B2 - Analytische Geometrie

Ein Baugrundstück in Hanglage besitzt die Eckpunkte $A(0\mid0\mid-1)$ , $B(40\mid8\mid3)$ , $C(35\mid32\mid5)$ und $D(-5\mid24\mid1)$ . Modellhaft soll angenommen werden, dass das Grundstück in einer Ebene $L$ liegt.
(Alle Koordinaten sind in Metern angegeben.)

1.1

Gib eine Parameterform der Ebene $L$ an und bestimme eine Koordinatengleichung dieser Ebene.

(5 BE)

1.2

Zeige durch Rechnung, dass das Viereck $ABCD$ ein Rechteck ist.

(3 BE)

1.3

In der Planungsskizze (Material) erscheint das Viereck $ABCD$ als Viereck $A_0B_0C_0D_0$ , das durch eine senkrechte Projektion in die $x$ - $y$ -Ebene entsteht. Dadurch ändern sich u.a. die Seitenlängen des Vierecks. Bestätige dies rechnerisch beispielhaft an den Seiten $\overline{AB}$ und $\overline{A_0B_0}$ .

(3 BE)

Mithilfe eines Baggers wird eine Baugrube ausgehoben, sodass die rechteckige Grundfläche des Hauses, das auf dem Grundstück gebaut werden soll, freigelegt wird. Diese liegt in der $x$ - $y$ -Ebene und besitzt die Eckpunkte $E(20\mid5\mid0)$ , $F$ , $G(23\mid22\mid0)$ und $H(13\mid12\mid0)$ (Material).

2.1

Berechne die Koordinaten des Eckpunktes $F$ .

(2 BE)

2.2

Berechne den spitzen Winkel, um welchen die Grundfläche des Hauses in der $x$ - $y$ -Ebene gedreht werden müsste, damit die längere Seite der Grundfläche in der Planungsskizze parallel zur Strecke $A_0B_0$ verläuft.

(3 BE)

Lineare Abbildungen in der Ebene wie z.B. Spiegelungen an den Koordinatenachsen oder Drehungen um den Koordinatenursprung lassen sich durch 2x2-Matrizen darstellen. Die Verkettung solcher Abbildungen entspricht dann dem Produkt der jeweiligen Matrizen. Lässt man z.B. einen Punkt $P(x\mid y)$ mit dem Drehwinkel $\alpha$ gegen den Uhrzeigersinn um den Koordinatenursprung rotieren, so erhält man als Ergebnis den Bildpunkt $\(P$ durch folgende Gleichung:

$\(\begin{pmatrix} x$ mit der Rotationsmatrix $R_\alpha=\begin{pmatrix} \cos\,\alpha & -\sin\,\alpha\\ \sin\,\alpha& \cos\,\alpha \end{pmatrix}$

3.1

Der Punkt $P(10\mid 5)$ wird mit dem Drehwinkel $\alpha=90^{\circ}$ um den Ursprung gedreht. Berechne die Koordinaten des Bildpunktes $\(P$ mit Hilfe der Rotationsmatrix $R_{90^{\circ}}$ und bestätige durch Rechnung, dass eine Drehung von $P$ um $180^{\circ}$ , also die Verkettung zweier $90^{\circ}$ -Drehungen, durch das Produkt $R_{90^{\circ}}\cdot\;R_{90^{\circ}}$ beschrieben wird.

(3 BE)

Da die Verschiebung eines Punktes $P(x\mid y)$ in der $x$ - $y$ -Ebene nicht durch eine 2x2-Matrix darstellbar ist, lässt sich auch die Verkettung einer Verschiebung und einer linearen Abbildung in der Ebene nicht als Produkt von 2x2-Matrizen beschreiben. Die Darstellung einer solchen Verkettung als Matrizenprodukt wird jedoch dann möglich, wenn man statt der zweidimensionalen Vektoren und Matrizen die Darstellungsform der sogenannten „homogenen Koordinaten“ verwendet, bei der die zweidimensionalen Vektoren und Matrizen folgendermaßen um zusätzliche Koordinaten ergänzt werden:

Aus dem Vektor $\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}$ wird der Vektor $\begin{pmatrix} x\\y\\1 \end{pmatrix}$ , aus $\(\begin{pmatrix} x$ wird $\begin{pmatrix} x‘\\y‘\\1 \end{pmatrix}$
und die 2x2-Matrix $\begin{pmatrix} a&b\\c&d \end{pmatrix}$ einer linearen Abbildung wird zur 3x3-Matrix $\begin{pmatrix} a&b&0\\c&d&0\\0&0&1 \end{pmatrix}$ .

