B1 - Analysis

Rückhaltebecken für Regen dienen dazu, bei starkem Regen Überschwemmungen zu vermeiden, indem das Regenwasser zunächst darin gesammelt und später langsam wieder abgelassen wird.
Die Zuflussrate des Regenwassers kann bei einigen Regenfällen modelliert werden durch die Funktionenschar $f_k$ mit

$f_k(t)=100(k^2 \cdot t+k) \cdot e^{-\frac{k}{5}\cdot t},$ $t\geq 0, k \in \mathbb{R}^+.$

Dabei gibt $t$ die Zeit in Stunden nach Beobachtungsbeginn und $f_k(t)$ die Zuflussrate in $\dfrac{m^3}{h}$ an.
Der Parameter $k$ ist ein Maß für die Stärke des Regens.
Im Material sind die Graphen der Funktionen $f_k$ für $k=1,2,3,4$ dargestellt.

Material 1: Graphen der Funktionenschar $f_k(t)$ für $k=1,2,3,4$

1.1

Berechne die Zuflussrate zum Zeitpunkt $t=0$ in Abhängigkeit vom Parameter $k.$

(2 BE)

1.2

Berechne die maximale Zuflussrate und den zugehörigen Zeitpunkt jeweils in Abhängigkeit vom Parameter $k.$
Die zweite Ableitung $\(f_k$ kann ohne Nachweis verwendet werden.

[Zur Kontrolle: $t_{max}=\dfrac{4}{k}$ ]

(7 BE)

1.3

Beschrifte die Graphen in der Abbildung mit den zugehörigen Parameterwerten $k=1,2,3,4$ und beschreibe den Einfluss des Parameters $k$ auf Zeitpunkt und Größe der maximalen Zuflussrate.
Skizziere in das Koordinatensystem im Material die Ortskurve der Hochpunkte und bestimme die Funktionsgleichung der Ortskurve.

(7 BE)

1.4

Berechne die Wendepunkte der Graphen der Funktionenschar $f_k$ in Abhängigkeit von $k.$

Hinweis: Die Untersuchung der notwendigen Bedingung ist ausreichend.

(4 BE)

Die Wendetangenten der Graphen der Scharfunktionen $f_k$ werden durch Graphen der Funktionenschar $w_k$ mit

$w_k(t)= 100k \cdot (19-k \cdot t) \cdot e^{-\frac{9}{5}}$ beschrieben.

1.5

Das nötige Fassungsvermögen des Rückhaltebeckens, das für die Aufnahme der gesamten Regenmenge bei einer Modellierung der Zuflussrate durch die Funktionenschar $f_k$ ausreicht, kann mittels zweier Verfahren bestimmt werden:

(1) Bestimmung des Grenzwerts $\lim\limits_{u\to\infty}[F_k(u)-F_k(0)],$ wobei $F_k$ eine Stammfunktionenschar der Funktionenschar $f_k$ darstellt.

(2) Bestimmung des Inhalts der Fläche, die zwischen den Koordinatenachsen und der Wendetangente $w_k$ eingeschlossen ist.

1.5.1

Mit einem der beiden Verfahren wird der genaue Wert für das nötige Fassungsvermögen ermittelt und mit dem anderen lediglich eine Näherungslösung.
Entscheide, mit welchem der beiden Verfahren bei der vorgegebenen Modellierung der genaue Wert für das nötige Fassungsvermögen bestimmt wird, und erläutere deine Entscheidung.

(3 BE)

1.5.2

Berechne mithilfe des Formansatzes

$F_k(t)=100 (a \cdot t+b) \cdot e^{-\frac{k}{5}\cdot t}$

eine Stammfunktionenschar $F_k$ von $f_k$ .

[zur Kontrolle: $F_k$ mit

$F_k(t)=100 \cdot ( -5 \cdot k \cdot t - 30) \cdot e^{-\frac{k}{5}\cdot t}$

ist eine mögliche Stammfunktionenschar.]

(7 BE)

1.5.3

Berechne jeweils die Werte für das nötige Fassungsvermögen nach den beiden genannten Verfahren und vergleiche die beiden Werte, indem du die prozentuale Abweichung der Näherungslösung berechnest.

