B1 - Analytische Geometrie

Drei Punkte $A_t$ , $B_t$ und $C_t$ bewegen sich jeweils entlang einer Geraden:

$A_t$ auf der Geraden $g_a: \vec{a}_t = \pmatrix{1\\0\\0}+t\cdot\pmatrix{0\\0\\1},$

$B_t$ auf der Geraden $g_b: \vec{b}_t = \pmatrix{0\\1\\0}+t\cdot\pmatrix{1\\0\\0},$

$C_t$ auf der Geraden $g_c: \vec{c}_t = \pmatrix{0\\0\\1}+t\cdot\pmatrix{0\\1\\0}$

Die Punkte $A_t$ , $B_t$ und $C_t$ bilden für alle $t\in\mathbb{R}$ ein Dreieck $\Delta_t.$

1.1

Zeichne in das Koordinatensystem die drei Geraden sowie die Dreiecke $\Delta_0$ , $\Delta_1$ und $\Delta_2$ ein.

(4 BE)

1.2

Untersuche, ob die Dreiecke $\Delta_t$ gleichseitig sind.

(3 BE)

1.3

Die Punkte $A_t$ , $B_t$ und $C_t$ legen für jedes $t$ eine Ebene $E_t$ fest.

Bestimme eine Ebenengleichung $E_t$ in Parameterform.

Zeige, dass alle diese Ebenen parallel zueinander sind, und bestimme den Abstand zweier beliebiger dieser Ebenen $E_t$ und $E_{t+k}$ mit $k\in\mathbb{R}.$

(11 BE)

1.4

Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks $\Delta_t$ und untersuche, ob es einen minimalen Flächeninhalt gibt.

(4 BE)

Es sei $\varphi(t)$ der Winkel zwischen den Vektoren $\vec{u}_{0}=\vec{b}_{0}-\vec{a}_{0}$ und $\vec{u}_{t}=\vec{b}_{t}-\vec{a}_{t}.$

Bestätige, dass $f(t)=\cos\left(\varphi(t)\right)=\dfrac{2-t}{2\cdot\sqrt{t^{2}-t+1}}$ gilt.

Beschreibe mit Hilfe des Graphen der Funktion $f$ sowie der in Aufgabe 1.3 untersuchten Eigenschaften die Bewegung der Dreiecke.

Untersuche in diesem Zusammenhang auch das Verhalten für betragsmäßig große $t$ -Werte.

(8 BE)

1.1

1. Schritt: Geraden einzeichnen

2. Schritt: Dreiecke einzeichnen

Jede Gerade lässt sich als allgemeiner Punkt darstellen:

$A_t=(1\mid0\mid t)$ , $B_t=(t\mid1 \mid0)$ , $C_t=(0\mid t\mid 1)$

Für $\Delta_0$ , $\Delta_1$ , $\Delta_2$ folgen somit die Punkte:

$A_0=(1\mid0\mid 0)$ , $B_0=(0\mid1 \mid0)$ , $C_0=(0\mid 0\mid 1)$

$A_1=(1\mid0\mid 1)$ , $B_1=(1\mid1 \mid0)$ , $C_1=(0\mid 1\mid 1)$

$A_2=(1\mid0\mid 2)$ , $B_2=(2\mid1 \mid0)$ , $C_2=(0\mid 2\mid 1)$

Eintragen in das Koordinatensystem liefert nun:

1.2

Ein Dreieck ist genau dann gleichseitig, wenn alle drei Seiten genau gleich lang sind.

$\begin{array}[t]{rll} \,\bigg \vert \,\overrightarrow{A_tB_t}\,\bigg \vert \, &=& \left| \pmatrix{t-1\\1-0\\0-t} \right|& \\[5pt] &=& \sqrt{(t-1)^2+1^2+(-t)^2}& \\[5pt] &=&\sqrt{t^2-2t+1+1+t^2} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \,\bigg \vert \,\overrightarrow{A_tC_t}\,\bigg \vert \, &=& \left| \pmatrix{0-1\\t-0\\1-t} \right|& \\[5pt] &=& \sqrt{(-1)^2+t^2+(1-t)^2}& \\[5pt] &=&\sqrt{1+t^2+t^2-2t+1} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \,\bigg \vert \,\overrightarrow{B_tC_t}\,\bigg \vert \, &=& \left|\pmatrix{0-t\\t-1\\1-0} \right|& \\[5pt] &=& \sqrt{(-t)^2+(t-1)^2+1^2}& \\[5pt] &=& \sqrt{t^2+t^2-2t+1+1} \end{array}$

Wegen $\,\bigg \vert \,\overrightarrow{A_tB_t}\,\bigg \vert \, = \,\bigg \vert \,\overrightarrow{A_tC_t}\,\bigg \vert \, = \,\bigg \vert \,\overrightarrow{B_tC_t}\,\bigg \vert \,$ gilt, dass die Dreiecke $\Delta_t$ folglich gleichseitig sind.

