B1 - Analytische Geometrie
1
Das Dach eines quaderförmigen Gebäudes soll mit Solarkollektoren versehen werden. Die in der 
-
-Ebene gelegene Seitenfläche des Gebäudes weist dabei genau nach Süden.
Zur Vereinfachung der folgenden Berechnungen wird im Modell die Dachfläche des Gebäudes in die -
-Ebene gelegt. Die Kollektorfläche der Solaranlage wird dann in dem vorgegebenen Koordinatensystem der folgenden Abbildung durch die Eckpunkte 
, 
, 
und 
beschrieben (alle Angaben in Metern).
1.1
Zeige rechnerisch, dass es sich bei dem Viereck 
um ein Rechteck handelt, und prüfe, ob der für eine Kollektorfläche geforderte Mindestflächeninhalt von 
unterschritten wird.
(4 BE)
1.2
Die Solaranlage arbeitet mit der größtmöglichen Leistung, wenn die Sonnenstrahlen senkrecht auf die Kollektorfläche treffen.
Berechne die Richtung, in der die Sonnenstrahlen in diesem Fall auftreffen.
Berechne die Richtung, in der die Sonnenstrahlen in diesem Fall auftreffen.
(4 BE)
1.3
Der Hersteller empfiehlt für die Kollektoren aus Gründen der Standfestigkeit, einen Neigungswinkel 
von 
gegenüber der Dachfläche nicht zu überschreiten. Untersuche, ob dieses Kriterium für die geplante Anlage erfüllt ist.
(3 BE)
2
Treffen die Sonnenstrahlen nicht orthogonal auf die Kollektorfläche, so ist die Leistung der Anlage reduziert. Dies wird berücksichtigt, indem man von einer reduzierten Kollektorfläche ausgeht, die als effektive Kollektorfläche 
bezeichnet wird. Die Leistung der Anlage ist proportional zum Flächeninhalt der effektiven Kollektorfläche.
Die Abbildung zeigt die Lage der effektiven Fläche im Vergleich zur tatsächlichen Position der Kollektoren (Blickrichtung parallel zur -Achse). Es ist ersichtlich, dass die Eckpunkte 
und 
ebenfalls Eckpunkte der effektiven Kollektorfläche sind.
2.1
Um die Effektivität der Solaranlage abzuschätzen, soll die Fläche für einen ungünstigen Sonnenstand berechnet werden, bei dem die Sonnenstrahlen durch den Vektor 
angegeben werden können.
Berechne die Lage des im Material 2 eingezeichneten Punktes 
.
(7 BE)
2.2
Bestimme den Flächeninhalt der effektiven Kollektorfläche für den in Aufgabe 2.1 beschriebenen Fall und ermittle, wie viel Prozent der maximalen Leistung bei diesem Sonnenstand erzielt werden können.
(2 BE)
3
Um zu überprüfen, ob weitere Kollektoren auf dem Dach aufgestellt werden können, ohne dass diese durch die bereits bestehenden Kollektoren beschattet werden, soll für den in Aufgabe 2.1 beschriebenen Sonnenstand der Schatten der Kollektorfläche auf der Dachfläche betrachtet werden.
3.1
Für beliebige Punkte 
können die Schattenpunkte auf der Dachfläche für den in Aufgabe 2.1 beschriebenen Sonnenstand durch eine Projektion in Richtung 
in die --Ebene ermittelt werden.
Bestimme die Matrix, die diese Projektion beschreibt.
Bestimme die Matrix, die diese Projektion beschreibt.
(7P)
3.2
Berechne mithilfe deines Ergebnisses aus Aufgabe 3.1 die Schattenpunkte der Eckpunkte der Kollektorfläche auf der Dachfläche, und entscheide, ob der Schatten ganz auf der Dachfläche liegt.
Falls du in Aufgabe 3.1 keine Lösung gefunden hast, verwende die Matrix
.
Falls du in Aufgabe 3.1 keine Lösung gefunden hast, verwende die Matrix
(3BE)
1
1.1
Rechteck nachweisen
Das Viereck ist genau dann ein Rechteck, wenn die jeweils gegenüberliegenden Seiten gleich lang sind, parallel zueinander sind und die anliegenden Seiten senkrecht aufeinander stehen.
