A2 - Analysis

Ein Wachstumsprozess kann für $0 \leq t \leq 10$ durch die Funktion $f$ mit $f(t) = a \cdot b^t ,$ für $t \geq 10$ durch die Funktion $g$ mit $g(t) = 8-326,817 \cdot 0,63^t$ beschrieben werden. In der Tabelle (Material 1) sind die Werte des Wachstumsprozesses zu verschiedenen Zeitpunkten $t$ dargestellt.

1.1

Bestimme durch Regression die Gleichung der Funktion $f.$ Gib dabei die Koeffizienten $a$ und $b$ der Funktionsgleichung auf drei Nachkommastellen gerundet an.

(3 BE)

1.2

Im Material 2 sind der Graph der Funktion $f$ für $0 \leq t \leq 10$ und der Graph der Funktion $g$ für $10 \leq t \leq 24$ dargestellt. Untersuche unter Verwendung der auf drei Nachkommastellen gerundeten Ergebnisse, ob die Graphen der Funktionen $f$ und $g$ an der Stelle $t = 10$ ohne Sprung und ohne Knick ineinander übergehen.
Falls du in Aufgabe 1.1 die Funktion $f$ nicht bestimmen konntest, verwende die Ersatzfunktion $r$ mit $r(t) = 0,2 \cdot e^{0,32 \cdot t} .$

(4 BE)

Der Wachstumsprozess kann für $t \geq 0$ auch durch eine logistische Wachstumsfunktion $h$ mit

$h(t) =\dfrac{8}{1+100\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot t}}$

beschrieben werden.

2.1

Bestimme den Zeitpunkt $t,$ zu dem die Funktion $h$ $95\,\%$ ihrer Sättigungsgrenze erreicht hat.

(4 BE)

2.2

Bestimme innerhalb des Definitionsbereichs den Zeitpunkt $t,$ zu dem die Wachstumsgeschwindigkeit am größten ist.

(4 BE)

2.3

Zeige durch eine Rechnung, dass die Funktion $H$ mit

Funktion anzeigen

$H(t)= ...$

eine Stammfunktion von $h$ ist.

(5 BE)

2.4

Bestimme den Wert des Terms

$\frac{1}{20} \displaystyle\int_{0}^{20}h(t)\;\mathrm dt$

und erläutere die mathematische Bedeutung dieses Werts.

(4 BE)

Es wird nun ein weiterer Wachstumsprozess, dessen Wachstumsgeschwindigkeit durch die Funktion $\(w$ mit $\(w$ beschrieben wird, betrachtet. Der Wert der zugrunde liegenden Wachstumsfunktion an der Stelle $t = 0$ soll $2,0$ betragen.
Bestätige durch eine Rechnung, dass der Funktionsterm $w(t) = 8 - 6 \cdot e^{- 0,1 \cdot t}$ die dem Wachstumsprozess zugrunde liegende Funktion $w$ in Abhängigkeit von $t$ beschreibt.

(3 BE)

4.1

Skizziere die Graphen der Wachstumsgeschwindigkeiten der beiden Wachstumsprozesse $h$ und $w$ aus Aufgabe 2 bzw. 3 in das Koordinatensystem (Material 3). Vergleiche die Wachstumsgeschwindigkeiten der Funktionen $h$ und $w$ für $t \geq 0.$
Begründe ohne Rechnung und unter Verwendung der Skizze, dass bis zur Schnittstelle der Graphen bei $t \approx 5$ die Funktionswerte von $w$ größer als die Funktionswerte von $h$ sind.

(7 BE)

4.2

Untersuche, zu welchem Zeitpunkt $t$ die Differenz der Funktionswerte der beiden Wachstumsfunktionen $w$ und $h$ dem Betrag nach am größten ist.
Hinweis: Auf die Überprüfung der Randwerte kann verzichtet werden.

(6 BE)

Material 1

$t$	$y$
$0$	$0,198$
$2$	$0,374$
$4$	$0,708$
$6$	$1,338$
$8$	$2,530$
$10$	$4,782$
$12$	$6,723$
$14$	$7,493$
$16$	$7,799$
$18$	$7,920$
$20$	$7,968$
$22$	$7,987$
$24$	$7,995$

Material 2

Abb. 1

Material 3

Abb. 2

1.1

Koeffizienten durch Regression bestimmen

Eingabe der Wertepaare aus der Tablle im CAS für $t\leq10$ unter:

Calc $\to$ Regressionen $\to$ Freie Exp. Reg.

Es folgt:

$a\approx 0,198$ und $b\approx 1,375$

Statistische Berechnung mit Ergebnissen zu Exponentialregression und Koeffizienten.

Abb. 1: Ergebnisse des CAS

Durch Regression ergibt sich mit Hilfe des CAS $f(t)\approx0,198 \cdot 1,375^t.$

1.2

Übergang untersuchen

Definition der beiden Funktionen $f$ und $g$ und der zugehörigen Ableitungsfunktionen mit Hilfe des CAS und Einsetzen von $t=10$ liefert:

$f(10)\approx 4,783$
$g(10)\approx 4,781$
$f‘(10)\approx 1,523$
$g‘(10)\approx 1,487$

Bildschirmansicht einer mathematischen Software mit definierten Funktionen und deren Ableitungen.

Abb. 2: Berechnung der Funktionswerte

Auf drei Nachkommastellen gerundet ergibt sich, dass die beiden Graphen mit einem leichten Sprung (Abweichung von $0,002$ ) und nicht knickfrei ineinander übergehen.

