A – Wahlaufgaben

Analysis (Niveau 2)

Gegeben ist für jede positive reelle Zahl $a$ die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f_a$ mit $f_a(x)=a \cdot x^2.$

Die Abbildung zeigt den Graphen von $f_{\frac{1}{2}}$ sowie die Tangente $t$ an den Graphen von $f_{\frac{1}{2}}$ im Punkt $\left(4 \,\bigg \vert \, f_{\frac{1}{2}}(4)\right).$

5.1

Gib anhand der Abbildung eine Gleichung der Tangente $t$ an.

(1 BE)

5.2

Weise nach, dass für jeden Wert $u \in \mathbb{R}$ die Tangente an den Graphen von $f_a$ im Punkt $(u \mid f_a(u))$ die $y$ -Achse im Punkt $(0\mid -f_a(u))$ schneidet.

(4 BE)

Analysis (Niveau 2)

Für eine Zahl $a\gt0$ zeigt die Abbildung den Graphen $G$ der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x)=x^3-2 a x^2+a^2 x$ sowie die Gerade $h.$

$G$ und $h$ schneiden sich im Koordinatenursprung und $h$ verläuft senkrecht zur Tangente an $G$ im Koordinatenursprung. Zudem berühren sich $G$ und die $x$ -Achse im Punkt $(a \mid 0).$

Betrachtet wird dasjenige Rechteck, das die folgenden Eigenschaften besitzt:

Die beiden gemeinsamen Punkte von $G$ und der $x$ -Achse sind zwei benachbarte Eckpunkte des Rechtecks.
Eine Diagonale liegt auf der Gerade $h.$

Skizziere das Rechteck in der Abbildung und zeige, dass der Flächeninhalt des Rechtecks unabhängig von $a$ ist.

(5 BE)

Lineare Algebra / Analytische Geometrie (Niveau 2)

Die Mittelpunkte der Seitenflächen eines Würfels sind die Eckpunkte eines Oktaeders (vgl. Abbildung).

Die Eckpunkte $A(1\mid2\mid 1),$ $B,$ $C(-3\mid-6\mid 9)$ und $D$ des Oktaeders liegen in der Ebene $H$ mit der Gleichung $2 x_1+x_2+2 x_3=6.$

7.1

Weise nach, dass die Kantenlänge des Würfels 12 beträgt.

(2 BE)

7.2

Bestimme die Koordinaten eines der beiden Eckpunkte des Oktaeders, die nicht in $H$ liegen.

(3 BE)

Lineare Algebra / Analytische Geometrie (Niveau 2)

Das abgebildete Übergangsdiagramm zeigt die in einer Untersuchung ermittelten Kundenströme zwischen drei Supermarktketten von einem Monat zum nächsten.

Zu Beginn der Untersuchung hatte die Supermarktkette A $50\,000$ Kunden, B hatte $20\,000$ Kunden und C hatte $10\,000$ Kunden.

Einen Monat nach Beginn der Untersuchung hatte die Supermarktkette A $40\,000$ Kunden, B hatte $16\,000$ Kunden und C hatte $24\,000$ Kunden.

Uebergangsmatrix Kundemstroeme Hessen Mathe Abi 2024

8.1

Im Modell wird die Verteilung der Kunden auf die drei Supermarktketten durch Vektoren der Form $\pmatrix{a\\b\\c}$ dargestellt, wobei $a, b, c$ jeweils die Anzahl der Kunden der Supermarktketten A, B und C bezeichnen.

Die Entwicklung der Kundenverteilung von einem Monat zum nächsten kann mit Hilfe einer geeigneten Übergangsmatrix $M$ durch die Gleichung $\overrightarrow{v_{n+1}}=M\cdot \overrightarrow{v_{n}}$ beschrieben werden.

Berechne die resultierenden Werte für $x,y$ und $z$ (Abbildung) und gib die vollständige Übergangsmatrix $M$ an.

