B1 - Analytische Geometrie

Für Lichtstrahlen, die auf einen ebenen Spiegel treffen, gilt das Reflexionsgesetz „Einfallswinkel gleich Reflexionswinkel“.
Die Gerade, die orthogonal zur Spiegelebene durch den Punkt verläuft, in dem der einfallende Lichtstrahl auf den Spiegel trifft, bezeichnet man als Einfallslot. Der einfallende Strahl, der reflektierte Strahl und das Einfallslot liegen in einer Ebene, die senkrecht auf der Spiegelebene steht. Im Punkt $A(2\mid7\mid4)$ sendet ein Laser einen Lichtstrahl zum Punkt $B(3\mid2\mid-2)$ , der in einem ebenen Spiegel liegt. Der Spiegel soll so ausgerichtet werden, dass der Lichtstrahl zum Punkt $C(13\mid4\mid10)$ reflektiert wird (Material). Der Einfallswinkel zwischen $AB$ und dem Einfallslot sowie der Reflexionswinkel zwischen dem Einfallslot und $BC$ sind mit $\alpha$ bezeichnet.

1.1

Berechne die Längen der Vektoren $\overrightarrow{BA}$ und $\overrightarrow{BC}$ und zeige, dass gilt: $\left|\overrightarrow{BC}\right|=2\cdot\left|\overrightarrow{BA}\right|.$

(3 BE)

1.2

Berechne den Vektor $\overrightarrow{v}$ $=\overrightarrow{BA}$ $+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC},$ der die Richtung des Einfallslots angibt.
Bestimme den Einfallswinkel des Lichtstrahls sowie eine Koordinatengleichung der Spiegelebene $F$ .

$[$ zur Kontrolle: $2x+3y+6z=0$ ist eine mögliche Koordinatengleichung von $F.]$

(6 BE)

1.3

Gegeben ist eine Gerade $g:\overrightarrow{x}$ $=\begin{pmatrix} 3\\2\\-2 \end{pmatrix}$ $+r\cdot\begin{pmatrix} 12\\18\\-13 \end{pmatrix}, \; r\in\mathbb{R}.$ Untersuche die besondere Lage von $g$ in Bezug auf die Ebene, die durch die Punkte $A,$ $B$ und $C$ gegeben ist.

(4 BE)

1.4

Deute die Zeilen $(I)$ bis $(IV)$ im folgenden Kasten im Sachzusammenhang:

Zeile anzeigen

$\begin{array}[t]{rll} (I) && k:\overrightarrow{x}=... \end{array}$

Zeile anzeigen

$\begin{array}[t]{rll} (II) && H:... \end{array}$

Zeile anzeigen

$\begin{array}[t]{rll} (III)&& 2\cdot(3+2t)+... \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} (IV)&& \overrightarrow{a}+2\cdot\overrightarrow{AD}=\begin{pmatrix} 8\\3\\4 \end{pmatrix};\; P(8\mid3\mid4) \end{array}$

(5 BE)

Durch Drehung der Spiegelebene $F$ um die Gerade $g$ aus Aufgabe 1.3 entsteht die Ebenenschar
$E_a:$ $(4,5+3a)$ $\cdot x$ $+(4,5a-3)$ $\cdot y$ $+ 9a$ $\cdot z$ $=7,5.$

2.1

Zeige, dass die Gerade $g$ sowohl in der Ebene $F$ liegt als auch gemeinsame Gerade aller Ebenen der Ebenenschar $E_a$ ist, dass aber $F$ selbst nicht zur Ebenenschar $E_a$ gehört.

(6 BE)

2.2

Der Lichtstrahl von $A$ nach $B$ soll in sich selbst reflektiert werden. Ermittle eine Koordinatengleichung der zugehörigen Spiegelebene aus der Ebenenschar $E_a$ und erläutere deinen Ansatz.

