A2 - Analysis

Das Moses Mabhida Stadion in Durban, Südafrika (Abbildung 1) ist eines der Stadien, in denen die Fußballweltmeisterschaft 2010 ausgetragen wurde. Das charakteristische Element ist der Stahlbogen, der das Stadion überspannt. Die äußere Bogenspannweite am Boden beträgt $340\,\text{m}$ und die Höhe im Scheitelpunkt $103\,\text{m}.$

Wähle für die folgenden Berechnungen das Koordinatensystem so, dass die Bodenlinie auf der $x$ -Achse und der höchste Punkt des Bogens auf der $y$ -Achse liegt.

Der äußere Rand des Bogens soll zum einen durch die Polynomfunktion $p$ mit $p(x)=a\cdot(x-x_{1})\cdot(x+x_{1})$ , zum anderen durch die Kosinusfunktion $c$ mit $c(x)=A\cdot\cos\left(\dfrac{2\pi}{T}\cdot x\right)$ beschrieben werden.

Bestimme die Parameter $a$ und $x_{1}$ sowie $A$ und $T$ so, dass die Graphen der Funktionen jeweils die im Text genannten Eigenschaften haben.

(1 BE)

Im Folgenden soll die Bogenform durch eine Funktion aus der Schar $k(x)=C-\dfrac{1}{2\lambda}\cdot\left(\mathrm e^{\lambda\cdot x}+\mathrm e^{-\lambda\cdot x}\right)$ beschrieben werden.

2.1

Untersuche die Bedeutung der Parameter $C\in\mathbb{R}$ und $\lambda\in\mathbb{R}\backslash\{0\}$ für die Graphen von $k.$

(6 BE)

2.2

Gib zwei Gleichungen an, um die Parameter $C$ und $\lambda$ so zu bestimmen, dass die Informationen aus dem einleitenden Text eingehalten werden.

(2 BE)

2.3

Es gelte $C=257,94$ und $\lambda=0,006454$ .

Bestimme nun, für welche Werte von $x$ sich die Funktionswerte von $k$ und $p$ bzw. diejenigen von $k$ und $c$ am stärksten unterscheiden, und gib die Unterschiede an diesen Stellen an.

Konnten $p$ und $c$ in Aufgabe 1 nicht bestimmt werden, können die folgenden Funktionen verwendet werden:

$p(x)=-0,0036x^{2}+104$ und $c(x)=103\cdot\cos(0,009x)$ .

(6 BE)

Für die Länge $L_{a}(x)$ des Bogens des Graphen einer Funktion $f$ von der Stelle $a$ bis zur Stelle $x$ wird im Folgenden die Formel $\(L_{a}$ hergeleitet:

Herleitung anzeigen

3.1

Erkläre die Herleitungsschritte aus der Aufgabenstellung bis einschließlich Zeile $(3).$

Beachte dazu die Zeichnung in Abbildung 2.

Material 2 Stahlbogen Hessen Mathe Abi 2014

Abbildung 2

(7 BE)

3.2

Zeige, dass $\(\mathop{\displaystyle\int}\limits_{\,}^{\,}\sqrt{1+\left(k$ $=\dfrac{1}{2\lambda}\cdot\left(\mathrm e^{\lambda\cdot x}-\mathrm e^{-\lambda\cdot x}\right)+C$ gilt.

Hinweis: Bilde zunächst auf beiden Seiten der Gleichung die Ableitung.

(8 BE)

3.3

Entlang des Stahlbogens verläuft auf einer Seite eine Bahn, mit der man vom Boden bis zur Aussichtsplattform im Scheitelpunkt des Bogens fahren kann.

Bestimme mit Hilfe der oben genannten Formel für $\(L_{a}$ und der Beziehung aus Aufgabe 3.2 die Länge der dabei zurückgelegten Strecke für $\lambda=0,00645.$

(5 BE)

Parameter der Polynomfunktion bestimmen

Der Parameter $x_1$ beschreibt den betrag des $x$ -Werts der Nullstellen des Graphen von $p.$ Da die äußere Bogenspannweite und somit der Abstand der Nullstellen $340 \,\text{LE}$ beträgt und der Bogen symmetrisch zur $y$ -Achse ist, folgen die Nullstellen mit $x=\pm 170.$

Der Parameter $x_1$ ist somit gegeben durch $x_1=170.$

Einsetzen der Koordinaten des Scheitelpunkts in $p(x)$ liefert nun:

$a \approx -0,0036$

Rechenweg anzeigen

Der Graph, der die Kurve mit den gegebenen Eigenschaften beschreibt, kann also durch die folgende Polynomfunktion $p$ beschrieben werden:

$p(x)=-0,0036\cdot x^2+ 104$

Rechenweg anzeigen

Parameter der Kosinusfunktion bestimmen

Da die Amplitude $A$ den größten Abstand der Funktion von der $x$ -Achse darstellt, entpricht der Wert von $A$ dem $y$ -Wert des Scheitelpunkts. Es folgt also $A=103.$

Die Bogenspannweite von $340 \,\text{m}$ entspricht einer halben Periodenlänge, es gilt also $T=2\cdot 340=680.$

Der Graph, der die Kurve mit den gegebenen Eigenschaften beschreibt, kann also durch die folgende Kosinusfunktion $c$ dargestellt werden:

$\begin{array}[t]{rll} c(x)&=& 103\cdot \cos\left(\dfrac{2\pi}{680}\cdot x\right)&\\[5pt] &=& 103\cdot \cos(0,009\cdot x) \end{array}$

2.1

Bedeutung des Parameters $\boldsymbol{C}$

Um den Einfluss des Parameters $C$ zu untersuchen, können verschiedene Werte für $C$ eingesetzt werden und die entsprechenden Graphen mit festgelegtem $\lambda$ mit Hilfe des CAS im $\texttt{Graph}$ -Modus gezeichnet werden.

Der Abbildung kann entnommen werden, dass der Parameter $C$ die Graphen der Scharfunktion entlang der $y$ -Achse verschiebt und somit Einfluss auf den $y$ -Achsenabschnitt hat, der dem Maximum der entsprechenden Funktion entspricht.

Der Parameter $C$ hat dabei keinen Einfluss auf die Streckung bzw. Stauchung der Graphen von $k.$

Grafik mit drei Kurven (f1, f2, f3) in einem Koordinatensystem.

Bedeutung des Parameters $\boldsymbol{\lambda}$

Durch Zeichnen verschiedener Graphen der Scharfunktion mit fixem Wert von $C$ und verschiedenen Werten von $\lambda$ mit Hilfe des CAS lässt sich schließen:

Umso größer der Wert von $\lambda$ ist, desto stärker sind die Graphen von $k$ gestaucht.

Der Parameter $\lambda$ streckt bzw. staucht somit die Graphen der Schar.

Zudem nimmt der $y$ -Achsenabschnitt mit zunehmendem Wert von $\lambda$ ab. $\lambda$ beeinflusst somit auch den Maximalwert der Funktionen der Schar.

Graph mit drei Funktionen (f1, f2, f3) in verschiedenen Farben auf einem Koordinatensystem.

2.2

Der einleitende Text liefert die folgenden Informationen über den Graphen:

Die $y$ -Achse soll so gewählt werden, dass der höchste Punkt des Bogens auf der $y$ -Achse liegt.
Die $x$ -Achse soll so gewählt werden, dass die Bodenlinie auf der $x$ -Achse liegt.
Der höchste Punkt liegt $103 \;\text{m}$ über dem Boden.
Die Bogenspannweite beträgt $103 \;\text{m}.$

Da der Scheitelpunkt auf der $y$ -Achse liegen soll und somit durch den Punkt $P_y(0|103)$ beschrieben werden kann, muss gelten:

$\begin{array}[t]{rll} k(0)&=& 103 & \\[5pt] C - \dfrac{1}{2 \lambda} \cdot \left( \mathrm e^{\lambda \cdot 0} + \mathrm e^{-\lambda \cdot 0}\right)&=& 103& \\[5pt] C - \dfrac{1}{2 \lambda} \cdot \left( 1 + 1\right)&=& 103 & \\[5pt] C - \dfrac{1}{\lambda}&=& 103 \end{array}$

Aufgrund der Symmetrie und der Bogenspannweite von $103 \;\text{m}$ folgen die Schnittstellen des Graphen mit der $x$ -Achse mit $x_1=-170$ und $x_2=170.$ Es gilt also:

$\begin{array}[t]{rll} k(170)&=& 0 & \\[5pt] C - \dfrac{1}{2 \lambda} \cdot \left( \mathrm e^{\lambda \cdot 170} + \mathrm e^{-\lambda \cdot 170}\right)&=& 0 & \\[5pt] \end{array}$