3.2

Wie in Aufgabe 3.1 wird der Punkt $P(10\mid5)$ mit dem Drehwinkel $\alpha=90^{\circ}$ um den Ursprung gedreht. Berechne nun die Koordinaten $\(x$ und $\(y$ des Bildpunktes $\(P$ unter Verwendung homogener Koordinaten mit Hilfe der entsprechenden Rotationsmatrix.

(2 BE)

3.3

Zeige, dass unter Verwendung homogener Koordinaten die Matrix $T=\begin{pmatrix} 1&0&s\\0&1&t\\0&0&1 \end{pmatrix}$ die Verschiebung eines Punktes $P(x\mid y)$ zum Punkt $\(P$ in der Ebene beschreibt.

(4 BE)

3.4

Unter Verwendung der $x$ - und der $y$ -Koordinate des Punktes $G$ erhält man den Punkt $G^*(23\mid22)$ . Aus dem Ortsvektor des Punktes $G^*$ wird bei Verwendung homogener Koordinaten der Vektor $\begin{pmatrix} 23\\22\\1 \end{pmatrix}$ . Erläutere die geometrische Bedeutung folgender Gleichung und der darin enthaltenen Teilausdrücke:

$\begin{pmatrix} 13\\26,1421\\1 \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} 1&0&13\\0&1&12\\0&0&1 \end{pmatrix}$ $\cdot\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\sqrt{2}&-\frac{1}{2}\sqrt{2}&0\\\frac{1}{2}\sqrt{2}&\frac{1}{2}\sqrt{2}&0\\0&0&1\end{pmatrix}$ $\cdot\begin{pmatrix} 1&0&-13\\0&1&-12\\0&0&1 \end{pmatrix}$ $\cdot\begin{pmatrix} 23\\22\\1 \end{pmatrix}$

(5 BE)

Material

Planungsskizze

Hinweis:
Die positive $z$ -Achse zeigt senkrecht zur $x$ - $y$ -Ebene in Richtung des Betrachters.

1.1

Ebenengleichung in Parameterform aufstellen

Rechenweg anzeigen

$L: \quad \overrightarrow{x} = \dots$

Koordinatengleichung angeben

Normalenvektor berechnen:

$\overrightarrow{n}$ und die Koordinaten des Punktes $A$ in die allgemeine Koordinatengleichung einsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} L:\quad n_1x + n_2y +n_3z &=& d \\[5pt] -80\cdot 0 -100\cdot 0 + 1.000\cdot (-1)&=& d \\[5pt] -1.000&=&d \end{array}$

Daraus folgt:

$L:\quad -80x -100y + 1.000z = -1.000$

1.2

Nachweisen, dass es sich um ein Rechteck handelt

Damit es sich um ein Rechteck müssen folgende Eigenschaften erfüllt sein:

Zwei gegenüberliegende Vektoren sind gleich
Zwei benachbarte Vektoren sind orthogonal zueienander

Es reicht aus lediglich zwei gegenüberliegende Vektoren auf Gleichheit zu überprüfen, denn aufgrund der Orthogonalitätsbeziehung müssen die anderen sich gegenüberliegende Seiten dann auch gleich sein.