Die Verbindungsvektoren der Eckpunkte müssen also folgende Bedingungen erfüllen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overrightarrow{AD}&=& \overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}& \\[5pt]
&=& \pmatrix{0,5\\2,8\\2,1}- \pmatrix{0,5\\1\\0} & \\[5pt]
&=& \left(\begin{array}{c}0\\1,8\\2,1\end{array}\right)& \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/e225787dbad2e69ec26f72ebdfe6b39bb445a2052bdbd0c6b36494b9400f6092?color=5a5a5a)
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overrightarrow{BC}&=&\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB} & \\[5pt]
&=& \left(\begin{array}{c}5,5\\2,8\\2,1\end{array}\right) - \left(\begin{array}{c}5,5\\1\\0\end{array}\right) & \\[5pt]
&=&\left(\begin{array}{c}0\\1,8\\2,1\end{array}\right)
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/986daf817dbc943ff33d0f94caf01bc9b0d26015d485d95f1a6e06fe8cf1fe3c?color=5a5a5a)
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overrightarrow{AB}&=& \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}& \\[5pt]
&=& \left(\begin{array}{c}5,5\\1\\0\end{array}\right)- \pmatrix{0,5\\1\\0}& \\[5pt]
&=& \pmatrix{5\\0\\0}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/47d621a702618e490de90125a31e49d1eccf32d520833d691a9861560662b977?color=5a5a5a)
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overrightarrow{DC}&=& \overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OD}& \\[5pt]
&=& \left(\begin{array}{c}5,5\\2,8\\2,1\end{array}\right)- \pmatrix{0,5\\2,8\\2,1}& \\[5pt]
&=& \pmatrix{5\\0\\0}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/9fa866458825f68ad9ecd665296128c33fc1db950888b7fab052eb20da10dd5f?color=5a5a5a)
2. Schritt: Orthogonalität zeigen
Es reicht zu zeigen, dass 
und 
senkrecht aufeinander stehen, da wir bereits 
und 
gezeigt haben.
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overrightarrow{AD} \circ \overrightarrow{AB}&=& \begin{pmatrix}0\\ 1,8\\ 2,1\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}5\\ 0\\ 0\end{pmatrix} & \\[5pt]
&=& 0 \cdot 5 + 1,8 \cdot 0 + 2,1 \cdot 0& \\[5pt]
&=& 0 & \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/212bb2404106c5ab8a8a4474e5439b7180853024d2d6e344974d43d148e0dacc?color=5a5a5a)
Damit ist gezeigt, dass das Viereck ein Rechteck ist.
Flächeninhalt 
prüfen
Der geforderte Mindestflächeninhalt von 
wird folglich nicht unterschritten.
und
1.2
Die Richtung, in der die Sonnenstrahlen senkrecht auf die Kollektorfläche treffen, ist durch die Normalenvektoren der Ebene, welche durch die Vektoren und aufgespannt wird, gegeben.
Ein solcher Normalenvektor 
kann mit Hilfe des Vektorprodukts bestimmt werden:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overrightarrow{n}&=&\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD} & \\[5pt]
&=& \left(\begin{array}{c}5\\0\\0\end{array}\right) \times \left(\begin{array}{c}0\\1,8\\2,1\end{array}\right)& \\[5pt]
&=& \left(\begin{array}{c}0-0\\0 -2,1 \cdot 5\\5 \cdot 1,8 - 0\end{array}\right)& \\[5pt]
&=&\left(\begin{array}{c}0\\-10,5\\9\end{array}\right)
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/5334a9c95d2e97f9626e8801666567260816d7ec4742e3a0418c7fdda14e87bc?color=5a5a5a)
Da die Sonnenstrahlen von oben auf die Kollektorfläche auftreffen, muss der Vektor also nach unten zeigen. Die -Koordinate muss folglich negativ sein.
Durch Umkehren der Vorzeichen erhält man also:
Somit treffen die Sonnenstrahlen in der Richtung 
senkrecht auf die Kollektorfläche auf.
1.3
Der Neigungswinkel der Kollektorfläche gegenüber dem Dach entspricht dem Winkel zwischen dem Vektor und der -Achse. Der Richtungsvektor der -Achse ist durch 
gegeben.
Mit der Formel für Schnittwinkel folgt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\cos(\alpha)&=&\dfrac{\left| \overrightarrow{AD} \circ \left(\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right) \right|}{ \left| \overrightarrow{AD} \right| \cdot \left|\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right) \right|} & \\[5pt]
\cos(\alpha)&=& \dfrac{\left| \left(\begin{array}{c}0\\1,8\\2,1\end{array}\right) \circ \left(\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right) \right|}{ \left|\left(\begin{array}{c}0\\1,8\\2,1\end{array}\right) \right| \cdot \left|\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right) \right|}& \\[5pt]
\cos(\alpha)&=& \dfrac{1,8}{\sqrt{7,65} \cdot 1} & \\[5pt]
\cos(\alpha)&\approx& 0,65 &\quad \scriptsize \mid \arccos \\[5pt]
\alpha&\approx& 49,46
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/c6e17b638903716f77c698b2ae2ecf796b092f29261c4ceb8a82823373f4186c?color=5a5a5a)
Der Neigungswinkel beträgt somit etwa 
und überschreitet folglich die empfohlene Grenze von 
nicht.
