A - Hilfsmittelfreier Teil

Analysis - Niveau 1

Eine in $\mathbb{R}$ definierte ganzrationale, nicht lineare Funktion $f$ mit erster Ableitungsfunktion $\(f$ und zweiter Ableitungsfunktion $\(f$ hat folgende Eigenschaften:

$f$ hat bei $x_1$ eine Nullstelle.
Es gilt $\(f$ und $\(f$ .
$\(f$ hat ein Minimum an der Stelle $x_3.$

Die Abbildung zeigt die Positionen von $x_1, x_2$ und $x_3.$

1.1

Begründe, dass der Grad von $f$ mindestens 3 ist.

(2 BE)

1.2

Skizziere in der Abbildung einen möglichen Graphen von $f.$

(3 BE)

Lineare Algebra/ Analytische Geometrie - Niveau 1

Gegeben ist das Gleichungssystem

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad& 2x \quad\quad+z&=& 0 &\quad\\ \text{II}\quad& -y+2z&=& 0 &\quad \\ \text{III}\quad& 2y+bz &=& 1 &\quad \\ \end{array}$

mit $x, y, z \in \mathbb{R}$ .

Untersuche in Abhängigkeit von $b$ mit $b \in \mathbb{R}$ die Anzahl der Lösungen des Gleichungssystems; gib gegebenenfalls die Lösungen an.

(5 BE)

Stochastik - Niveau 1

Bei einem zweistufigen Zufallsexperiment wird zunächst eine faire Münze und danach ein fairer Würfel geworfen.

Zeigt die Münze „Kopf", wird ein Würfel geworfen, dessen sechs Seiten mit 1,1,1,2,2,3 beschriftet sind.

Zeigt die Münze „Zahl“, wird ein Würfel geworfen, dessen sechs Seiten mit 1,2,2,4,5,5 beschriftet sind.

3.1

Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die gewürfelte Zahl ungerade ist.

(2 BE)

3.2

Die gewürfelte Zahl ist gerade. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze „Kopf“ zeigte.

(3 BE)

Lineare Algebra / Analytische Geometrie - Niveau 2

Gegeben sind die Geraden $g: \overrightarrow{x}=\pmatrix{1\\1\\1}+r\cdot \pmatrix{1\\2\\0}$ und $h: \overrightarrow{x}=\pmatrix{1\\1\\1}+s\cdot \pmatrix{2\\1\\0}$ mit $r,s \in\mathbb{R}.$

4.1

Begründe, dass $g$ und $h$ nicht identisch sind.

(1 BE)

4.2

Die Gerade $g$ soll durch Spiegelung an einer Ebene auf die Gerade $h$ abgebildet werden.

Bestimme eine Gleichung einer geeigneten Ebene und erläutere dein Vorgehen.

(4 BE)

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Analysis - Niveau 1

1.1

Da der Graph der ersten Ableitung an der Stelle $x_3$ ein Minimum besitzt und somit parabelförmig verläuft, ist der Grad von $\(f$ mindestens 2.

Da mit jeder Ableitung ein Grad verloren geht, muss der Graph von $f$ also mindestens 3 sein.

1.2

Aus den Eigenschaften folgt:

Der Graph von $f$ schneidet an der Stelle $x_1$ die $x$ -Achse
Der Graph von $f$ besitzt an der Stelle $x_2$ eine Extremstelle
Der Graph von $f$ besitzt an der Stelle $x_3$ eine Wendestelle in Form einer Linkskurve

Ein möglicher Verlauf des Graphen von $f$ ist somit:

Lineare Algebra/ Analytische Geometrie - Niveau 1

Aus $\text{I}$ ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} \text{I:} \quad 2x+z&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; -2x \\[5pt] z&=& -2x \end{array}$

Einsetzen in $\text{II}$ liefert:

$\begin{array}[t]{rll} \text{II:} \quad -y+2z&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; z=-2x\\[5pt] -y-4x&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +y\\[5pt] -4x&=& y \end{array}$

Für $\text{III}$ folgt nun:

$\begin{array}[t]{rll} \text{III:} \quad 2y+bz&=& 1&\quad \scriptsize \mid\; y=-4x \quad \scriptsize \mid\; z=-2x\\[5pt] -8x- 2bx&=&1 &\\[5pt] x\cdot (-8-2b)&=& 1 &\quad \scriptsize \mid\; :(-8-2b) \\[5pt] x&=& \dfrac{1}{-8-2b} & \\[5pt] \end{array}$

In Abhängigkeit von $b$ ergeben sich somit folgende Lösungen:

$x=\dfrac{1}{-8-2b}$

$y=-4x=\dfrac{1}{2+0,5b}$

$z=-2x=\dfrac{1}{4+b}$

Für $b= -4$ besitzt das LGS keine Lösung.

Für jedes $b \neq -4$ besitzt das LGS genau eine Lösung.

Stochastik - Niveau 1

3.1

$K:$ Kopf

$Z:$ Zahl

$G:$ gerade Zahl

$\overline{G}:$ ungerade Zahl

Für den ersten Würfel beträgt die Wahrscheinlichkeit, eine ungerade Zahl zu würfeln, $P(\overline{G}\mid K)=\dfrac{4}{6}.$

Für den zweiten Würfel beträgt die Wahrscheinlichkeit, eine ungerade Zahl zu würfeln, $P(\overline{G}\mid Z)=\dfrac{3}{6}.$

Bei einem fairen Münzwurf beträgt die Wahrscheinlichkeit, Kopf bzw. Zahl zu werfen, $P(K)=P(Z)=\dfrac{1}{2}.$

Somit folgt:

$\begin{array}[t]{rll} P(\overline{G})&=& \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{4}{6}+ \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{3}{6}& \\[5pt] &=& \dfrac{7}{12} & \\[5pt] &\approx& 0,58 \end{array}$

3.2

Mit dem Satz von Bayes ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} P(K \mid G)&=&\dfrac{P(G \mid K)\cdot P(K)}{P(G)} & \\[5pt] &=&\dfrac{\left(1-P(\overline{G}\mid K)\right)\cdot P(K)}{1-P(\overline{G})} & \\[5pt] &=&\dfrac{\left(1-\dfrac{4}{6}\right)\cdot \dfrac{1}{2}}{1-\dfrac{7}{12}} & \\[5pt] &=& \dfrac{2}{5} \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze „Kopf“ zeigte, beträgt somit $40\,\%.$

Lineare Algebra / Analytische Geometrie - Niveau 2

4.1

$g$ und $h$ sind nicht identisch, da die Richtungsvektoren von $g$ und $h$ keine Vielfachen voneinander sind.

4.2

Da die Richtungsvektoren der beiden Geraden gleich lang sind, ergibt sich ein Normalenvektor aus der Differenz der beiden Vektoren:

$\overrightarrow{n}=\pmatrix{2\\1\\0}-\pmatrix{1\\2\\0}=\pmatrix{1\\-1\\0}$

Einsetzen des gemeinsamen Stützpunkts $P(1 \mid 1\mid1)$ in die allgemeine Ebenengleichung liefert:

$\begin{array}[t]{rll} E: n_1\cdot x_1+n_2\cdot x_2+n_3\cdot x_3&=& c& \\[5pt] 1\cdot 1-1\cdot 1+0\cdot 1&=& c& \\[5pt] 0&=& c \end{array}$

Die Koordinatengleichung folgt also mit:

$E: x_1-x_2=0$

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