(3 BE)

8.2

Für die Matrix $M$ gilt $M^{20} \approx \pmatrix{0,444& 0,444& 0,444\\0,167& 0,167& 0,167 \\ 0,389 & 0,389 & 0,389 }.$

Erläutere, was dies im Sachzusammenhang für die langfristige Entwicklung der Kundenverteilung bedeutet.

(2 BE)

Stochastik (Niveau 2)

Das abgebildete Baumdiagramm stellt ein zweistufiges Zufallsexperiment mit den Ereignissen A und B sowie den zugehörigen Gegenereignissen dar.

Es gilt $P(B)=0,5.$

Berechne die Wahrscheinlichkeit $p$ und gib eine zu diesem Zufallsexperiment zugehörige Vierfeldertafel an.

$\big[$ zur Kontrolle: $p=0,4 \big]$

(5 BE)

Stochastik (Niveau 2)

Die sechs Seiten eines verfälschten Würfels sind mit den Zahlen $1, 2, 3, 4, 5, 6$ beschriftet.

Der Würfel ist so gefertigt, dass bei einmaligem Werfen die Wahrscheinlichkeit für das Erzielen der Zahl $k$ jeweils doppelt so groß ist wie die Wahrscheinlichkeit für das Erzielen der Zahl $k-1$ $(2 \leq k \leq 6).$

Der Würfel wird 6300-mal geworfen.

Leite den Erwartungswert der Summe der erzielten Zahlen rechnerisch her.

(5 BE)

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Analysis (Niveau 2)

5.1

Aus der Abbildung kann die Steigung $m=4$ sowie der $y$ -Achsenabschnitt der Tangente bei $y=-8$ abgelesen werden.

Eine Gleichung der Tangente ist somit $y=4x-8.$

5.2

$y$ -Koordinate angeben:

$f_a(u)=au^2$

Ableitung von $f_a$ bestimmen:

$\(f_a$

Die Steigung $m$ der Tangente an der Stelle $u$ ergibt sich also mit:

$\(m=f_a$

Einsetzen der Steigung sowie der Koordinaten des Punktes $(u\mid au^2)$ in die allgemeine Tangentengleichung liefert:

$\begin{array}[t]{rll} t: \quad y&=& m\cdot x+c& \\[5pt] au^2&=&2au\cdot u + c &\quad \scriptsize \mid\;-2au^2 \\[5pt] -au^2&=& c \end{array}$

Somit schneidet die Tangente die $y$ -Achse an der Stelle $c=-au^2=-f_a(u)$ und folglich im Punkt $(0\mid-f_a(u)).$

Analysis (Niveau 2)

Rechteck skizzieren

Unabhängigkeit des Flächeninhalts zeigen

Die Länge der Seite des Rechtecks, die auf der $x$ -Achse verläuft, ergibt sich durch die Differenz der $x$ -Werte der beiden Punkte, in denen $G$ die $x$ -Achse berührt, als $a.$ Für die Ableitung der Funktion $f$ gilt:

$\(f$

Da $h$ senkrecht zur Tangente an $G$ im Koordinatenursprung verläuft, ergibt sich mit Hilfe von $\(f$ die Steigung von $h$ als $\(-\frac{1}{f$ Somit folgt $h(x)=-\frac{1}{a^2}x.$ Für die Länge der kürzeren Rechteckseite folgt damit:

$\vert h(a)\vert = \left\vert-\dfrac{1}{a^2}\cdot a\right\vert = \dfrac{1}{a}$

Damit folgt für den Flächeninhalt $A$ des Rechtecks $A=a\cdot\frac{1}{a}=1,$ womit dieser unabhängig von $a$ ist.