2
2.1
Aus dem Material 2 können folgende Bedingungen für die Lage des Punktes abgelesen werden:
Der Punkt kann durch den dazugehörigen Ortsvektor 
definiert werden.
1. Schritt: Gleichungssystem zu 
aufstellen
Der Verbindungsvektor 
ist gegeben durch:
Die erste Bedingung kann nun wie folgt in ein Gleichungssystem umgeschrieben und gelöst werden:
Aus 
kann direkt 
abgelesen werden.
Durch Einsetzen von 
in 
ergibt sich:
Damit gilt für den Ortsvektor des Punktes 
: 
2. Schritt: Gleichung zu aufstellen
Für den Verbindungsvektor 
gilt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overrightarrow{AD‘}&=&\overrightarrow{OD‘}-\overrightarrow{OA} & \\[5pt]
&=& \begin{pmatrix}0,5 - 0,5\\ \left(10,3- \frac{25}{7}\cdot d_3 \right) -1\\ d_3 - 0 \end{pmatrix}& \\[5pt]
&=&\begin{pmatrix}0\\ 9,3- \frac{25}{7}\cdot d_3 \\ d_3 \end{pmatrix}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/c00c60c63bd4c5446c125c605993ade4704c2b6b1770e55ccb0853ca53b11798?color=5a5a5a)
Die zweite Bedingung kann nun wie folgt als Gleichung formuliert und gelöst werden:
Durch Einsetzen in die Koordinaten von ergibt sich:
![\(\begin{array}[t]{rll}
d_2&=& 10,3- \dfrac{25}{7} \cdot d_3& \\[5pt]
&=& 10,3- \dfrac{25}{7} \cdot \dfrac{3.255}{1.348}& \\[5pt]
&\approx& 1,68 & \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/6563d005e28e43c0b4f4d9fd6edd7da13e223da2f7b476372fbd8efefba4890c?color=5a5a5a)
Der gesuchte Punkt ist somit 
2.2
Flächeninhalt bestimmen
![\(\begin{array}[t]{rll}
F_{eff}&=& \left|\overrightarrow{AD‘}\right| \cdot \left|\overrightarrow{AB}\right|&\\[5pt]
&=& \left|\begin{pmatrix}0\\ 0,68\\ 2,41 \end{pmatrix} \right| \cdot \left| \begin{pmatrix}5\\ 0\\ 0\\ \end{pmatrix}\right|&\\[5pt]
&=&\sqrt{0,68^2+2,41^2} \cdot 5 &\\[5pt]
&\approx& 12,52\; [\,\text{m}^2]&\\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/c7e29c397b3244da82a65fac037e1ca80d1674f2a913b16d52088a45231e93e8?color=5a5a5a)
In dem in Aufgabe 2.1 beschriebenen Fall ist der Flächeninhalt der effizienten Kollektorfläche folglich 
.
Prozentsatz der maximalen Leistung bestimmen
Die maximale Leistung wird genau dann erreicht, wenn die Sonnenstrahlen senkrecht auf der Kollektorfläche stehen. Die Leistung ist hierbei proportional zum Flächeninhalt der Kollektorfläche.
Den gesuchte Prozentsatz 
kann also anhand von den Flächeninhalten und ermittelt werden:
In dem in Aufgabe 2.1 beschriebenen Fall kann also 
der maximalen Leistung erzielt werden.
3
3.1
Da nach eine Projektionsmatrix 
gesucht ist, welche beliebige Punkte 
in die 
-Ebene projiziert,muss für einen beliebigen Punkt mit Schattenpunkt 
also gelten:
.
Der Schattenpunkt eines beliebigen Punktes entspricht dem Schnittpunkt der -Ebene mit der Geraden 
eines Sonnenstrahls durch den Punkt 
.
1. Schritt: Allgemeinen Schattenpunkt 
berechnen
Die --Ebene ist gegeben durch die Ebenengleichung 
.
Durch Gleichsetzen der Geraden- und die Ebenengleichung folgt:
Es kann direkt 
abgelesen werden. Die -Koordinate bleibt also durch die Projektion unverändert.
