A1 - Analysis

In Material 1 ist ein gerader Kreiskegel dargestellt. Sein Volumen ist abhängig von der Höhe $h$ und der Grundfläche $G.$

1.1

Begründe unter Verwendung der Formel

$V_{\text{Kegel}}= \frac{1}{3}\cdot G \cdot h,$

dass das Volumen auch durch folgende Gleichung bestimmt werden kann, falls die Länge der Mantellinie $s$ vorgegeben ist:

$V_s(r) = \frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^2 \cdot \sqrt{s^2 - r^2},$ $0 \lt r \lt s$

(3 BE)

1.2

Bestimme $r$ in Abhängigkeit von $s$ so, dass das Volumen des geraden Kreiskegels maximal ist. Gib für diesen Fall sein Volumen und seine Höhe in Abhängigkeit von $s$ an.

(10 BE)

Gegeben sei ein gerader Kreiskegel mit $r = 12\;\text{cm}$ und $h = 6\sqrt{2}\;\text{cm}.$ Er kann durch die Rotation des Graphen der linearen Funktion $p$ mit $p(x) = \sqrt{2} \cdot x$ um die $x$ -Achse im Intervall $\left[ 0;6\sqrt{2}\right]$ erzeugt werden.

2.1

Der gerade Kreiskegel soll nun durch Verformungen eine geschwungene Form erhalten. Dazu soll im Intervall $\left[0; 6\sqrt{2}\right]$ der Graph einer trigonometrischen Funktion $k$ die geschwungene Form modellieren. Die trigonometrische Funktion $k$ besitzt die Funktionsgleichung

Rechenweg anzeigen

$k(x)=...$

und soll folgende Bedingungen erfüllen:

(1)

Die Periodenlänge beträgt $12 \sqrt{2}.$

(2)

Die Funktionswerte an den Intervallgrenzen des Intervalls stimmen mit denen von $p$ an diesen Stellen überein.

(3)

Der Wertebereich von $k$ umfasst das Intervall $[0;12].$

Die Graphen von $p$ und $k$ sind in Material 2 dargestellt.
Ermittle geeignete Werte für $A,$ $b,$ $L$ und $d$ so, dass der Graph von $k$ die drei genannten Bedingungen erfüllt.

(5 BE)

2.2

Bestimme das Volumen des durch Rotation des Graphen von $k$ um die $x$ -Achse im Intervall $\left[0;6\sqrt{2}\right]$ erzeugten geschwungenen Kegels.
Solltest du in Aufgabe 2.1 die Funktion $k$ nicht bestimmt haben, verwende stattdessen hier und im Folgenden die Ersatzfunktion $k_e$ mit

Rechenweg anzeigen

$k_e(x)=...$

(3 BE)

In den Zeilen (1) bis (5) ist ein Verfahren zur Ermittlung des unbestimmten Integrals $\int \left(\sin(x) \right)^2\;\mathrm dx$ angeführt. Erkläre die einzelnen Umformungsschritte:

Rechnung anzeigen

(9 BE)

Werden die durch Rotation der Graphen von $k$ und $p$ aus Aufgabe 2 um die $x$ -Achse im Intervall $\left[0;6\sqrt{2} \right]$ erzeugten Körper auf die Spitze gestellt und sind damit nach oben geöffnet, können sie als Gefäße aufgefasst werden. Sie sollen jeweils mit Wasser gefüllt werden. Das Wasser strömt in die Gefäße mit einer gleichmäßigen Geschwindigkeit von $18\cdot \pi\; \text{cm}^3$ pro Sekunde ein. Die Funktion $h_k$ soll die Füllhöhe (in $\text{cm}$ ) in dem durch Rotation des Graphen von $k$ erzeugten Gefäßes in Abhängigkeit von der Zeit $t$ (in Sekunden) beschreiben. Die Funktion $h_p$ soll die Füllhöhe in dem durch die Rotation des Graphen von $p$ erzeugten Gefäßes in Abhängigkeit von der Zeit $t$ (in Sekunden) beschreiben.

4.1

Zeige unter Benutzung eines CAS, dass $h_k(3) \approx 4,7$ gilt.

(5 BE)

4.2

Ermittle den Funktionsterm $h_p(t).$

(5 BE)

Material 1

Abb. 1

Material 2

Abb. 2

1.1

Der Radius $r,$ die Mantellinie $s$ und die Höhe $h$ des Kegels bilden gemeinsam ein rechtwinkliges Dreieck. Mit dem Satz des Pythagoras folgt:

$\sqrt{s^2-r^2}= h$

Vollständige Lösung anzeigen

Mit dieser Darstellung der Höhe und der Formel für den Flächeninhalt der kreisförmigen Grundfläche $G=\pi\cdot r^2$ folgt:

$V_s(r)=...$

Vollständige Lösung anzeigen

1.2

Radius für maximales Volumen bestimmen

1. Schritt: (Ableitungs)funktionen im CAS definieren

Der Befehl für eine Ableitung befinden sich im Taschenrechner am folgenden Ort:

Keyboard $\to$ Math2

Mathematische Gleichungen und Definitionen in einer Softwareanwendung.