(6 BE)

Material

1.1

Die Länge der Vektoren $\overrightarrow{BA}$ und $\overrightarrow{BC}$ berechnen

$\overrightarrow{BA}= \pmatrix{2 \\ 7 \\ 4} - \pmatrix{3 \\ 2 \\ -2}= \pmatrix{-1 \\ 5 \\ 6}$

$\overrightarrow{BC}= \pmatrix{13 \\ 4 \\ 10} - \pmatrix{3 \\ 2 \\ -2} = \pmatrix{10 \\ 2 \\ 12}$

$\begin{array}[t]{rll} \mid \overrightarrow{BA} \mid&=& \sqrt{(-1)^2+5^2+6^2} \\[5pt] &=& \sqrt{62} \\[5pt] \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \mid\overrightarrow{BC} \mid&=& \sqrt{10^2+2^2+12^2} \\[5pt] &=& \sqrt{248} \\[5pt] &=& \sqrt{4\cdot 62} \\[5pt] &=& 2\cdot\sqrt{62} \\[5pt] &=& 2\cdot\mid\overrightarrow{BA} \mid\\[5pt] \end{array}$

Damit ist gezeigt: $\mid\overrightarrow{BC}\mid=2\cdot\mid\overrightarrow{BA}\mid$ .

1.2

1. Den Vektor $\overrightarrow{v}$ berechnen

$\overrightarrow{v}=\overrightarrow{BA}+ \frac{1}{2} \overrightarrow{BC}$

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{v}&=& \pmatrix{-1 \\ 5 \\ 6} + \frac{1}{2} \cdot \pmatrix{10 \\ 2 \\ 12}\\[5pt] &=& \pmatrix{-1 \\ 5 \\ 6} + \pmatrix{5 \\ 1 \\ 6}\\[5pt] &=& \pmatrix{4 \\ 6 \\ 12} \\[5pt] \end{array}$

2. Einfallswinkel des Lichtstrahls bestimmen

Da der Vektor $\overrightarrow{v}$ die Richtung des Einfallslots angibt, ist der Einfallswinkel der Winkel zwischen dem Vektor $\overrightarrow{v}$ und dem Vektor des Lichtstrahls $\overrightarrow{BA}$ .
Allgemein gilt für einen Winkel $\phi$ zwischen den Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ :

$\phi = \cos^{-1} \left(\dfrac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{\mid \overrightarrow{a} \mid \cdot \mid \overrightarrow{b} \mid} \right)$

1. Schritt: Skalarprodukt der Vektoren $\overrightarrow{v}$ und $\overrightarrow{BA}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{BA} &=& \pmatrix{4 \\ 6 \\ 12} \cdot \pmatrix{-1 \\ 5 \\ 6}\\[5pt] &=& 4 \cdot (-1) +6 \cdot 5 + 12 \cdot 6\\[5pt] &=& -4 + 30 + 72 \\[5pt] &=& 98 \\[5pt] \end{array}$

2. Schritt: Beträge der Vektoren berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \mid \overrightarrow{v} \mid&=& \sqrt{4^2+6^2+12^2} \\[5pt] &=& \sqrt{196} \\[5pt] &=& 14 \\[5pt] \end{array}$

Der Betrag des Vektors $\overrightarrow{BA}$ kann aus der vorigen Aufgaben übernommen werden: $\mid\overrightarrow{BA}\mid=\sqrt{62}$ .

3. Schritt: Einfallswinkel $\alpha$ berechnen

Mit dem CAS wird nun der Einfallswinkel berechnet:

Calculator $\rightarrow$ Menu $\rightarrow$ Matrix und Vektoren $\rightarrow$ Erstellen $\rightarrow$ Matrix... $\rightarrow$ 3x1 $\rightarrow$ Vektorwerte eingeben $\rightarrow$ ctrl $\rightarrow$ var $\rightarrow$ Vektorvariable wählen $\rightarrow$ Enter $\rightarrow$ trig $\rightarrow$ $\cos^{-1}$ $\rightarrow$ abs(dotP(Vektor1, Vektor2)/(norm(Vektor1)* norm(Vektor2))) $\rightarrow$ ctr $\rightarrow$ Enter

Mathematische Darstellung von Vektoren und Berechnung des Winkelcosinus.