1.3

Ebenengleichung aufstellen

Ein Stützvektor der Ebene ist beispielsweise gegeben durch $\overrightarrow{OA_t}=\pmatrix{1\\0\\t}.$ Zwei Richtungsvektoren der Ebene $E_t$ sind $\overrightarrow{A_tB_t}=\pmatrix{t-1\\1\\-t}$ und $\overrightarrow{A_tC_t}=\pmatrix{-1\\t\\1-t}.$

Eine Ebenengleichung von $E_t$ in Parameterform folgt somit beispielsweise mit:

Ebenengleichung anzeigen

Parallelität nachweisen

Mathematische Gleichungen und Ausdrücke auf einem Bildschirm.

Mit dem Befehl $\texttt{crossP()}$ des CAS kann das Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren berechnet werden.

Ein Normalenvektor folgt also mit:

$\overrightarrow{n_t}= \begin{pmatrix}t^2-t+1\\t^2-t+1\\t^2-t+1\end{pmatrix}$

Die Normalenvektoren $\overrightarrow{n_t}$ sind für alle Werte von $t$ Vielfache voneinander. Folglich sind alle Ebenen $E_t$ parallel zueinander.

Abstand berechnen

Koordinatenform von $E_t$ aufstellen:

Rechenweg anzeigen

$(t^2-t+1)\cdot (x_1+x_2+x_3)=d$

Einsetzen der Koordinaten von $A_t$ liefert:

$\begin{array}[t]{rll} E_t: (t^2-t+1)\cdot (1+0+t)&=& d & \\[5pt] t^2-t+1+ (t^2-t+1)\cdot t&=& d & \\[5pt] t^3+1&=& d \end{array}$

Die Hesse'sche Normalform ergibt sich zu:

Gleichung anzeigen

Ein Stützvektors von $E_{t+k}$ ist beispielsweise $S(1\mid 0\mid t+k).$ Es folgt also:

Rechenweg anzeigen

$d(E_t,S)= \left|\dfrac{k}{\sqrt{3}}\right| \; [\text{LE}]$

Der Abstand zwischen zwei Ebenen $E_t$ und $E_{t+k}$ beträgt somit $\left| \dfrac{k}{\sqrt{3}}\right|$ Längeneinheiten.

1.4

Flächeninhalt bestimmen

Der Betrag des Kreuzprodukts zweier Vektoren entspricht dem Flächeninhalt des von den Vektoren aufgespannten Parallelogramms. Da es sich um ein Dreieck handelt, muss dieser halbiert werden.

Mit den Vektoren $\overline{AB}=\pmatrix{t-1\\1\\-t}$ und $\overline{AC}=\pmatrix{-1\\t\\1-t}$ sowie deren Kreuzprodukt aus Aufgabe 1.3 ergibt sich die Funktion $h(t),$ die den Flächeninhalt des Dreiecks in Abhängigkeit von $t$ beschreibt.

Rechenweg anzeigen

$h(t)=\dfrac{\sqrt{3}\cdot (t^2-t+1) }{2}$

Minimalen Flächeninhalt untersuchen

Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden:

Mit dem CAS kann die erste Ableitung $\(A$ der Funktion $A(t)$ bestimmt werden.

CAS-Befehl anzeigen

Mit dem $\texttt{solve}$ -Befehl folgt nun:

$\(\begin{array}[t]{rll} h$

Mathematische Gleichungen und Funktionen in einer Softwareanwendung zur Analyse.

Hinreichende Bedingung für Extremstellen anwenden:

Erneutes Ableiten von $\(h$ liefert die zweite Ableitung $\(h$

Es gilt:

$\(h$

Mathematische Gleichungen und Berechnungen in einem Software-Interface.

Das Dreieck $\Delta_{t}$ besitzt somit für $t=\dfrac{1}{2}$ einen minimalen Flächeninhalt.

