berechnet.

$\blacktriangleright$ TI nspire CAS

menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 3: Integral

$\blacktriangleright$ Casio Classpad II

keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\int_{\Box}^{\Box}\Box$

$\(\displaystyle\int_{}^{}h$

Wegen $h(0)=1$ muss gelten:

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$c=25$

Es folgt $h(t) = - \dfrac{600}{\mathrm{e}^{25 \cdot k \cdot t} + 24} + 25.$

2. Schritt: $k$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} h(24)&=& 23,595 \\[5pt] - \dfrac{600}{\mathrm{e}^{25 \cdot k \cdot 24} + 24} + 25&=& 23,595& \\[5pt] \end{array}$

Mit dem solve-Befehl des CAS folgt $k\approx 0,01.$

3.2

Ableitungsfunktion umformen

Durch Anwendung der ersten binomischen Formel und Ausklammern ergibt sich die gesuchte Gleichung:

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$\( h$

Grenzverhalten begründen

Im Nenner gilt für $t \rightarrow \infty:$

$\underbrace{\mathrm{e}^{ 25\cdot k\cdot t}}_{\rightarrow \infty} + 48 + \underbrace{ 576 \cdot \underbrace{\mathrm{e}^{-25 \cdot k \cdot t}}_{\rightarrow 0}}_{\rightarrow 0} \rightarrow \infty$

Für den gesamten Term gilt damit für $t \rightarrow \infty :$

$15000 \cdot k \cdot \underbrace{\dfrac{1}{\mathrm{e}^{ 25\cdot k\cdot t} + 48 + 576 \cdot \mathrm{e}^{-25 \cdot k \cdot t}}}_{\rightarrow 0} \rightarrow 0$

Insgesamt folgt damit:

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$\( \lim\limits_{t\to\infty} (h$

Da die Steigung der Funktion $h$ für $t \rightarrow \infty$ gegen $0$ verläuft, folgt für die Funktion $h$ , dass sie sich einem bestimmten Grenzwert nähert. Im Sachzusammenhang bedeudet dies, dass die Wachstumsgeschwindigkeit gegen $0$ geht und die Bakterienanzahl nach oben beschränkt ist.

3.3

Damit die Funktion $h$ für $t=12$ am stärksten wächst, muss bei $\(h$ ein Maximum vorliegen. Dazu kann mit dem CAS die Ableitung von $\(h$ berechnet werden.

Es soll gelten:

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$\( h$

Für $t=12$ folgt mit dem solve-Befehl des CAS $k=0$ und $k\approx 0,0106.$ Da für $k=0$ die Funktion $\(h$ für alle $t$ gleich null ist, kann dies nicht der gesuchte Wert sein.

Mit dem CAS wird $\(h$ bestimmt und $t=12$ und $k \approx0,0106$ eingesetzt. Es gilt $\(h$ Für $k\approx 0,0106$ liegt also ein Maximum der Wachstumsgeschwindigkeit für $t=12$ vor.

Mit dem CAS-Befehl kann das Maximum von $\(h$ nochmal graphisch überprüft werden.

$\blacktriangleright$ TI nspire CAS

menu $\to$ 6: Graph analysieren $\to$ 3: Maximum

$\blacktriangleright$ Casio Classpad II

Analyse $\to$ Grafische Lösung $\to$ Maximum

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