B2 - Analysis

Mediziner und Biologen untersuchen die Auswirkungen von Antibiotika auf das Wachstum von Bakterienbeständen. Bakterien vermehren sich exponentiell. Fügt man diesen Bakterien ein Antibiotikum hinzu, wird das Wachstum des Bakterienbestands gehemmt. Das Antibiotikum bewirkt, dass die Bakterien absterben und der Bakterienbestand sich schlussendlich wieder dem Wert null annähert; man spricht in diesem Zusammenhang auch von vergiftetem Wachstum.
Mit den Funktionen der Schar $f_a$ mit $f_a(t)=e^{a \cdot t-0,3 \cdot t^2}$ , $t \geq 0, a \geq 0$ , kann der Bakterienbestand in einem Organismus dargestellt werden, wobei $t$ die Zeit in Tagen nach Beobachtungsbeginn und $f_a(t)$ die Anzahl der Bakterien in Tausend angibt.

1.1

Begründe, dass die Funktionen der Schar $f_a$ keine Nullstellen besitzen.

(2 BE)

1.2

Gib die erste Ableitungsfunktion der Funktion $f_a$ an und zeige, dass für die zweite Ableitungsfunktion gilt:

Vollständige Formel anzeigen

$\( {f_a}$

Gib jeweils die verwendeten Ableitungsregeln an.

(7 BE)

1.3

Bestätige, dass jeder Graph der Schar $f_a$ einen Hochpunkt im Punkt $HP \left(\dfrac{5}{3}a\, |\, e^{\frac{5}{6}a^2}\right)$ hat, und berechne die Funktionsgleichung der Ortskurve der Hochpunkte.

(8 BE)

1.4

Erkläre für $h\gt 0$ die Aussagen der Zeilen $(1)$ bis $(3)$ und deute das Ergebnis in Zeile $(3)$ geometrisch.

$(1)$ $f_a\left(\dfrac{5}{3}a+h \right)=e^{\frac{5}{6}a^2-0,3h^2}$

$(2)$ $f_a\left(\dfrac{5}{3}a-h \right)=e^{\frac{5}{6}a^2-0,3h^2}$

$(3)$ $\Rightarrow f_a\left(\dfrac{5}{3}a+h \right) = \left( \dfrac{5}{3}a-h \right)$

(5 BE)

Die Mediziner und Biologen analysieren unter Laborbedingungen einen Bakterienbestand, der durch die Funktion $f_a$ mit $a = 2,7$ beschrieben werden kann.

2.1

Bestimme, wann in diesem Fall der höchste Bakterienbestand vorliegt und wie hoch dieser ist.
Zeichne die Skalierung des Koordinatensystems in Material 1 ein.

Material 1: Graph von $f_{2,7}$

(3 BE)

2.2

Formuliere unter Bezug auf den Sachzusammenhang einen geeigneten Ansatz zur Berechnung des Zeitpunkts, ab dem man (bei Modellierung mit der Funktion $f_{2,7}$ ) davon ausgehen kann, dass keine Bakterien mehr vorhanden sind.
Berechne diesen Zeitpunkt und erläutere das Ergebnis.

(4 BE)

2.3

In Abbildung 2 ist der Graph einer möglichen Stammfunktion $F_{2,7}$ von $f_{2,7}$ dargestellt.
Beschreibe und begründe das Monotonieverhalten des Graphen von $F_{2,7}$ und erläutere die Bedeutung des Hochpunkts des Graphen von $f_{2,7}$ für den Graphen von $F_{2,7}$ .

Material 2: Graph einer Stammfunktion $F_{2,7}$ von $f_{2,7}$

(4 BE)

Der Mittelwert $m$ der Funktionswerte $g(x)$ einer Funktion $g$ im Intervall $[a;b]$ kann durch die Formel

$m =\dfrac{1}{b-a}\cdot \displaystyle\int_{a}^{b} g(x)\;\mathrm dx \,$ berechnet werden.

Für die Integration von $f_{2,7}$ muss auf Näherungsverfahren zurückgegriffen werden.

2.4

Eine Näherung für den Mittelwert der Anzahl an Bakterien während des zweiten Tages benutzt die Berechnung einer einzigen Trapezfläche, wie für den Graphen einer anderen Funktion als Beispiel in Abbildung 3 dargestellt.
Zeichne die entsprechende Trapezfläche in die Abbildung ein und berechne mithilfe der Trapezfläche einen Näherungswert für die mittlere Anzahl an Bakterien während des zweiten Tages nach Beobachtungsbeginn.

Material 3: Trapezfläche

(3 BE)

2.5

Bestimme (numerisch mithilfe des Taschenrechners) die mittlere Anzahl an Bakterien während des zweiten Tages nach Beobachtungsbeginn.

(2 BE)

2.6

Begründe für die Funktion $f_{2,7}$ , dass es genau zwei Intervalle $[a;b]$ der Länge $b-a=1$ gibt, in denen der Näherungswert durch die Trapezfläche gleich dem exakten Wert für den Mittelwert $m$ für das jeweilige Intervall ist.
Hinweis: Die Intervalle enthalten jeweils eine Wendestelle.