Zwei Gleichungen, um die Parameter $C$ und $\lambda$ zu bestimmen, sind somit gegeben durch:

Gleichungen anzeigen

2.3

1. Schritt: Differenzfunktionen aufstellen

Im CAS können die drei Funktionen $k(x), p(x)$ und $c(x)$ mit den gegebenen Werten aus der Aufgabenstellung definiert werden:

Gleichungen anzeigen

Die Differenzfunktionen ergeben sich nun zu:

$\begin{array}[t]{rll} d_1(x) &=& \left|p(x) - k(x)\right|& \\[5pt] d_2(x) &=& \left|c(x) - k(x)\right| \end{array}$

Mathematische Formeln und Berechnungen in einer Softwareanwendung.

2. Schritt: Extremstellen bestimmen

Mit dem CAS können nun die Extremstellen der beiden Differenzfunktionen berechnet werden oder alternativ graphisch bestimmt werden:

Für $d_1$ ergeben sich:

$\begin{array}[t]{rll} x_1&=& -120,8 & \\[5pt] x_2&=& 0 & \\[5pt] x_3&=& 120,8 \end{array}$

Für $d_2$ ergeben sich:

$\begin{array}[t]{rll} x_4&=& -119,49 & \\[5pt] x_5&=& 0 & \\[5pt] x_6&=& 119,49 \end{array}$

3. Schritt: Funktionswerte berechnen

Einsetzen der $x$ -Werte in $d_1$ bzw. $d_2$ liefert:

Tabelle mit numerischen Werten und Funktionen d1 und d2.

Somit gilt:

Der Abstand zwischen den Graphen von $p$ und $k$ ist an den Stellen $x_1 = -120,8$ und $x_3 = 120,8$ mit $2,48\,\text{m}$ maximal.

Der Abstand zwischen den Graphen von $c$ und $k$ ist hingegen an den Stellen
$x_4 = -119,49$ und $x_6 = 119,49$ mit $8,25\,\text{m}$ maximal.

3.1

1. Schritt:

$x_0$ ist die $x$ -Koordinate von $P$ und $\Delta x$ beschreibt die Differenz der $x$ -Werte von $P$ und $Q.$
Der Wert $x_0+\Delta x$ stellt somit die $x$ -Koordinate von $Q$ dar.

Die Länge des Kurvenbogens $\overset{\displaystyle\frown}{PQ}$ ist folglich die Differenz von $\overset{\displaystyle\frown}{AQ}$ und $\overset{\displaystyle\frown}{AP}$ .

Es gilt also:

$\begin{array}[t]{rll} \overset{\displaystyle\frown}{PQ}&=&\overset{\displaystyle\frown}{AQ} -\overset{\displaystyle\frown}{AP}& \\[5pt] &=& L_a(x_0+\Delta x)-L_a(x_0) \end{array}$

2. Schritt:

In diesem Schritt wird die Länge der Strecke von $P$ zu $Q$ berechnet und mit $\overset{\displaystyle\frown}{PQ}$ verglichen.

Es gilt:

$\left|\overline{PQ}\right|=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$ .

Diese Strecke stellt eine Sekante dar und kann maximal so groß wie der Bogen $\overset{\displaystyle\frown}{PQ}$ sein.

Somit gilt:

$\left|\overline{PQ}\right|\leq\overset{\displaystyle\frown}{PQ}$

3. Schritt:

Die Gleichung wir auf beiden Seiten mit $\Delta x$ dividiert:

Rechnung anzeigen

Auf der rechten Seite ergibt sich dadurch der Differenzenquotient der Funktion $L_a.$

3.2

Einsetzen von $\(k$ in den linken Term liefert:

Gleichung anzeigen

Auf beiden Seiten kann nun die Ableitung gebildet werden. Hierbei entspricht die Ableitung eines Integrals der Funktion selbst.

Auflösen der Gleichung liefert nun:

Rechnung anzeigen

Da nun auf beiden Seiten derselbe Ausdruck steht, folgt, dass die Gleichung gilt.