Gleichung bestätigen

Es gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{u_0}&=& \overrightarrow{b_0}-\overrightarrow{a_0}&\\[5pt] &=& \pmatrix{0\\1\\0}-\pmatrix{1\\0\\0}&\\[5pt] &=& \pmatrix{-1\\1\\0} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{u_t}&=&\overrightarrow{b_t}-\overrightarrow{a_t} &\\[5pt] &=& \pmatrix{t\\1\\0}-\pmatrix{1\\0\\t}&\\[5pt] &=& \pmatrix{t-1\\1\\-t} \end{array}$

Somit folgt:

$\cos (\varphi (t))=\dfrac{ \overrightarrow{u_0}\circ \overrightarrow{u_t}}$

Vollständigen Rechenweg anzeigen

Somit ist die Behauptung aus der Aufgabenstellung gezeigt.

Bewegung beschreiben

Mit dem $\texttt{Graph}$ -Modus des CAS kann der Graph der Funktion $f$ gezeichnet werden.

Graph einer mathematischen Funktion mit einer roten Kurve in einem Koordinatensystem.

Mathematische Darstellung mit Funktion f3(x) und zugehörigen Werten in einer Softwareanwendung.

Für betragsmäßig große negative $t$ -Werte gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \cos (\varphi(t))&\approx& 0,5 &\quad \scriptsize \mid\; \cos^{-1}\\[5pt] \varphi(t)&\approx& 60^\circ \end{array}$

Für betragsmäßig große positive $t$ -Werte gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \cos (\varphi(t))&\approx& -0,5 &\quad \scriptsize \mid\; \cos^{-1}\\[5pt] \varphi(t)&\approx& 120^\circ \end{array}$

Hinweis: Hierbei muss beachtet werden, dass nicht $\texttt{RADIAN}$ sondern $\texttt{DEGREE}$ eingestellt ist, da der Winkel berechnet wird.

Für größer werdende negative $t$ -Werte nähert sich der Rotationswinkel folglich $60^\circ$ und für größer werdende positive $t$ -Werte $120^\circ$ an.

Dem Schaubild aus Aufgabe 1.2 kann entnommen werden, dass die Dreiecke im Uhrzeigersinn rotieren. Beispielsweise ist der Vektor $\overrightarrow{u_1}$ im Vergleich zum Vektor $\overrightarrow{u_0}$ nach rechts gedreht.

Aus Aufgabe 1.3 folgt:

Die Dreiecke $\Delta_t$ sind alle parallel zueinander.
Der Abstand zwischen den Dreiecken wird immer größer: $d(E_t,S)=\left| \dfrac{k}{\sqrt{3}} \right|$

Die Dreiecke rotieren somit für größer werdende positive sowie negative $t$ im Uhrzeigersinn um den Vektor $\overrightarrow{u_0},$ sind parallel zueinander und der Abstand zwischen den Dreiecken wird für größer werdende $t$ ebenfalls immer größer.

1.1

1. Schritt: Geraden einzeichnen

2. Schritt: Dreiecke einzeichnen

Jede Gerade lässt sich als allgemeiner Punkt darstellen:

$A_t=(1\mid0\mid t)$ , $B_t=(t\mid1 \mid0)$ , $C_t=(0\mid t\mid 1)$

Für $\Delta_0$ , $\Delta_1$ , $\Delta_2$ folgen somit die Punkte:

$A_0=(1\mid0\mid 0)$ , $B_0=(0\mid1 \mid0)$ , $C_0=(0\mid 0\mid 1)$

$A_1=(1\mid0\mid 1)$ , $B_1=(1\mid1 \mid0)$ , $C_1=(0\mid 1\mid 1)$

$A_2=(1\mid0\mid 2)$ , $B_2=(2\mid1 \mid0)$ , $C_2=(0\mid 2\mid 1)$

Eintragen in das Koordinatensystem liefert nun:

1.2

Ein Dreieck ist genau dann gleichseitig, wenn alle drei Seiten genau gleich lang sind.

1.3

Ebenengleichung aufstellen

Eine Ebenengleichung von $E_t$ in Parameterform folgt somit beispielsweise mit:

Ebenengleichung anzeigen

Parallelität nachweisen

Mathematische Gleichungen und Berechnungen in einer grafischen Benutzeroberfläche.

Mit dem Befehl $\texttt{crossP()}$ des CAS kann das Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren berechnet werden.

Ein Normalenvektor folgt also mit:

$\overrightarrow{n_t}= \begin{pmatrix}t^2-t+1\\t^2-t+1\\t^2-t+1\end{pmatrix}$

Die Normalenvektoren $\overrightarrow{n_t}$ sind für alle Werte von $t$ Vielfache voneinander. Folglich sind alle Ebenen $E_t$ parallel zueinander.