Aus der dritten Zeile ergibt sich folgende Gleichung:
![\(\begin{array}[t]{rll}
z+\lambda \cdot \left(-7\right)&=&0 &\quad\scriptsize \mid\; -z \\[5pt]
\lambda \cdot \left(-7\right)&=&-z&\quad\scriptsize \mid\; :(-7) \\[5pt]
\lambda&=& \dfrac{z}{7}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/a3d7b211efdf430728ed7720bf27d4b47f51c4e3038bc2dcdd356cda9de6c7a8?color=5a5a5a)
Durch Einsetzen von 
in die Gleichung für die -Koordinate folgt:
![\(\begin{array}{rll}
y+\lambda \cdot 25 &=& b &\quad\scriptsize \mid\; \lambda=\dfrac{z}{7}\\[5pt]
y + z \cdot \dfrac{25}{7} &=&b \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/ed9c0a7e6970c21ce2bbcb170261bc6a34a1cda06d7a8b569d66050230389392?color=5a5a5a)
Damit gilt für einen Schattenpunkt 
eines beliebigen Punktes :
2. Schritt: Projektionsmatrix bestimmen
Durch Einsetzen des oben berechneten Schnittpunkt in die Bedingung für die Projektionsmatrix ergibt sich:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\begin{pmatrix}a\\ b\\ 0\end{pmatrix}&=& \begin{pmatrix}x\\ y + z \cdot \frac{25}{7}\\ 0 \end{pmatrix}&\\[5pt]
&=&\begin{pmatrix}1\cdot x+0\cdot y+0\cdot z\\ 0\cdot x+1\cdot y+\frac{25}{7}\cdot z\\ 0\cdot x+0\cdot y+0\cdot z\\ \end{pmatrix} &\\[5pt]
&=& \begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&1&\frac{25}{7}\\ 0&0&0\\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}&\\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/bf22b522c7d035f2903ad7aaf773b851587d17ae603f71719b84b89b53e1207e?color=5a5a5a)
Somit hat die gesuchte Projektionsmatrix die Form:
3.2
Schattenpunkte berechnen
Die Schattenpunkte der Eckpunkte können mit dem Matrix-Vektor-Produkt der Projektionsmatrix und den Ortsvektoren der Eckpunkte bestimmt werden.
Da und keine Schatten werfen, weil sie bereits auf dem Dach liegen, reicht es, die Punkte 
und 
zu betrachten.
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overrightarrow{OC_S}&=&M \cdot \overrightarrow{OC} \\[5pt]
&=& \begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&1&\frac{25}{7}\\ 0&0&0\\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}5,5\\ 2,8\\ 2,1\end{pmatrix} & \\[5pt]
&=& \begin{pmatrix}5,5\\ 2,8 + 2,1 \cdot \frac{25}{7}\\ 0\end{pmatrix} & \\[5pt]
&=& \begin{pmatrix}5,5\\ 10,3\\ 0\end{pmatrix} & \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/5562d0a5430c3af134ef0158ca6b069deb41b648be59a5a8329fb8d41a1c372d?color=5a5a5a)
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overrightarrow{OD_S}&=&M \cdot \overrightarrow{OD} & \\[5pt]
&=& \begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&1&\frac{25}{7}\\ 0&0&0\\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}0,5\\ 2,8\\ 2,1\end{pmatrix} & \\[5pt]
&=&\begin{pmatrix}0,5\\ 10,3\\0 \end{pmatrix}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/bdf5cb9839ef81d9fe4fffc04f13319ef006b4fda0600e423ae5b9639eedc3dd?color=5a5a5a)
Damit sind 
und 
die Schattenpunkte von und .
Entscheidung treffen
Die Dachfläche ist in -Richtung 9 Meter lang. Die Schattenpunkte haben jedoch einen -Wert von 10,3 und liegen somit hinter dem Ende des Daches. Der Schatten liegt folglich nicht ganz auf der Dachfläche.
1
1.1
Rechteck nachweisen
Das Viereck ist genau dann ein Rechteck, wenn die jeweils gegenüberliegenden Seiten gleich lang sind, parallel zueinander sind und die anliegenden Seiten senkrecht aufeinander stehen.
Die Verbindungsvektoren der Eckpunkte müssen also folgende Bedingungen erfüllen:
2. Schritt: Orthogonalität zeigen
Es reicht zu zeigen, dass und senkrecht aufeinander stehen, da wir bereits und gezeigt haben.
Damit ist gezeigt, dass das Viereck ein Rechteck ist.