(6 BE)

Die obere Randkurve des um $90\,^{\circ}$ gekippten rotationssymmetrischen Rückhaltebeckens in dem folgenden Material kann durch den Graphen der Funktion $g$ mit

$g(x) = \sqrt{60x}, \, x \geq 0$ ,

beschrieben werden.
Die Tiefe des Rückhaltebeckens wird mit $H$ und der Durchmesser mit $d$ bezeichnet.
Alle Längenangaben erfolgen dabei in Meter.

Material 2: Skizze des (um $90\,^{\circ}$ gekippten) Rückhaltebeckens

2.1

Zeige, dass für das Volumen des Rückhaltebeckens $V =\pi \cdot 30H^2$ gilt.
Berechne die Tiefe $H$ und den Durchmesser $d$ des Rückhaltebeckens, wenn dieses ein Fassungsvermögen von $3000\,\text{m}^3$ besitzt.

(5 BE)

2.2

Das vollgelaufene Rückhaltebecken wird bei konstanter Abflussrate in $100$ Stunden wieder völlig entleert.

2.2.1

Entscheide ohne eine Rechnung, ob nach $50$ Stunden die Höhe des Wasserstandes im Rückhaltebecken auf der halben Höhe über dem Beckenboden oder darüber bzw. darunter liegt.

(2 BE)

2.2.2

Begründe, dass für die Regenwassermenge (in $\,\text{m}^3$ ), die sich zum Zeitpunkt $t$ nach Beginn der Entleerung noch im Rückhaltebecken befindet, gilt:

$V(t) =-30t+ 3000$

(3 BE)

2.2.3

Leite mithilfe der Formeln aus Aufgabe 2.1 und Aufgabe 2.2.2 für die Höhe des Wasserstands über dem Beckenboden bei der Entleerung die Formel $h(t)= \sqrt{ \dfrac{1}{\pi} (100-t)}$ her.

(4 BE)

1.1

Zuflussrate zum Zeitpunkt $t=0$ in Abhängigkeit vom Parameter $k$ :
$\begin{array}[t]{rll} f_k(0)& = &100(k^2 \cdot 0+k) \cdot\mathrm e^{-\frac{k}{5}\cdot 0}\quad \scriptsize\; \\[5pt] & = &100k \end{array}$

1.2

$\( f_k$

Vollständige Lösung anzeigen

Notwendige Bedingung für Extrema: $\(f$

$\begin{array}[t]{rll} 20\mathrm e^{-\frac{k}{5}t}k^2(4-kt )& = &0&\quad \scriptsize\; \mid :(20\mathrm e^{-\frac{k}{5}t}k^2)\neq0\\[5pt] 4-kt& = &0&\quad \scriptsize\;\mid -4\\[5pt] -kt& = &-4&\quad \scriptsize\; \mid :(-k), \text{ da }k\in\mathbb{R}^+\\[5pt] t& = &\dfrac{4}{k}\quad \scriptsize\;\\[5pt] \end{array}$

Hinreichende Bedingung für Extrema: $\(f$ und $\(f$

$\(\begin{array}[t]{rll} f_k$

$\begin{array}[t]{rll} f_k\bigg(\dfrac{4}{k}\bigg)& = &100(k^2\cdot \dfrac{4}{k}+k) \cdot \mathrm e^{-\frac{k}{5}\cdot \frac{4}{k}}\quad \scriptsize\; \\[5pt] & = &500k\cdot \mathrm e^{-\frac{4}{5}} \end{array}$

Die Zuflussrate ist nach $t=\dfrac{4}{k}$ Stunden mit $500k\cdot \mathrm e^{-\frac{4}{5}}$ $\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$ maximal.

1.3

Einfluss des Parameters $k$ auf Zeitpunkt und Größe der maximalen Zuflussrate:

Je größer $k$ ist, desto früher ist der Zeitpunkt und desto höher ist die Größe der maximalen Zuflussrate.