Abstand berechnen

Koordinatenform von $E_t$ aufstellen:

Rechenweg anzeigen

$(t^2-t+1)\cdot (x_1+x_2+x_3)=d$

Einsetzen der Koordinaten von $A_t$ liefert:

$\begin{array}[t]{rll} E_t: (t^2-t+1)\cdot (1+0+t)&=& d & \\[5pt] t^2-t+1+ (t^2-t+1)\cdot t&=& d & \\[5pt] t^3+1&=& d \end{array}$

Die Hesse'sche Normalform ergibt sich zu:

Gleichung anzeigen

Ein Stützvektors von $E_{t+k}$ ist beispielsweise $S(1\mid 0\mid t+k).$ Es folgt also:

Rechenweg anzeigen

$d(E_t,S)= \left|\dfrac{k}{\sqrt{3}}\right| \; [\text{LE}]$

Der Abstand zwischen zwei Ebenen $E_t$ und $E_{t+k}$ beträgt somit $\left| \dfrac{k}{\sqrt{3}}\right|$ Längeneinheiten.

1.4

Flächeninhalt bestimmen

Der Betrag des Kreuzprodukts zweier Vektoren entspricht dem Flächeninhalt des von den Vektoren aufgespannten Parallelogramms. Da es sich um ein Dreieck handelt, muss dieser halbiert werden.

Rechenweg anzeigen

$h(t)=\dfrac{\sqrt{3}\cdot (t^2-t+1) }{2}$

Minimalen Flächeninhalt untersuchen

Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden:

Mit dem CAS kann die erste Ableitung $\(A$ der Funktion $A(t)$ bestimmt werden.

\to \to

Mit dem $\texttt{solve}$ -Befehl folgt nun:

$\(\begin{array}[t]{rll} h$

Mathematische Berechnungen auf einem Bildschirm mit Funktionen und Ableitungen.

Hinreichende Bedingung für Extremstellen anwenden:

Erneutes Ableiten von $\(h$ liefert die zweite Ableitung $\(h$

Es gilt:

$\(h$

Bildschirmansicht einer mathematischen Software mit einer Funktion und deren Ableitung.

Das Dreieck $\Delta_{t}$ besitzt somit für $t=\dfrac{1}{2}$ einen minimalen Flächeninhalt.

Gleichung bestätigen

Es gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{u_0}&=& \overrightarrow{b_0}-\overrightarrow{a_0}&\\[5pt] &=& \pmatrix{0\\1\\0}-\pmatrix{1\\0\\0}&\\[5pt] &=& \pmatrix{-1\\1\\0} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{u_t}&=&\overrightarrow{b_t}-\overrightarrow{a_t} &\\[5pt] &=& \pmatrix{t\\1\\0}-\pmatrix{1\\0\\t}&\\[5pt] &=& \pmatrix{t-1\\1\\-t} \end{array}$

Somit folgt:

$\cos (\varphi (t))=\dfrac{ \overrightarrow{u_0}\circ \overrightarrow{u_t}}$

Vollständigen Rechenweg anzeigen

Somit ist die Behauptung aus der Aufgabenstellung gezeigt.

Bewegung beschreiben

Mit dem CAS kann der Graph der Funktion $f$ gezeichnet werden.

Grafische Darstellung einer mathematischen Funktion mit Analyse- und Zoom-Tools.

Screenshot eines Computerprogramms zur Bearbeitung von Daten und Graphen mit einer Tabelle.

Für betragsmäßig große negative $t$ -Werte gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \cos (\varphi(t))&\approx& 0,5 &\quad \scriptsize \mid\; \cos^{-1}\\[5pt] \varphi(t)&\approx& 60^\circ \end{array}$

Für betragsmäßig große positive $t$ -Werte gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \cos (\varphi(t))&\approx& -0,5 &\quad \scriptsize \mid\; \cos^{-1}\\[5pt] \varphi(t)&\approx& 120^\circ \end{array}$

Hinweis: Hierbei muss beachtet werden, dass nicht $\texttt{RADIAN}$ sondern $\texttt{DEGREE}$ eingestellt ist, da der Winkel berechnet wird.

Für größer werdende negative $t$ -Werte nähert sich der Rotationswinkel folglich $60^\circ$ und für größer werdende positive $t$ -Werte $120^\circ$ an.

Aus Aufgabe 1.3 folgt:

Die Dreiecke $\Delta_t$ sind alle parallel zueinander.
Der Abstand zwischen den Dreiecken wird immer größer: $d(E_t,S)=\left| \dfrac{k}{\sqrt{3}} \right|$