Flächeninhalt prüfen
Der geforderte Mindestflächeninhalt von wird folglich nicht unterschritten.
1.2
Die Richtung, in der die Sonnenstrahlen senkrecht auf die Kollektorfläche treffen, ist durch die Normalenvektoren der Ebene, welche durch die Vektoren und aufgespannt wird, gegeben.
Ein solcher Normalenvektor kann mit Hilfe des Vektorprodukts bestimmt werden:
Da die Sonnenstrahlen von oben auf die Kollektorfläche auftreffen, muss der Vektor also nach unten zeigen. Die -Koordinate muss folglich negativ sein.
Durch Umkehren der Vorzeichen erhält man also:
Somit treffen die Sonnenstrahlen in der Richtung senkrecht auf die Kollektorfläche auf.
1.3
Der Neigungswinkel der Kollektorfläche gegenüber dem Dach entspricht dem Winkel zwischen dem Vektor und der -Achse. Der Richtungsvektor der -Achse ist durch gegeben.
Mit der Formel für Schnittwinkel folgt:
Der Neigungswinkel beträgt somit etwa und überschreitet folglich die empfohlene Grenze von nicht.
2
2.1
Aus dem Material 2 können folgende Bedingungen für die Lage des Punktes abgelesen werden:
Der Punkt kann durch den dazugehörigen Ortsvektor definiert werden.
1. Schritt: Gleichungssystem zu aufstellen
Der Verbindungsvektor ist gegeben durch:
Die erste Bedingung kann nun wie folgt in ein Gleichungssystem umgeschrieben und gelöst werden:
Aus kann direkt abgelesen werden.
Durch Einsetzen von in ergibt sich:
Damit gilt für den Ortsvektor des Punktes :
2. Schritt: Gleichung zu aufstellen
Für den Verbindungsvektor gilt:
Die zweite Bedingung kann nun wie folgt als Gleichung formuliert und gelöst werden:
Durch Einsetzen in die Koordinaten von ergibt sich:
Der gesuchte Punkt ist somit
2.2
Flächeninhalt bestimmen
In dem in Aufgabe 2.1 beschriebenen Fall ist der Flächeninhalt der effizienten Kollektorfläche folglich .
Prozentsatz der maximalen Leistung bestimmen
Die maximale Leistung wird genau dann erreicht, wenn die Sonnenstrahlen senkrecht auf der Kollektorfläche stehen. Die Leistung ist hierbei proportional zum Flächeninhalt der Kollektorfläche.
Den gesuchte Prozentsatz kann also anhand von den Flächeninhalten und ermittelt werden:
In dem in Aufgabe 2.1 beschriebenen Fall kann also der maximalen Leistung erzielt werden.
3
3.1
Da nach eine Projektionsmatrix gesucht ist, welche beliebige Punkte in die -Ebene projiziert,muss für einen beliebigen Punkt mit Schattenpunkt also gelten:
.
Der Schattenpunkt eines beliebigen Punktes entspricht dem Schnittpunkt der -Ebene mit der Geraden eines Sonnenstrahls durch den Punkt .
1. Schritt: Allgemeinen Schattenpunkt berechnen
Die --Ebene ist gegeben durch die Ebenengleichung .
Durch Gleichsetzen der Geraden- und die Ebenengleichung folgt:
Es kann direkt abgelesen werden. Die -Koordinate bleibt also durch die Projektion unverändert.
Aus der dritten Zeile ergibt sich folgende Gleichung:
Durch Einsetzen von in die Gleichung für die -Koordinate folgt:
Damit gilt für einen Schattenpunkt eines beliebigen Punktes :
2. Schritt: Projektionsmatrix bestimmen
Durch Einsetzen des oben berechneten Schnittpunkt in die Bedingung für die Projektionsmatrix ergibt sich:
Somit hat die gesuchte Projektionsmatrix die Form:
3.2
Schattenpunkte berechnen
Die Schattenpunkte der Eckpunkte können mit dem Matrix-Vektor-Produkt der Projektionsmatrix und den Ortsvektoren der Eckpunkte bestimmt werden.
Da und keine Schatten werfen, weil sie bereits auf dem Dach liegen, reicht es, die Punkte und zu betrachten.
Damit sind und die Schattenpunkte von und .
Entscheidung treffen
Die Dachfläche ist in -Richtung 9 Meter lang. Die Schattenpunkte haben jedoch einen -Wert von 10,3 und liegen somit hinter dem Ende des Daches. Der Schatten liegt folglich nicht ganz auf der Dachfläche.