Funktionsgleichung der Ortskurve der Hochpunkte
$t$ nach $k$ umformen:

$t=\dfrac{4}{k}\Leftrightarrow k=\dfrac{4}{t}$

$k$ in $y=500k\cdot\mathrm e^{-\frac{4}{5}}$ einsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} y& = & 500\cdot \dfrac{4}{t}\cdot \mathrm e^{-\frac{4}{5}} & = &\dfrac{2000}{t}\cdot \mathrm e^{-\frac{4}{5}} \end{array}$ mit $t\gt0$

1.4

Wendepunkte der Graphen der Funktionsschar $f_k$ :
Notwendige Bedingung: $\(f_k$

$\begin{array}[t]{rll} 4k^3(kt -9) \cdot \mathrm e^{-\frac{k}{s}t}& = &0&\quad \scriptsize\; \mid :( \mathrm e^{-\frac{k}{s}t})\neq0\\[5pt] 4k^3(kt -9)& = &0&\quad \scriptsize\; \mid :4k^3\\[5pt] kt -9& = &0&\quad \scriptsize\; \mid +9\\[5pt] kt & = &9&\quad \scriptsize\; \mid :t\\[5pt] t & = &\dfrac{9}{k}&\quad \scriptsize\; \mid k\in\mathbb{R^+}\\[5pt] \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} f_k\bigg(\dfrac{9}{k}\bigg)& = &100(k^2 \cdot \dfrac{9}{k}+k) \cdot \mathrm e^{-\frac{k}{5}\cdot \frac{9}{k}}\quad \scriptsize\; \\[5pt] & = &100(9k+k) \cdot \mathrm e^{-\frac{9}{5}}\quad \scriptsize\; \\[5pt] & = &1000k\cdot \mathrm e^{-\frac{9}{5}} \end{array}$

Die Wendepunkte der Graphen der Funktionsschar $f_k$ liegen bei $W_k \left(\dfrac{9}{k}\mid1000k\cdot \mathrm e^{-\frac{9}{5}}\right).$

1.5.1

Mit dem Verfahren (1) wird der genaue Wert für das Fassungsvermögen ermittelt, da durch die Scharfunktionen $f_k$ die Zuflussrate beschrieben wird (und $f_k(t)\gt 0$ für $t\geq0$ ), gibt der mit Hilfe der Stammfunktion $F_k$ von $f_k$ als Grenzwert bestimmte Inhalt der Fläche zwischen dem Funktionsgraphen und der positiven $t$ -Achse die Wassermenge an, die insgesamt zufließen kann.
Verfahren (2) ist eine Näherungslösung.

1.5.2

$\( F_k$

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Koeffizientenvergleich von $F_k‘(t)$ und $f_k(t)$ :

$\begin{array}[t]{rll} k^2& = &-\dfrac{ak}{5}&\quad \scriptsize\; \mid \cdot5\\[5pt] 5k^2& = &-ak &\quad \scriptsize\; \mid :(-k)\\[5pt] a& = &-5k \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} -5k-\dfrac {bk}{5}& = &k&\quad \scriptsize\; \mid +5k\\[5pt] -\dfrac {bk}{5}& = &6k&\quad \scriptsize\; \mid \cdot(-5)\\[5pt] bk& = &-30k&\quad \scriptsize\; \mid :k\\[5pt] b& = &-30&\quad \scriptsize\;\\[5pt] \end{array}$

Eine mögliche Stammfunktion von $f_k$ ist somit $F_k=100(-5kt-30)\cdot \mathrm e^{-{\frac{k}{5}t}}$ .