Lineare Algebra / Analytische Geometrie (Niveau 2)

7.1

$\begin{array}[t]{rll} \left\vert\overrightarrow{AC}\right\vert&=&\left\vert\pmatrix{-3\\-6\\9}-\pmatrix{1\\2\\1}\right\vert \\[5pt] &=&\left\vert\pmatrix{-4\\-8\\8}\right\vert \\[5pt] &=&\sqrt{(-4)^2+(-8)^2+8^2} \\[5pt] &=&\sqrt{144} \\[5pt] &=&12 \end{array}$

7.2

Die beiden Eckpunkte, die nicht in $H$ liegen, sind die obere bzw. untere Spitze des Oktaeders und stehen senkrecht über bzw. unter dem Mittelpunkt $M$ der Fläche $ABCD.$

Der Ortsvektor des Mittelpunkts $M$ der Strecke $\overline{AC}$ ergibt sich zu:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OM}&=&\overrightarrow{OA}+\dfrac{1}{2}\cdot\overrightarrow{AC} \\[5pt] &=&\pmatrix{1\\2\\1}+\dfrac{1}{2}\cdot\pmatrix{-4\\-8\\8} \\[5pt] &=&\pmatrix{-1\\-2\\5} \end{array}$

Aus der Ebenengleichung von $H$ lässt sich zudem der folgende Normalenvektor ablesen:

$\overrightarrow{n}=\pmatrix{2\\1\\2}$

Für die Länge des Normalenvektors gilt $\vert\overrightarrow{n}\vert=\sqrt{2^2+1^2+2^2} =\sqrt{9}=3.$

Da die Kantenlänge des Würfels $12$ beträgt, ist der Abstand der Eckpunkte des Oktaeders zu $M$ durch $6$ gegeben. Ein möglicher Ortsvektor der oberen bzw. unteren Spitze ergibt sich somit zu:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OS}&=& \overrightarrow{OM}\pm 2\cdot\overrightarrow{n}\\[5pt] &=&\pmatrix{-1\\-2\\5} \pm 2\cdot\pmatrix{2\\1\\2} \\[5pt] \end{array}$

Mögliche Koordinaten für einen der beiden gesuchten Punkte sind somit gegeben durch $S_o(3\mid0\mid9)$ bzw. $S_u(-5\mid -4\mid 1).$

Lineare Algebra / Analytische Geometrie (Niveau 2)

8.1

Zu Beginn der Untersuchung gilt $a_0=50\,000,$ $b_0=20\,000$ und $c_0=10\,000.$

Einen Monat nach Untersuchungsbeginn gilt $a_1=40\,000,$ $b_1=16\,000$ und $c_1=24\,000.$

Dem Übergangsdiagramm kann die folgende Übergangsmatrix $M$ entnommen werden:

$M=\pmatrix{0,7 & 0,1 & 0,3\\ x & z& 0,1\\ 0,2 & y & 0,6}$

Da die Summe der Kundenströme für jede Supermarktkette und somit die Summe der Einträge jeder Spalte der Matrix 1 ergeben muss, folgt aus der ersten Spalte direkt:

$\begin{array}[t]{rll} 0,7+x+0,2&=& 1 &\quad \scriptsize \mid\; -0,9\\[5pt] x&=& 0,1 \end{array}$

Für $n=0$ gilt weiterhin:

$v_1= M\cdot v_0$

Umformungen anzeigen

Aus der zweiten Zeile folgt:

Rechenweg anzeigen

$z=0,5$

Aus der dritten Zeile ergibt sich zudem:

Rechenweg anzeigen

$y=0,4$

Mit den Werten $x=0,1,$ $y=0,4$ und $z=0,5$ ist die vollständige Übergangsmatrix $M$ somit gegeben durch:

$M=\pmatrix{0,7 & 0,1 & 0,3\\ 0,1 & 0,5& 0,1\\ 0,2 & 0,4 & 0,6}$

8.2

Die Matrix $M^{20}$ nähert sich einer konstanten Verteilung an, die darauf hinweist, dass die Kundenverteilung in der langfristigen Entwicklung stabil bleibt.

Alle Supermärkte werden langfristig also etwa den gleichen Anteil an Kunden halten.