Der vom CAS berechnete Einfallswinkel beträgt damit $\alpha = 27,25^{\circ}.$

3. Koordinatengleichung der Spiegelebene bestimmen

Für die Koordinatengleichung wird ein Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ benötigt, der senkrecht zu der Ebene $F$ steht und ein Punkt, der in der Ebene liegt.

$F: n_1\cdot x_1 + n_2\cdot x_2 + n_3\cdot x_3 = d$

Da das Einfallslot senkrecht auf der Spiegelebene steht, kann der Vektor $\overrightarrow{v}=\pmatrix{4 \\ 6 \\ 12}$ als Normalenvektor verwendet werden.

Als Punkt, der in der Ebene liegt, kann der Punkt $B(3\mid2\mid-2)$ verwendet werden
Daraus folgt:

$F: 4x+6y+12z$ $= 3\cdot 4$ $+ 2\cdot 6$ $+ (-2) \cdot 12$ $= 0$

Durch Kürzen der Gleichung mit 2 entsteht folgende Gleichung:

$F: 2x+3y+6z = 0$

1.3

1. Schritt: Die Ebene $E$ und die Gerade $g$ auf Schnittpunkte untersuchen

Koordinatengleichung der Ebene $E$ aufstellen, welche die Punkte $A,B$ und $C$ enthält:

Als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der Ebene $E$ kann das Kreuzprodukt aus den Vektoren $\overrightarrow{BA}$ und $\overrightarrow{BC}$ gewählt werden.

Rechenweg anzeigen

$\overrightarrow{n}=4\cdot \pmatrix{12 \\ 18 \\-13}$

Da der Normalenvektor von $E$ und der Richtungsvektor von $g$ offensichtlich Vielfache voneinander sind, bedeutet dies: $E$ und $g$ schneiden sich senkrecht. Da der Stützvektor von $g$ der Ortsvekor $\overrightarrow{OB}$ ist, bedeutet dies für die Lage der Ebene und der Gerade, dass sich die Ebene $E$ und die Gerade $g$ senkrecht im Punkt $B$ schneiden.

1.4

Die Zeilen $(I)$ bis $(IV)$ kann man als Verfahren deuten, bei dem derjenige Punkt ermittelt wird, der durch Spiegelung des Punktes $A$ an dem Einfallslot entsteht.

Gleichung $(I)$

Dabei wird in Gleichung $(I)$ eine Geradengleichung $k$ für das Einfallslot aufgestellt. Diese enthält als Stützvektor den Ortsvektor $\overrightarrow{OB}=\pmatrix{3\\2\\-2}$ und als Richtungsvektor den Vektor $\overrightarrow{v}$ gekürzt mit 2.

Gleichung $(II)$

In Gleichung $(II)$ wird dann eine Hilfsebene aufgestellt, die die Gerade $k$ senkrecht schneidet und den Punkt $A(2\mid7\mid4)$ enthält. Dies erkennt man daran, dass der Richtungsvektor von $k$ und der Normalenvektor von $H$ übereinstimmen. Außerdem wurde als Ortsvektor der Vektor $\overrightarrow{OA}$ , gewählt, was verdeutlicht, dass die Ebene $H$ den Punkt $A$ enthält.

Gleichung $(III)$

In Gleichung $(III)$ wird nun der Schnittpunkt des Einfallslots an der Hilfsebene $H$ berechnet, indem ein allgemeiner Punkt $(3+2t\mid2+3t\mid-2+6t)$ der Geraden $k$ in die Koordinatengleichung der Ebene $H$ eingesetzt wird. Als Ergebnis erhält man den Schnittpunkt $D$ .