1. Schritt: Zeigen, dass zwei gegenüberliegende Vektoren gleich sind

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AB}&=&\overrightarrow{DC} &\quad \\[5pt] \pmatrix{40-0 \\ 8-0 \\ 3-(-1)}&=&\pmatrix{35-(-5) \\ 32-24 \\ 5-1}\\[5pt] \pmatrix{40 \\ 8 \\ 4}&=&\pmatrix{40 \\ 8 \\ 4} \end{array}$

2. Schritt: Zeigen, dass zwei benachbarte Vektoren orthogonal zueinander sind

$\overrightarrow{AD}=\pmatrix{(-5)-0 \\ 24-0 \\ 1-(-1)} = \pmatrix{-5 \\ 24 \\ 2}$

Berechnung des Skalarproduktes $\overrightarrow{AB}$ $\cdot\overrightarrow{AD}$ mit dem CAS liefert:

$\overrightarrow{AB}$ $\cdot\overrightarrow{AD}$ $=0$

Bildschirmansicht eines mathematischen Programms mit Matrixdarstellung.

Da das Skalarprodukt Null ist liegen die beiden Vektoren orthogonal zueinander und da auch die gegenüberliegenden Seiten gleich lang sind, muss es sich bei dem Viereck $ABCD$ um ein Rechteck handeln.

1.3

Vektorlänge der Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{A_0B_0}$ berechnen

Da es sich bei dem Vektor $\overrightarrow{A_0B_0}$ um eine Projektion des Vektors $\overrightarrow{AB}$ in die $x$ - $y$ -Ebene handelt, ergibt sich $\overrightarrow{A_0B_0}$ aus $\overrightarrow{AB}$ so, dass die $z$ -Koordinate des Vektors $\overrightarrow{AB}$ gleich Null gesetzt wird. Mit Hilfe des CAS folgt für die Längen der Vektoren:

$|\overrightarrow{AB}|$ $= 4\sqrt{105}$

$|\overrightarrow{A_0B_0}|$ $= 8\sqrt{26}$

Mathematische Berechnungen mit Vektoren und Normen in einer Softwareanwendung.

Der Vektor $\overrightarrow{AB}$ hat die Länge $4\sqrt{105}$ und der Vektor $\overrightarrow{A_0B_0}$ hat die Länge $8\sqrt{26}$ , wodurch ersichtlich wird, dass sich durch die senkrechte Projektion die Seitenlängen ändern.

2.1

Koordinaten des Eckpunktes $F$ berechnen

Hierfür wird zuerst der Vektor $\overrightarrow{HG}$ berechnet und anschließend zu dem Ortsvektor von $E$ addiert.

$\overrightarrow{HG}=\pmatrix{23-13 \\ 22-12 \\ 0-0}=\pmatrix{10 \\ 10 \\ 0}$

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OF}&=&\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{HG} \\ &=&\pmatrix{20 \\ 5 \\ 0}+\pmatrix{10 \\ 10 \\ 0}=\pmatrix{30 \\ 15 \\ 0} \end{array}$

Somit lauten die Koordinaten des Punktes $F(30 \mid 15\mid 0)$ .

2.2

Winkel zwischen den Vektoren $\overrightarrow{A_0B_0}$ und $\overrightarrow{EF}$ berechnen

Für die weiteren Berechnungen heißt der Winkel $\alpha$ .

$\begin{array}[t]{rll} \cos(\alpha)&=&\dfrac{\overrightarrow{EF} \cdot \overrightarrow{A_0B_0}}{|\overrightarrow{EF}\cdot|\overrightarrow{A_0B_0}|} \\[5pt] &=&\dfrac{\pmatrix{10 \\ 10 \\ 0}\cdot \pmatrix{40 \\ 8 \\ 0}}{\left\vert\pmatrix{10 \\ 10 \\ 0}\right\vert\cdot\left\vert\pmatrix{40 \\ 8 \\ 0}\right\vert} \\[5pt] &=&\dfrac{10\cdot40+10\cdot8+0\cdot0}{\sqrt{200}\cdot\sqrt{1664}}\\[5pt] &=&\dfrac{480}{\sqrt{200}\cdot\sqrt{1664}}\\[5pt] &=& 0,83\\[5pt] \alpha&=& \cos^{-1}(0,83) = 33,9^{\circ} \end{array}$

Das bedeutet, dass die Grundfläche des Hauses um $33,9^{\circ}$ gedreht werden muss.