3.3

Die Länge $L_a(x)$ des Stahlbogens kann mit folgender Formel berechnet werden:

$L_a(x)= \dfrac{1}{2\lambda}\cdot\left(\mathrm e^{\lambda\cdot x}-\mathrm e^{-\lambda\cdot x}\right)+C$

Rechenweg anzeigen

Der Scheitelpunkt liegt bei $x=170.$

Einsetzen von $\lambda=0,00645$ und den Intervallgrenzen $x_1=-170$ und $x_2=0$ ergibt:

Rechnung anzeigen

Die Länge der von der Bahn zurückgelegten Strecke beträgt somit etwa $206 \; \text{m}.$

Parameter der Polynomfunktion bestimmen

Der Parameter $x_1$ ist somit gegeben durch $x_1=170.$

Einsetzen der Koordinaten des Scheitelpunkts in $p(x)$ liefert nun:

$a \approx -0,0036$

Rechenweg anzeigen

Der Graph, der die Kurve mit den gegebenen Eigenschaften beschreibt, kann also durch die folgende Polynomfunktion $p$ beschrieben werden:

$p(x)=-0,0036\cdot x^2+ 104$

Rechenweg anzeigen

Parameter der Kosinusfunktion bestimmen

Da die Amplitude $A$ den größten Abstand der Funktion von der $x$ -Achse darstellt, entpricht der Wert von $A$ dem $y$ -Wert des Scheitelpunkts. Es folgt also $A=103.$

Die Bogenspannweite von $340 \,\text{m}$ entspricht einer halben Periodenlänge, es gilt also $T=2\cdot 340=680.$

Der Graph, der die Kurve mit den gegebenen Eigenschaften beschreibt, kann also durch die folgende Kosinusfunktion $c$ dargestellt werden:

$\begin{array}[t]{rll} c(x)&=& 103\cdot \cos\left(\dfrac{2\pi}{680}\cdot x\right)&\\[5pt] &=& 103\cdot \cos(0,009\cdot x) \end{array}$

2.1

Bedeutung des Parameters $\boldsymbol{C}$

Der Parameter $C$ hat dabei keinen Einfluss auf die Streckung bzw. Stauchung der Graphen von $k.$

Grafik mit mathematischen Kurven und Analysewerkzeugen auf einem Computerbildschirm.

Bedeutung des Parameters $\boldsymbol{\lambda}$

Durch Zeichnen verschiedener Graphen der Scharfunktion mit fixem Wert von $C$ und verschiedenen Werten von $\lambda$ mit Hilfe des CAS lässt sich schließen:

Umso größer der Wert von $\lambda$ ist, desto stärker sind die Graphen von $k$ gestaucht.

Der Parameter $\lambda$ streckt bzw. staucht somit die Graphen der Schar.

Zudem nimmt der $y$ -Achsenabschnitt mit zunehmendem Wert von $\lambda$ ab. $\lambda$ beeinflusst somit auch den Maximalwert der Funktionen der Schar.

Grafische Darstellung einer mathematischen Analyse mit Achsen und Funktionen.

2.2

Der einleitende Text liefert die folgenden Informationen über den Graphen:

Die $y$ -Achse soll so gewählt werden, dass der höchste Punkt des Bogens auf der $y$ -Achse liegt.
Die $x$ -Achse soll so gewählt werden, dass die Bodenlinie auf der $x$ -Achse liegt.
Der höchste Punkt liegt $103 \;\text{m}$ über dem Boden.
Die Bogenspannweite beträgt $103 \;\text{m}.$

Da der Scheitelpunkt auf der $y$ -Achse liegen soll und somit durch den Punkt $P_y(0|103)$ beschrieben werden kann, muss gelten:

Aufgrund der Symmetrie und der Bogenspannweite von $103 \;\text{m}$ folgen die Schnittstellen des Graphen mit der $x$ -Achse mit $x_1=-170$ und $x_2=170.$ Es gilt also:

$\begin{array}[t]{rll} k(170)&=& 0 & \\[5pt] C - \dfrac{1}{2 \lambda} \cdot \left( \mathrm e^{\lambda \cdot 170} + \mathrm e^{-\lambda \cdot 170}\right)&=& 0 & \\[5pt] \end{array}$

Zwei Gleichungen, um die Parameter $C$ und $\lambda$ zu bestimmen, sind somit gegeben durch:

Gleichungen anzeigen

2.3

1. Schritt: Differenzfunktionen aufstellen

Im CAS können die drei Funktionen $k(x), p(x)$ und $c(x)$ mit den gegebenen Werten aus der Aufgabenstellung definiert werden:

Gleichungen anzeigen

Code-Editor mit mathematischen Funktionen und Definitionen.