1.5.3

Verfahren (1):

$\lim\limits_{u\to\infty}[F_k(u)-F_k(0)]=3000 \;(\text{m}^3)$

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Verfahren (2):
Schnittpunkt der Wendetangente mit der $y$ -Achse:
$w_k(0)=1900k\cdot \mathrm e^{-\frac{9}{5}}$

Schnittpunkt der Wendetangente mit der $x$ -Achse, durch $w_k(t)=0:$

$t = \dfrac{19}{k}$

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Die Wendetangente bildet mit den beiden Koordinatenachsen ein rechtwinkliges Dreieck. Der Flächeninhalt $A$ lässt sich somit mit $h=1900k\cdot \mathrm e^{-\frac{9}{5}}$ und $g=\dfrac{19}{k}$ berechnen:

$A=\dfrac{1}{2}\cdot h\cdot g=\dfrac{1}{2}\cdot 1900k\cdot \mathrm e^{-\frac{9}{5}}\cdot \dfrac{19}{k}$ $=18050\cdot \mathrm e^{-\frac{9}{5}}\approx 2983,65\;[\text{m}^3]$

Mit $\dfrac{18050\cdot \mathrm e^{-\frac{9}{5}}}{3000}=0,9945$ weicht die Näherungslösung um etwa $0,55\,\%$ ab.

2.1

Volumen des Rückhaltebeckens:
$\begin{array}[t]{rll} V& = &\pi\displaystyle\int_{a}^{b}(g(x))^2\;\mathrm dx \quad \scriptsize \; \\[5pt] V& = &\pi\displaystyle\int_{0}^{H}(\sqrt{60x})^2\;\mathrm dx \quad \scriptsize \; \\[5pt] & = &\pi\displaystyle\int_{0}^{H}60x\;\mathrm dx \quad \scriptsize \; \\[5pt] & = &\pi \cdot\left[30x^2\right]_{0}^H\quad \scriptsize \; \\[5pt] & = &\pi \cdot 30H^2\quad \scriptsize \; \\[5pt] \end{array}$

Höhe $H$ und Durchmesser $d$ bei einem Fassungsvermögen von $3000\,\text{m}^3$ :

Höhe $H$ :

$\begin{array}[t]{rll} \pi \cdot 30H^2& = &3000 &\quad \scriptsize \mid :30\pi\\[5pt] H^2& = &\dfrac{100}{\pi}&\quad \scriptsize \mid \sqrt \; \\[5pt] H& = &\sqrt{\dfrac{100}{\pi}}\,\quad \scriptsize \; \\[5pt] & \approx &5,64\;[\text{m}] \end{array}$

Durchmesser $d$ :

$\begin{array}[t]{rll} 2\cdot g\bigg(\sqrt{\dfrac{100}{\pi}}\bigg)& = &2\cdot \sqrt {60\sqrt{\dfrac{100}{\pi}}} & \approx &36,8 \end{array}$

Bei einem Fassungsvermögen von $3000\,\text{m}^3$ beträgt die Höhe $5,64 \,\text{m}$ und der Druchmesser $36,8\,\text{m}$ .

2.2.1

Der Wasserstand im Rückhaltebecken liegt nach $50$ Stunden nicht unter der Hälfte der Höhe des Beckens, da das Rückhaltebecken oben einen größeren Durchmesser als unten hat. Somit sinkt die Höhe des Wasserstandes bei konstanter Abflussrate zunächst langsamer und dann immer schneller.

2.2.2

Das Volumen nimmt linear ab, da die Abflussrate konstant ist. Die Steigung $m$ ergibt sich aus den Randbedingungen $V(0)=3000$ und $V(100)=0$ :

$m=\dfrac{0-3000}{100-0}=-30$

Der $y$ -Achsenabschnitt ist durch die Regenwassermenge zu Beginn mit $V(0)=3000$ gegeben.

2.2.3

$\begin{array}[t]{rll} V(t)& = &\pi\cdot 30(h(t))^2&\quad \scriptsize \mid: 30\pi \; \\[5pt] \dfrac{V(t)}{30\pi}& = &h(t)^2&\quad \scriptsize \mid: \sqrt\; \\[5pt] h(t)& = &\sqrt{\dfrac{V(t)}{30\pi}}&\quad \scriptsize \; \\[5pt] & = &\sqrt{\dfrac{-30t+3000}{30\pi}}\quad \scriptsize \\[5pt] & = &\sqrt{\dfrac{-t+100}{\pi}}\quad \scriptsize \\[5pt] & = &\sqrt{\dfrac{1}{\pi}(100-t)}\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$