3.1

Koordinaten Bildpunktes $\(P$ berechnen

Die Berechnung von $\begin{pmatrix} \cos(90^{\circ}) & -\sin(90^{\circ}) \\ \sin(90^{\circ}) & \cos(90^{\circ})\end{pmatrix}$ $\cdot \pmatrix{ 10 \\ 5}$ mit Hilfe des CAS liefert für den Punkt $\(P$

$\(OP$ $= \pmatrix{-5 \\ 10}$

Mathematische Berechnung auf einem Taschenrechner mit trigonometrischen Funktionen.

Somit lauten die Koordinaten des Punktes $\(P$ .

Bestätigen, dass eine Drehung von $P$ um 180 $^{\circ}$ durch das Produkt $R_{90^{\circ}} \cdot R_{90^{\circ}}$ beschrieben wird:

Rechenweg anzeigen

$\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}$

3.2

Koordinaten des Bildpunktes $\(P$ berechnen unter Verwendung homogener Koordinaten

Rechenweg anzeigen

$\pmatrix{ x‘ \\ y‘\\ 1} = \pmatrix{-5 \\ 10\\ 1}$

Daraus folgt: $\(P$

3.3

Koordinaten des neuen Punktes $\(P$ mit homogener Koordinaten berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{x‘ \\ y‘ \\ 1}&=& T \cdot \pmatrix{x \\ y \\ 1} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} 1 & 0 & s \\ 0 & 1 & t \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \pmatrix{x \\ y \\ 1} \\[5pt] &=& \pmatrix{1\cdot x+0\cdot y+s\cdot1 \\ 0\cdot x+1\cdot y+t\cdot1 \\ 0\cdot x+0\cdot y+1\cdot1}\\[5pt] &=& \pmatrix{x+s \\ y+t \\ 1} \end{array}$

Da die $z$ -Koordinate 1 bleibt, und die $x$ und $y$ Koordinaten zu den aus der Aufgabenstellung übereinstimmen, handelt es sich um die Verschiebung in der Ebene.

3.4

Gleichung erläutern

Gleichung anzeigen

$\pmatrix{13 \\ 23,1421 \\ 1}= \dots$

Teil $A$ der Gleichung beschreibt eine Verschiebung des Punktes $G^*$ um 13 Einheiten in $x$ -Richtung und um 12 Einheiten in $y$ -Richtung, da es sich hierbei um die Matrix $T$ handelt mit $s=13$ und $t=12.$

Teil $B$ beschreibt die Drehung eines Punktes um 45 $^{\circ}$ , da $\sin(45)=\cos(45)=\dfrac{1}{2}\sqrt{2}$ ist.

Teil $C$ bewirkt eine Verschiebung um -13 Einheiten in $x$ -Richtung und -12 Einheiten in $y$ -Richtung.

Teil $D$ ist der Ortsvektor des Punktes $G^*$ , auf welchen die Verschiebungen und Rotationen angewendet werden.

Zusammenfassend wird der Punkt $G^*$ insgesamt um $45^{\circ}$ in der $x$ - $y$ -Ebene gegen den Uhrzeigersinn um den Rotationsmittelpunkt $H^*(13\mid12)$ gedreht.

1.1

Ebenengleichung in Parameterform aufstellen

Rechenweg anzeigen

$L: \quad \overrightarrow{x} = \dots$

Koordinatengleichung angeben

Normalenvektor berechnen:

$\overrightarrow{n}$ und die Koordinaten des Punktes $A$ in die allgemeine Koordinatengleichung einsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} L:\quad n_1x + n_2y +n_3z &=& d \\[5pt] -80\cdot 0 -100\cdot 0 + 1.000\cdot (-1)&=& d \\[5pt] -1.000&=&d \end{array}$

Daraus folgt:

$L:\quad -80x -100y + 1.000z = -1.000$

1.2

Nachweisen, dass es sich um ein Rechteck handelt

Damit es sich um ein Rechteck müssen folgende Eigenschaften erfüllt sein:

Zwei gegenüberliegende Vektoren sind gleich
Zwei benachbarte Vektoren sind orthogonal zueienander

1. Schritt: Zeigen, dass zwei gegenüberliegende Vektoren gleich sind

2. Schritt: Zeigen, dass zwei benachbarte Vektoren orthogonal zueinander sind

$\overrightarrow{AD}=\pmatrix{(-5)-0 \\ 24-0 \\ 1-(-1)} = \pmatrix{-5 \\ 24 \\ 2}$

Berechnung des Skalarproduktes $\overrightarrow{AB}$ $\cdot\overrightarrow{AD}$ mit dem CAS liefert:

$\overrightarrow{AB}$ $\cdot\overrightarrow{AD}$ $=0$

Mathematische Berechnung in einer Software mit Vektoren und einem Punktprodukt.