2.1

Zeitpunkt bestimmen

Aus der Funktionsgleichung ergibt sich die Sättigungsgrenze $G=8.$ Davon sollen $95\,\%$ erreicht werden:

$0,95\cdot 8 = 7,6$

Gleichsetzen von $h(t)= 7,6$ und Lösen der Gleichung mit dem solve-Befehl des CAS liefert:

$\begin{array}[t]{rll} h(t)&=& 7,6 \\[5pt] t&\approx& 15,1 \end{array}$

Mathematische Berechnung zur Lösung einer Gleichung mit Funktion h(t).

Abb. 3: Lösen mit dem CAS

Die Funktion erreicht ihre Sättigungsgrenze zu $95\,\%$ zum Zeitpunkt $t\approx 15,1.$

2.2

Zeitpunkt mit größter Wachstumsgeschwindigkeit bestimmen

Durch Definition der beiden Ableitungen im CAS und Überprüfen des notwendigen Kriteriums für Extremstellen folgt:

$\(\begin{array}[t]{rll} h$

Einsetzen der dritten Ableitung und Überprüfen des hinreichenden Kriteriums für Extremstellen liefert:

Rechenweg anzeigen

$\( h$ $\lt 0$

Mathematische Gleichungen und Ableitungen in einer Softwareanwendung.

Abb. 4: Berechnung mit dem CAS

Da die Funktion $\(h$ laut der Überprüfung des notwendigen Kriteriums nur eine Extremstelle besitzt, folgt, dass die Wachstumsgeschwindigkeit zum Zeitpunkt $t = 4\cdot \ln(5)+4\cdot\ln(2)\approx 9,21$ am größten ist.

2.3

Stammfunktion nachweisen

Anwenden der Kettenregel:

Rechenweg anzeigen

$\( H$

Somit ist $H$ eine Stammfunktion von $h.$

2.4

Wert bestimmen und erläutern

Der Befehl für das Integral befindet sich unter:

Keyboard $\to$ Math2

Somit folgt mit Hilfe des CAS:

$\frac{1}{20}\cdot \displaystyle\int_{0}^{20}h(t)\;\mathrm dt = 4,31$

Mathematische Formel und Berechnung in einer Softwareanwendung.

Abb. 5: Berechnung mit dem CAS

Der Wert beschreibt den durchschnittlichen Funktionswert von $h$ im Intervall $[0;20].$

Funktionsterm nachweisen

Berechnung der Ableitung von $w(t) = 8-6\cdot \mathrm e^{-0,1\cdot t}$ liefert:

$\(w$ $= -6\cdot (-0,1)\cdot \mathrm e^{-0,1\cdot t}$

Einsetzen von $t=0$ in $w(t)$ liefert zudem:

Rechenweg anzeigen

$w(0)=2$

Es gilt $w(0)=2$ und $\(w$ Damit beschreibt $w(t)= 8-6\cdot \mathrm e^{-0,1\cdot t}$ die dem Wachstumsprozess zugrunde liegende Funktion $w$ in Abhängigkeit von der Zeit $t.$

4.1

Graphen zeichnen

Betrachtung der Graphen von $\(w$ und $\(h$ und anzeigen der Funktionswerte im CAS liefert:

Abb. 6: Graphen von $\(w$ und $\(h$

Wachstumsgeschwindigkeiten vergleichen

Zu Beginn ist die Wachstumsgeschwindigkeit von $w$ mit ca. $0,6$ deutlich höher als die von $h$ mit ca. $0,04.$ Die Wachstumsgeschwindigkeit von $w$ nimmt über den gesamten Zeitraum ab, während die Wachstumsgeschwindigkeit von $h$ zunächst stark ansteigt bis sie ihr Maximum bei $t\approx 9,2$ erreicht, und fällt dann in etwa so schnell, wie sie zuvor gestiegen ist, wieder ab. Dabei nähert sich die Wachstumsgeschwindigkeit von $h$ dem Wert Null schneller an.

Verhältnis der Funktionswerte begründen

Abb. 7: Skizze

Da $w$ eine Stammfunktion von $\(w$ und $h$ eine Stammfunktion von $\(h$ ist, kann der jeweilige Flächeninhalt, der in der Skizze markiert ist, über die Differenz $w(t)-w(0)$ bzw. $h(t)-h(0)$ berechnet werden.

Der Flächeninhalt der mit den Achsen eingeschlossenen Fläche im Bereich $[0;t]$ ist hier bei $\(h$ kleiner als bei $\(w$ Da dieser maßgeblich den Funktionswert von $h$ bzw. $w$ definiert, folgt, dass der Funktionswert von $h$ bis $t\approx 5$ kleiner als der von $w$ ist.

4.2

Zeitpunkt mit maximaler Differenz bestimmen

Definition von $d = w-h$ und der ersten beiden Ableitungsfunktionen von $d$ in dem CAS und anschließendes Anwenden des notwendigen und hinreichenden Kriteriums für Extremstellen liefert mit dem solve-Befehl des CAS:

$\(\begin{array}[t]{rll} d$

Die zugehörigen Beträge der Funktionswerte lauten:

$\begin{array}[t]{rll} \left| d(4,87)\right|&\approx& 3,49 \\[5pt] \left|d(16,10)\right|&\approx& 0,9 \end{array}$

Mathematische Berechnungen in einer Software mit Gleichungen und Ergebnissen.

Abb. 8: Bestimmung der Extrema mit dem CAS

Zum Zeitpunkt $t\approx 4,87$ ist die Differenz der Funktionswerte von $w$ und $h$ demnach dem Betrag nach am größten.