Gleichung $(IV)$

Der Spiegelpunkt $P$ lässt sich nun durch den Vektorzug in Gleichung $(IV)$ berechnen. Dabei sollen $A$ und $P$ den selben Abstand zur Ebene haben, weswegen $2\cdot\overrightarrow{AD}$ gerechnet wird.

2.1

1.Zeigen, dass die Gerade $g$ in der Ebene $F$ liegt

Allgeminer Punkt $P_g$ der Geraden $g$ bestimmen

$P_g(3+12r\mid2+18r\mid-2-13r)$

Koordinaten des Punktes $P_g$ in die Koordinatengleichung von $F$ einsetzen:

Rechenweg anzeigen

$0 = 0$

Die Gleichung ist also unabhängig von $r$ erfüllt, woraus folgt, dass $g$ in $F$ liegt.

2.Zeigen, dass $g$ als gemeinsame Gerade in $E_a$ liegt

Allgemeiner Punkt $P_a$ der Geraden $g$ in die Koordinatengleichung der Ebenenschar $E_a$ einsetzen:

Rechenweg anzeigen

$7,5 = 7,5$

Die Gleichung ist also für alle $a$ und alle $r$ erfüllt, woraus folgt, dass die Gerade $g$ gemeinsame Gerade der Ebenenschar $E_a$ ist.

3.Zeigen, dass die Ebene $F$ nicht zur Ebenenschar $E_a$ gehört

Würde $F$ zu $E_a$ gehören, müssetn die Faktoren in der Koordinatengleichung von $F$ und $E_a$ vor $x,y$ und $z$ übereinstimmen.

Es müsste also gelten:

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&4,5+3a&=& 4 &\quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&4,5a-3&=&6 &\quad \\ \text{II}\quad&9a&=& 12&\quad \\ \end{array}$

$\begin{array}{} \text{I}\quad&4,5+3a&=& 4 \quad \scriptsize\mid\; -4,5\\[5pt] & 3a &=& -0,5\quad \scriptsize\mid\; :3 \\[5pt] & a &=& -\frac{1}{6} \\[5pt] \text{II}\quad&4,5a-3&=& 6 \quad \scriptsize\mid\; +3\\[5pt] & 4,5a &=& 9\quad \scriptsize\mid\; :4,5 \\[5pt] & a &=& 2 \\[5pt] \end{array}$

Die erste Gleichung wäre also durch $a=-\dfrac{1}{6}$ und die zweite Gleichung durch $a=2$ erfüllt. Dadurch entsteht ein Widerspruch, was bedeutet, dass die Ebene $F$ nicht in der Ebenenschar $E_a$ liegt.

2.2

Spiegelebene ermitteln

Damit der Lichtstrahl von $A$ nach $B$ in sich selbst reflektiert wird, muss er senkrecht auf die Ebene treffen. Das bedeuetet der Vektor $\overrightarrow{BA}$ un der Normalenvekror $\overrightarrow{n}$ der Ebenenschar $E_a$ müssen Vielfache voneinander sein. Der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ lässt sich aus der Koordinatengleichung ablesen:

$\overrightarrow{n}=\pmatrix{4,5+3a \\ 4,5a-3 \\ 9a}$

Mathematisch ausgedrückt muss also gelten:

$m\cdot\pmatrix{4,5+3a \\ 4,5a-3 \\ 9a}=\pmatrix{-1 \\ 5 \\ 6}$

Das liefert folgendes Gleichungssystem:

$\begin{array}{} \text{I}\quad&4,5m+3am&=&-1\quad\\[5pt] \text{II}\quad&4,5am-3m&=&5\quad \\[5pt] \text{III}\quad&9am&=&6\quad\\[5pt] \end{array}$

Ersetzen von $m\cdot a$ durch eine dritte Variable und Eingabe wie folgt in den CAS liefert dann das Ergebnis:

on $\rightarrow$ Calculator $\rightarrow$ Menu $\rightarrow$ Algebra $\rightarrow$ Gleichungssysteme lösen $\rightarrow$ System linearer Gleichungen lösen... $\rightarrow$ Anzahl der Gleichungen: 4 $\rightarrow$ Variablen: Variablennamen mit Komma getrennt eingeben $\rightarrow$ OK

Mathematische Gleichungen und Lösungen auf einem Bildschirm dargestellt.