1.3

Vektorlänge der Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{A_0B_0}$ berechnen

$|\overrightarrow{AB}|$ $= 4\sqrt{105}$

$|\overrightarrow{A_0B_0}|$ $= 8\sqrt{26}$

Mathematische Berechnung mit Normen und Vektoren in einer Softwareanwendung.

2.1

Koordinaten des Eckpunktes $F$ berechnen

Hierfür wird zuerst der Vektor $\overrightarrow{HG}$ berechnet und anschließend zu dem Ortsvektor von $E$ addiert.

$\overrightarrow{HG}=\pmatrix{23-13 \\ 22-12 \\ 0-0}=\pmatrix{10 \\ 10 \\ 0}$

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OF}&=&\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{HG} \\ &=&\pmatrix{20 \\ 5 \\ 0}+\pmatrix{10 \\ 10 \\ 0}=\pmatrix{30 \\ 15 \\ 0} \end{array}$

Somit lauten die Koordinaten des Punktes $F(30 \mid 15\mid 0)$ .

2.2

Winkel zwischen den Vektoren $\overrightarrow{A_0B_0}$ und $\overrightarrow{EF}$ berechnen

Für die weiteren Berechnungen heißt der Winkel $\alpha$ .

Das bedeutet, dass die Grundfläche des Hauses um $33,9^{\circ}$ gedreht werden muss.

3.1

Koordinaten Bildpunktes $\(P$ berechnen

Die Berechnung von $\begin{pmatrix} \cos(90^{\circ}) & -\sin(90^{\circ}) \\ \sin(90^{\circ}) & \cos(90^{\circ})\end{pmatrix}$ $\cdot \pmatrix{ 10 \\ 5}$ mit Hilfe des CAS liefert für den Punkt $\(P$

$\(OP$ $= \pmatrix{-5 \\ 10}$

Mathematische Berechnung mit trigonometrischen Funktionen und Matrizen in einem Software-Interface.

Somit lauten die Koordinaten des Punktes $\(P$ .

Bestätigen, dass eine Drehung von $P$ um 180 $^{\circ}$ durch das Produkt $R_{90^{\circ}} \cdot R_{90^{\circ}}$ beschrieben wird:

Rechenweg anzeigen

$\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}$

3.2

Koordinaten des Bildpunktes $\(P$ berechnen unter Verwendung homogener Koordinaten

Rechenweg anzeigen

$\( \pmatrix{ x$

Daraus folgt: $\(P$

3.3

Koordinaten des neuen Punktes $\(P$ mit homogener Koordinaten berechnen

Da die $z$ -Koordinate 1 bleibt, und die $x$ und $y$ Koordinaten zu den aus der Aufgabenstellung übereinstimmen, handelt es sich um die Verschiebung in der Ebene.

3.4

Gleichung erläutern

Gleichung anzeigen

$\pmatrix{13 \\ 23,1421 \\ 1} = \dots$

Teil $B$ beschreibt die Drehung eines Punktes um 45 $^{\circ}$ , da $\sin(45)=\cos(45)=\dfrac{1}{2}\sqrt{2}$ ist.

Teil $C$ bewirkt eine Verschiebung um -13 Einheiten in $x$ -Richtung und -12 Einheiten in $y$ -Richtung.

Teil $D$ ist der Ortsvektor des Punktes $G^*$ , auf welchen die Verschiebungen und Rotationen angewendet werden.

Zusammenfassend wird der Punkt $G^*$ insgesamt um $45^{\circ}$ in der $x$ - $y$ -Ebene gegen den Uhrzeigersinn um den Rotationsmittelpunkt $H^*(13\mid12)$ gedreht.