B1 – Analysis
Gegeben ist die Funktionenschar
mit
betrachtet.
Diese Vase hat eine Höhe von
1
Im Folgenden soll die Funktionenschar
untersucht werden.
1.1
In der folgenden Abbildung sind die Graphen der drei Scharfunktionen
und
dargestellt.
Ordne jedem Graphen den passenden Parameterwert zu.

(2 BE)
1.2
Begründe anhand des Funktionsterms der Funktionenschar, dass sich die Graphen aller Funktionen der Schar für größer werdende
-Werte der
-Achse annähern.
(3 BE)
1.3.1
Berechne in Abhängigkeit von
den Wendepunkt jeder Scharkurve. Die Untersuchung der notwendigen Bedingung ist ausreichend.
Die Funktionsgleichung der ersten Ableitung
kann ohne Nachweis verwendet werden.
zur Kontrolle:
(6 BE)
1.3.2
Berechne die Gleichung der Ortskurve der Wendepunkte der Schar
(2 BE)
2
Die Form bestimmter Vasen soll durch Rotationskörper modelliert werden, die im Intervall
durch Rotation von Flächen um die
-Achse entstehen.
Dabei soll als äußere Randfunktion der Fläche eine Funktion
als innere Randfunktion eine geeignete Funktion der Schar
verwendet werden.
Im Modell liegt der Boden jeder Vase auf der
-Achse, die Dicke des Bodens soll vernachlässigt werden. Eine Einheit im Koordinatensystem entspricht einem Zentimeter.
2.1
Beschreibe unter Angabe zweier Aspekte, welchen Einfluss der Parameter
der Schar
auf die innere Form der zu den Graphen in der Abbildung gehörigen Vasen hat.
Im Folgenden wird die Vase mit der inneren Randfunktion
(4 BE)
2.2
Um das Füllvolumen der Vase zu berechnen, wird folgender Ansatz gewählt:
2.2.1
Leite diesen Ansatz her.
(2 BE)
2.2.2
Berechne unter Verwendung eines geeigneten Formansatzes zur Ermittlung einer Stammfunktion der Funktion
mit
das Füllvolumen der Vase.
zur Kontrolle:
(8 BE)
2.3
Für die äußere Randfunktion wird die Funktion
mit
verwendet.
Ermittle den Materialverbrauch der Vase in
Die Dicke des Bodens der Vase soll dabei vernachlässigt werden.
(4 BE)
2.4
Es wird eine Vase betrachtet, deren Höhe
beträgt. Die innere Randfunktion
soll so verändert werden, dass ihr Graph ab dem Wendepunkt (Aufgabe 1.3.1) ohne Knick geradlinig weiter verläuft.
Bestimme den Durchmesser der Halsöffnung dieser Vase.
(5 BE)
3
Es soll eine neue Vase mit einer inneren Randfunktion
entworfen werden. Der innere Rotationskörper der neuen Vase ist im Vergleich zu dem der Vase mit der inneren Randfunktion
schlanker (d.h.
), dafür aber höher (als
).
Der Inhalt der Schnittflächen beider Rotationskörper bei einem Längsschnitt soll gleich bleiben, es gilt also:
Entscheide begründet, ob das Füllvolumen der neuen Vase kleiner oder größer ist als das Füllvolumen der Vase mit der inneren Randfunktion
oder ob beide Füllvolumen gleich groß sind.
(4 BE)
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1.1
Der Linearfaktor
im Funktionsterm der Schar beschreibt einen linearen Anstieg mit einer Steigung, die von
abhängt. Der Exponentialfaktor
sorgt dafür, dass die Funktion für größere
-Werte abfällt. Dieser Abfall ist umso schneller, je größer
ist, da der Exponent schneller negativ wird.
Somit ergibt sich folgende Zuordnung:
Graph A:
Graph B:
Graph C:
1.2
Für große Werte von
dominiert der exponentielle Faktor
den Term
Da der Exponentialterm gegen null geht, nähert sich auch
für große
-Werte der
-Achse an.