Abb. 1: Definieren der Ableitungen

2. Schritt: Notwendiges Kriterium für Extremalstellen anwenden

Anwendung des notwendigen Kriteriums und umformen nach $r$ liefert das Ergebnis:

Dazu wird der solve-Befehl des CAS auf $\(V_s$ angewendet. Nach Beachtung, dass $r,s\gt 0$ sein müssen, liefert der CAS folgende Ergebnisse:

$r_1=0$ und $r_2= \dfrac{\sqrt{6}\cdot s}{3}$

Mathematische Gleichung zur Lösung einer Funktion mit Variablen.

Abb. 2: Gleichung lösen mit dem CAS

3. Schritt: Hinreichendes Kriterium für Extremalstellen anwenden

Durch Anwendung des hinreichenden Kriteriums für Extremalstellen folgt:

$\(\begin{array}[t]{rll} V_s$

Vollständige Lösung anzeigen

Mathematische Gleichungen und Ausdrücke in einem interaktiven Programm.

Abb. 3: Überprüfen mit dem CAS

Das maximale Volumen nimmt der Kreiskegel damit für $r= \dfrac{\sqrt{6}\cdot s}{3}$ an.

4. Schritt: Volumen und Höhe bestimmen

Mit Hilfe des CAS ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} V_s\left(\frac{\sqrt{6}\cdot s}{3}\right)&=&\frac{2\sqrt{3}\cdot s^3\cdot \pi}{27} \\[15pt] h_s&=& \frac{s}{\sqrt{3}}\\[5pt] \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Das maximale Volumen des Kegels beträgt somit $\dfrac{2\sqrt{3}\cdot s^3\cdot \pi}{27}$ und wird für $r_s=\dfrac{\sqrt{6}\cdot s}{3}$ und $h_s= \dfrac{s}{\sqrt{3}}$ angenommen.

2.1

Werte ermitteln

Vergleich der allgemeinen Sinusfunktion $f(x)$ $= a\cdot \sin\left(b\cdot (x-c)\right) +d$ mit $k(x)$ $= A\cdot \sin\left(\dfrac{2\cdot \pi}{L}\cdot (x+b) \right)+d$ liefert:

Periodenlänge $\(p$

Der Wertebereich beträgt $[0;12],$ die Amplitude von $k(x)$ , allgemein durch $a$ ausgedrückt, beträgt damit $A=6.$
Berechnung der restlichen Werte:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{2\pi}{\dfrac{2\cdot \pi}{L}} &=& 12\sqrt{2} \\[5pt] 2\pi \cdot \dfrac{L}{2\pi}&=& 12\sqrt{2} \\[5pt] L&=& 12\sqrt{2} \end{array}$

Zusammen mit $A=6$ folgt:

Funktionsgleichung anzeigen

$k(x)=6\cdot ...$

Da der Wertebereich von $k(x)$ durch das Intervall $[0;12]$ gegeben ist, muss der Graph um sechs Einheiten in positive $y$ -Richtung verschoben werden, es folgt $d=6$

Mit Hilfe von $k(0)=p(0) = 0$ wird nun $b$ bestimmt:

Rechenweg anzeigen

$b = -\dfrac{6}{\sqrt{2}}$

Es gilt somit insgesamt:

$A=6;$ $b= -\dfrac{6}{\sqrt{2}};$ $L= 12\sqrt{2}$ und $d=6.$

2.2

Volumen berechnen

Das für das Volumen eines Rotationskörpers benötigte Integral wird im CAS wie folgt aufgerufen:

Keyboard $\to$ Math2

Es folgt:

$\begin{array}[t]{rll} V&=& \pi \cdot \displaystyle\int_{0}^{6\sqrt{2}}\left(k(x)\right)^2\;\mathrm dx \\[5pt] &\approx& 1439,49 \; \text{[cm}^2] \end{array}$

Mathematische Gleichung und Berechnung in einem Computer-Algebra-System.

Abb. 4: Berechnung mit dem CAS

Das Volumen des durch Rotation des Graphen von $k$ um die $x$ -Achse erzeugten geschwungenen Kegels beträgt ca. $1439,49\,\text{cm}^2.$

Umformungsschritte erklären

(1)

Das Quadrat des Sinus wird als Multiplikation geschrieben.

(2)

Partielle Integration wird auf das Produkt angewendet.

(3)

Zunächst wird der Faktor $-1$ vor das Integral gezogen:

Rechnung anzeigen

Anschließend wird folgender trigonometrischer Zusammenhang verwendet:

Gleichung anzeigen

Insgesamt folgt damit:

Rechnung anzeigen

(4)

Zunächst wird auf der rechten Seite der Gleichung das Integral in zwei Integrale aufgeteilt und das Vordere berechnet:

Rechnung anzeigen

Durch Betrachtung der ganzen Gleichung und Addition des rechten Integrals folgt dann:

Rechnung anzeigen

(5)

Schlussendlich wird die Gleichung durch zwei dividiert und die Integrationskonstante $\frac{1}{2}C_1$ zu $C$ umbenannt.

4.1

Wert nachweisen

Pro Sekunde fließen $18\pi\;\text{cm}^3$ Wasser in das Gefäß. Nach drei Sekunden befinden sich damit $54\cdot \pi \;\text{cm}^3$ Wasser im Gefäß.

Die Berechnung der Höhe $h_k,$ sodass das Rotationsvolumen über $k$ im Intervall $[0;h_K]$ den Wert $V= 54\cdot \pi \;\text{cm}^3$ ergibt, liefert mit dem solve-Befehl des CAS:

Rechenweg anzeigen