Der CAS gibt $m$ $=-\dfrac{2}{3}$ und $m$ $\cdot a$ $= \dfrac{2}{3}$ als Lösung zurück. Einsetzen von $m$ in $m \cdot a= \frac{2}{3}$ liefert für $a:$

$a$ $=\dfrac{2}{3}$ $\cdot(-\dfrac{3}{2})$ $=-1$

Die Spiegelebene $E_{a=-1}$ , die den Strahl wieder in sich selbst reflektiert, ist somit gegeben durch

$E_{a=-1}:\quad1,5x-7,5y-9z=7,5$

1.1

Die Länge der Vektoren $\overrightarrow{BA}$ und $\overrightarrow{BC}$ berechnen

$\overrightarrow{BA}= \pmatrix{2 \\ 7 \\ 4} - \pmatrix{3 \\ 2 \\ -2}= \pmatrix{-1 \\ 5 \\ 6}$

$\overrightarrow{BC}= \pmatrix{13 \\ 4 \\ 10} - \pmatrix{3 \\ 2 \\ -2} = \pmatrix{10 \\ 2 \\ 12}$

$\begin{array}[t]{rll} \mid \overrightarrow{BA} \mid&=& \sqrt{(-1)^2+5^2+6^2} \\[5pt] &=& \sqrt{62} \\[5pt] \end{array}$

Damit ist gezeigt: $\mid\overrightarrow{BC}\mid=2\cdot\mid\overrightarrow{BA}\mid$ .

1.2

1. Den Vektor $\overrightarrow{v}$ berechnen

$\overrightarrow{v}=\overrightarrow{BA}+ \frac{1}{2} \overrightarrow{BC}$

2. Einfallswinkel des Lichtstrahls bestimmen

$\phi = \cos^{-1} \left(\dfrac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{\mid \overrightarrow{a} \mid \cdot \mid \overrightarrow{b} \mid} \right)$

1. Schritt: Skalarprodukt der Vektoren $\overrightarrow{v}$ und $\overrightarrow{BA}$ berechnen

2. Schritt: Beträge der Vektoren berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \mid \overrightarrow{v} \mid&=& \sqrt{4^2+6^2+12^2} \\[5pt] &=& \sqrt{196} \\[5pt] &=& 14 \\[5pt] \end{array}$

Der Betrag des Vektors $\overrightarrow{BA}$ kann aus der vorigen Aufgaben übernommen werden: $\mid\overrightarrow{BA}\mid=\sqrt{62}$ .

3. Schritt: Einfallswinkel $\alpha$ berechnen

Mit dem CAS wird nun der Einfallswinkel berechnet:

Action $\rightarrow$ Vektor $\rightarrow$ angle(Vektor1, Vektor2) $\rightarrow$ ENTER

Mathematische Berechnung eines Winkels zwischen zwei Vektoren in einer Softwareanwendung.

Der vom CAS berechnete Einfallswinkel beträgt damit $\alpha = 27,25^{\circ}.$

3. Koordinatengleichung der Spiegelebene bestimmen

Für die Koordinatengleichung wird ein Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ benötigt, der senkrecht zu der Ebene $F$ steht und ein Punkt, der in der Ebene liegt.

$F: n_1\cdot x_1 + n_2\cdot x_2 + n_3\cdot x_3 = d$

Da das Einfallslot senkrecht auf der Spiegelebene steht, kann der Vektor $\overrightarrow{v}=\pmatrix{4 \\ 6 \\ 12}$ als Normalenvektor verwendet werden.