1.3.1
1. Schritt: Zweite Ableitung bestimmen
Mit der Produkt- und Kettenregel gilt:
2. Schritt: Notwendige Bedingung für Wendestellen anwenden
3. Schritt:
-Koordinate bestimmen
Die Koordinaten des Wendepunkts jeder Scharkurve sind somit gegeben durch
1.3.2
Aus der
-Koordinate des Wendepunkts ergibt sich:
Die
-Koordinate der Wendepunkte ist in Abhängigkeit von
gegeben durch
Einsetzen von
liefert:
Die Gleichung der Ortskurve der Wendepunkte lautet also
.
2.1
Der Parameter
beeinflusst die Form der Vase wie folgt:
- Umso größer der
-Wert, desto größer ist die Wölbung des unteren inneren Teils der Vase und somit die Breite der inneren Form.
- Umso größer der
-Wert, desto schmaler ist der obere innere Teil der Vase und somit die Öffnung der Vase.
2.2.1
Der Ansatz zur Berechnung des Volumens der Vase ergibt sich durch das Rotieren der Funktion
um die
-Achse.
Mit
gilt für das Rotationsvolumen:
2.2.2
1. Schritt: Allgemeine Stammfunktion aufstellen
Da die Funktion
aus einem quadratischen Term und einer Exponentialfunktion zusammengesetzt ist, gilt für mögliche Stammfunktionen
2. Schritt: Stammfunktion ableiten
Zur Bestimmung der Koeffizienten
und
muss
durch Anwendung der Produktregel abgeleitet werden:
3. Schritt: Koeffizientenvergleich
Es muss gelten:
Vergleichen der Koeffizienten liefert für
Analog folgt für die Koeffizienten von
Für den konstanten Term ergibt sich somit:
4. Schritt: Stammfunktion aufstellen
Einsetzen der Koeffizienten in die allgemeine Stammfunktion liefert:
5. Schritt: Füllvolumen berechnen
Mit der Formel zur Berechnung des Füllvolumens der Vase aus der Aufgabenstellung ergibt sich:
Das Füllvolumen der Vase beträgt somit etwa
und somit ca.
Liter.
2.3
Der Materialverbrauch der Vase ergibt sich als Differenz der Volumina, die sich durch die äußere und innere Funktion ergeben:
Es gilt also:
Mit dem WTR kann das Integral bestimmt werden und es ergibt sich:
Der Materialverbrauch der Vase beträgt somit etwa
2.4
Aus der Aufgabe 1.3.1 sind die Koordinaten der Wendepunkte der Schar in Abhängigkeit von
bekannt. Für
folgt also:
Ab dem Wendepunkt verläuft die innere Randfunktion linear mit der Steigung
Ableitung bestimmen:
Es gilt also:
Einsetzen der Steigung
sowie der Koordinaten des Wendepunkts in die allgemeine Tangentengleichung liefert:
Ab dem Wendepunkt verläuft die Vase somit entlang der Tangente
Da die Vase
hoch sein soll, entspricht der Radius ihrer Halsöffnung der
-Koordinate an der Stelle
Der Durchmesser der Halsöffnung der Vase ist somit gegeben durch
3
Das Füllvolumen der Vase lässt sich wie in Aufgabe 2.2.1 hergeleitet mit folgender Formel berechnen:
Analog gilt für das Füllvolumen der neuen Vase:
Die Höhe
der neuen Vase und somit die obere Integralsgrenze ist genau so gewählt, dass trotz
Gleichheit der Integrale zur Bestimmung der Schnittflächen gilt.
Wegen
gilt auch
Durch das Quadrieren der Randfunktionen zur Bestimmung der Füllmenge wird jedoch auch die Differenz der Integrale über die beiden Funktionen proportional zum Quadrat der Randfunktion größer, während die obere Integralsgrenze
konstant bleibt.
Das Füllvolumen der neuen Vase wird folglich geringer sein.