Stochastik (Niveau 2)

Wahrscheinlichkeit berechnen

Es gilt:

$\begin{array}[t]{rll} P(B)&=& 0,5 & \\[5pt] P(A \cap B) + P(\overline{A}\cap B)&=& 0,5 & \\[5pt] p\cdot \dfrac{3}{4}+(1-p)\cdot \dfrac{1}{3} &=& 0,5 & \\[5pt] p\cdot \dfrac{3}{4}+1\cdot \dfrac{1}{3}-p\cdot \dfrac{1}{3} &=& 0,5 & \\[5pt] p\cdot \dfrac{9}{12}+ \dfrac{4}{12}-p\cdot \dfrac{4}{12} &=& \dfrac{6}{12} &\quad \scriptsize \,\bigg \vert \, \; -\dfrac{4}{12} \\[5pt] p\cdot \dfrac{5}{12}&=& \dfrac{2}{12} &\quad \scriptsize \,\bigg \vert \, \; \cdot 12 \\[5pt] p\cdot 5&=& 2 &\quad \scriptsize \,\bigg \vert \, \; :5 \\[5pt] p&=& 0,4 \end{array}$

Vierfeldertafel angeben

Aus dem Baumdiagramm ergibt sich:

$P(A \cap B)=0,4\cdot \dfrac{3}{4}=0,3$

$P(A \cap \overline{B})=0,4\cdot \dfrac{1}{4}=0,1$

$P(\overline{A} \cap B)=0,6\cdot \dfrac{1}{3}=0,2$

$P(\overline{A} \cap \overline{B})=0,6\cdot \dfrac{2}{3}=0,4$

Eintragen in eine Vierfeldertafel sowie ergänzen der Gesamtanteile liefert:

	$\color{#fff}{A}$	$\color{#fff}{\overline{A}}$	Gesamt
$\color{#fff}{B}$	$0,3$	$0,2$	$0,5$
$\color{#fff}{\overline{B}}$	$0,1$	$0,4$	$0,5$
Gesamt	$0,4$	$0,6$	$1$

Stochastik (Niveau 2)

1. Schritt: Wahrscheinlichkeiten bestimmen

$p_k$ beschreibt die Wahrscheinlichkeit, die Zahl $k$ zu werfen.

Da die Wahrscheinlichkeit für das Erzielen der Zahl $k$ jeweils doppelt so groß ist wie die Wahrscheinlichkeit für das Erzielen der Zahl $k-1$ gilt $p_k = 2p_{k-1}$ und somit ergibt sich:

$p_2 = 2p_1$

$p_3 = 2p_2 = 4p_1$

$p_4 = 2p_3 = 8p_1$

$p_5 = 2p_4 = 16p_1$

$p_6 = 2p_5 = 32p_1$

Es muss gelten:

$p_1= \dfrac{1}{63}$

Rechenweg anzeigen

Somit sind die Wahrscheinlichkeiten gegeben durch:

$p_1 = \dfrac{1}{63},$ $\quad p_2 = \dfrac{2}{63},$ $\quad p_3 = \dfrac{4}{63}, \quad$ $p_4 = \dfrac{8}{63}, \quad$ $p_5 = \dfrac{16}{63}, \quad$ $p_6 = \dfrac{32}{63}$

2. Schritt: Erwartungswert der Augensumme berechnen

$E(X) =\dfrac{107}{21}$

Rechenweg anzeigen

3. Schritt: Erwartungswert der Summe der erzielten Zahlen bestimmen

Da der Würfel 6300-mal geworfen wird, folgt:

$\begin{array}[t]{rll} E(\text{Summe})&=& 6\,300 \cdot E(X)&\\[5pt] &=& 6\,300 \cdot \dfrac{107}{21}&\\[5pt] &=& 32\,100 \end{array}$

Der Erwartungswert der Summe der erzielten Zahlen bei $6\,300$ Würfen beträgt also $32\,100.$

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