Die Differenzfunktionen ergeben sich nun zu:

$\begin{array}[t]{rll} d_1(x) &=& \left|p(x) - k(x)\right|& \\[5pt] d_2(x) &=& \left|c(x) - k(x)\right| \end{array}$

Bildschirmansicht eines interaktiven Editors mit mathematischen Ableitungen.

Screenshot eines mathematischen Editoren mit Ableitungen und Definitionen.

2. Schritt: Extremstellen bestimmen

Mit dem CAS können nun die Extremstellen der beiden Differenzfunktionen berechnet werden oder alternativ graphisch bestimmt werden:

Für $d_1$ ergeben sich:

$\begin{array}[t]{rll} x_1&=& -120,8 & \\[5pt] x_2&=& 0 & \\[5pt] x_3&=& 120,8 \end{array}$

Für $d_2$ ergeben sich:

$\begin{array}[t]{rll} x_4&=& -119,49 & \\[5pt] x_5&=& 0 & \\[5pt] x_6&=& 119,49 \end{array}$

3. Schritt: Funktionswerte berechnen

Einsetzen der $x$ -Werte in $d_1$ bzw. $d_2$ liefert:

Tabelle mit Werten und Berechnungen in einem interaktiven Editierfenster.

Somit gilt:

Der Abstand zwischen den Graphen von $p$ und $k$ ist an den Stellen $x_1 = -120,8$ und $x_3 = 120,8$ mit $2,48\,\text{m}$ maximal.

Der Abstand zwischen den Graphen von $c$ und $k$ ist hingegen an den Stellen
$x_4 = -119,49$ und $x_6 = 119,49$ mit $8,25\,\text{m}$ maximal.

3.1

1. Schritt:

$x_0$ ist die $x$ -Koordinate von $P$ und $\Delta x$ beschreibt die Differenz der $x$ -Werte von $P$ und $Q.$
Der Wert $x_0+\Delta x$ stellt somit die $x$ -Koordinate von $Q$ dar.

Die Länge des Kurvenbogens $\overset{\displaystyle\frown}{PQ}$ ist folglich die Differenz von $\overset{\displaystyle\frown}{AQ}$ und $\overset{\displaystyle\frown}{AP}$ .

Es gilt also:

$\begin{array}[t]{rll} \overset{\displaystyle\frown}{PQ}&=&\overset{\displaystyle\frown}{AQ} -\overset{\displaystyle\frown}{AP}& \\[5pt] &=& L_a(x_0+\Delta x)-L_a(x_0) \end{array}$

2. Schritt:

In diesem Schritt wird die Länge der Strecke von $P$ zu $Q$ berechnet und mit $\overset{\displaystyle\frown}{PQ}$ verglichen.

Es gilt:

$\left|\overline{PQ}\right|=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$ .

Diese Strecke stellt eine Sekante dar und kann maximal so groß wie der Bogen $\overset{\displaystyle\frown}{PQ}$ sein.

Somit gilt:

$\left|\overline{PQ}\right|\leq\overset{\displaystyle\frown}{PQ}$

3. Schritt:

Die Gleichung wir auf beiden Seiten mit $\Delta x$ dividiert:

Rechnung anzeigen

Auf der rechten Seite ergibt sich dadurch der Differenzenquotient der Funktion $L_a.$

3.2

Einsetzen von $\(k$ in den linken Term liefert:

Gleichung anzeigen

Auf beiden Seiten kann nun die Ableitung gebildet werden. Hierbei entspricht die Ableitung eines Integrals der Funktion selbst.

Auflösen der Gleichung liefert nun:

Rechnung anzeigen

Da nun auf beiden Seiten derselbe Ausdruck steht, folgt, dass die Gleichung gilt.

3.3

Die Länge $L_a(x)$ des Stahlbogens kann mit folgender Formel berechnet werden:

$L_a(x)= \dfrac{1}{2\lambda}\cdot\left(\mathrm e^{\lambda\cdot x}-\mathrm e^{-\lambda\cdot x}\right)+C$

Rechenweg anzeigen

Der Scheitelpunkt liegt bei $x=170.$

Einsetzen von $\lambda=0,00645$ und den Intervallgrenzen $x_1=-170$ und $x_2=0$ ergibt:

Rechnung anzeigen

Die Länge der von der Bahn zurückgelegten Strecke beträgt somit etwa $206 \; \text{m}.$