Als Punkt, der in der Ebene liegt, kann der Punkt $B(3\mid2\mid-2)$ verwendet werden
Daraus folgt:

$F: 4x+6y+12z$ $= 3 \cdot 4$ $+ 2\cdot 6$ $+ (-2) \cdot 12$ $= 0$

Durch Kürzen der Gleichung mit 2 entsteht folgende Gleichung:

$F: 2x+3y+6z = 0$

1.3

1. Schritt: Die Ebene $E$ und die Gerade $g$ auf Schnittpunkte untersuchen

Koordinatengleichung der Ebene $E$ aufstellen, welche die Punkte $A,B$ und $C$ enthält:

Als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der Ebene $E$ kann das Kreuzprodukt aus den Vektoren $\overrightarrow{BA}$ und $\overrightarrow{BC}$ gewählt werden.

Rechenweg anzeigen

$\overrightarrow{n}=4\cdot \pmatrix{12 \\ 18 \\-13}$

1.4

Die Zeilen $(I)$ bis $(IV)$ kann man als Verfahren deuten, bei dem derjenige Punkt ermittelt wird, der durch Spiegelung des Punktes $A$ an dem Einfallslot entsteht.

Gleichung $(I)$

Gleichung $(II)$

Gleichung $(III)$

Gleichung $(IV)$

2.1

1.Zeigen, dass die Gerade $g$ in der Ebene $F$ liegt

Allgeminer Punkt $P_g$ der Geraden $g$ bestimmen

$P_g(3+12r\mid2+18r\mid-2-13r)$

Koordinaten des Punktes $P_g$ in die Koordinatengleichung von $F$ einsetzen:

Rechenweg anzeigen

$0=0$

Die Gleichung ist also unabhängig von $r$ erfüllt, woraus folgt, dass $g$ in $F$ liegt.

2.Zeigen, dass $g$ als gemeinsame Gerade in $E_a$ liegt

Allgemeiner Punkt $P_a$ der Geraden $g$ in die Koordinatengleichung der Ebenenschar $E_a$ einsetzen:

Rechenweg anzeigen

$7,5=7,5$

Die Gleichung ist also für alle $a$ und alle $r$ erfüllt, woraus folgt, dass die Gerade $g$ gemeinsame Gerade der Ebenenschar $E_a$ ist.

3.Zeigen, dass die Ebene $F$ nicht zur Ebenenschar $E_a$ gehört

Würde $F$ zu $E_a$ gehören, müssetn die Faktoren in der Koordinatengleichung von $F$ und $E_a$ vor $x,y$ und $z$ übereinstimmen.

Es müsste also gelten:

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&4,5+3a&=& 4 &\quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&4,5a-3&=&6 &\quad \\ \text{II}\quad&9a&=& 12&\quad \\ \end{array}$

2.2

Spiegelebene ermitteln

$\overrightarrow{n}=\pmatrix{4,5+3a \\ 4,5a-3 \\ 9a}$

Mathematisch ausgedrückt muss also gelten:

$m\cdot\pmatrix{4,5+3a \\ 4,5a-3 \\ 9a}=\pmatrix{-1 \\ 5 \\ 6}$

Das liefert folgendes Gleichungssystem:

$\begin{array}{} \text{I}\quad&4,5m+3am&=&-1\quad\\[5pt] \text{II}\quad&4,5am-3m&=&5\quad \\[5pt] \text{III}\quad&9am&=&6\quad\\[5pt] \end{array}$

Eingabe wie folgt in den CAS liefert dann das Ergebnis:

Action $\rightarrow$ Advanced $\rightarrow$ solve({lin. Gleichungen}, {Variablen}) $\rightarrow$ ENTER

Mathematische Software zeigt die Lösung einer Gleichung mit Variablen a und m.

Der CAS gibt $m$ $=-\dfrac{2}{3}$ und $a$ $= -1$ als Lösung zurück. Die Spiegelebene $E_{a=-1}$ , die den Strahl wieder in sich selbst reflektiert, ist somit gegeben durch

$E_{a=-1}:\quad1,5x-7,5y-9z=7,5$