(4 BE)

Ein Arzneimittel wird als Tablette produziert und enthält neben dem Antibiotikum weitere Inhaltsstoffe. Die Tablette ist ein rotationssymmetrischer Körper. Die obere Randkurve der Querschnittsfläche der Tablette kann durch den Graphen der Funktion $h$ mit $h(x) = 0,5 \cdot \sqrt{1-x^2}\,$ beschrieben werden.
Eine Einheit im Koordinatensystem entspricht einem Zentimeter.

3.1

Zeige, dass der Definitionsbereich der Funktion $h$ das Intervall $[-1; 1]$ ist.

(2 BE)

3.2

In $0,01\,\text{cm}^3$ einer Tablette befinden sich $2\,\text{mg}$ des Antibiotikums.
Berechne, wie viel $\text{mg}$ des Antibiotikums eine Tablette enthält.

(6 BE)

1.1

Die Funktion $f_a$ ist eine Exponentialfunktion, die für alle Werte im Exponenten positiv ist, nie Null wird und somit keine Nullstellen besitzt.

1.2

$\( f_a$ $\(f_a$

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1.3

Hinreichende Bedingung für einen Hochpunkt: $\(f_a$ und $\(f_a$

$t= \dfrac{5}{3}a$

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$\( f_a$

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$\begin{array}[t]{rll} f_a\bigg(\dfrac{5}{3}a\bigg)& = &\mathrm e^{a \cdot (\frac{5}{3}a)-0,3 \cdot (\frac{5}{3}a)^2}\quad \scriptsize\;\\[5pt] & = &\mathrm e^{\frac{5}{3}a^2- \frac{5}{6}a^2}\quad \scriptsize\;\\[5pt] & = &\mathrm e^{\frac{5}{6}a^2} \end{array}$

Jeder Graph der Schar $f_a$ hat im Punkt $HP \left(\frac{5}{3}a\, \,\mid \, \, \mathrm{e}^{\frac{5}{6}a^2}\right)$ einen Hochpunkt.

Funktionsgleichung der Ortskurve der Hochpunkte:

$t$ nach $a$ umformen:

$t=\dfrac{5}{3}a\Leftrightarrow a=\dfrac{3}{5}t$

$a$ in $y$ einsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} y& = & \mathrm e^{\frac{5}{6}(\frac{3}{5}t)^2} & = &\mathrm e^{\frac{3}{10}t^2} \end{array}$

1.4

(1)

Es wird der Funktionswert an einer beliebigen Stelle im Abstand $h$ rechts der Extremstelle berechnet.

(2)

Es wird der Funktionswert an einer beliebigen Stelle im Abstand $h$ links der Extremstelle berechnet.

(3)

Der Funktionswert an einer belieben Stelle im Abstand $h$ rechts der Extremstelle ist gleich dem Funktionswert links der Extremstelle im selben Abstand $h$ . Dadurch wird klar, dass die Graphen der Funktionen der Schar $f_a$ zu einer parallelen zur $y$ -Achse, die durch den Hochpunkt verläuft, symmetrisch sind.

2.1

Einsetzen von $a=2,7$ in $t=\dfrac{5}{3}a$ und $y=\mathrm e^{\frac{5}{6}a^2}$ liefert, dass der höchste Bakterienstand bei $HP\left(4,5\, \mid\, \mathrm e^{\frac{5}{6}\cdot 2,7^2}\right)$ liegt, also nach $4,5$ Tagen mit rund $435.000$ Bakterien.

2.2

Sinkt $f_{2,7}$ unter den Wert $0,0005$ , ist im Modell davon auszugehen, dass keine Bakterien mehr vorhanden sind.

$f_{2,7}(t)=\mathrm e ^{2,7\cdot t-0,3\cdot t^2}=0,0005$

$t_1\approx 11,25\;,\quad \text{oder } \, t_2\approx-2,25$

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Da $t_2$ negativ ist und somit in der Vergangenheit liegt, ergibt diese Lösung im Zusammenhang keinen Sinn.
Es ist davon auszugehen, dass nach rund $11,25$ Tagen ( $11$ Tagen und $6$ Stunden) keine Bakterien mehr vorhanden sind.

2.3

Monotonieverhalten des Graphen von $f_{2,7}$ :
In der Abbildung ist zu erkennen, dass der Graph von $F_{2,7}$ (streng) monoton steigend ist. Dies lässt sich durch die Ableitungsfunktion $f_{2,7}(t)$ von $F_{2,7}(t)$ erklären, die für alle $t$ größer als Null ist.
An der Stelle des Hochpunktes des Graphen von $f_{2,7}$ ist der Graph von $F_{2,7}$ am steilsten und besitzt einen Wendepunkt.

2.4

$\dfrac{f_{2,7}(2)+f_{2,7}(1)}{2}\approx\dfrac{66,69+11,02}{2}\approx39$

Die mittlere Anzahl der Bakterien während des zweiten Tages nach Beobachtungsbeginn beträgt ungefähr $39 000$ Bakterien.

2.5

$m =\dfrac{1}{2-1}\cdot \displaystyle\int_{1}^{2} f_{2,7}(t)\;\mathrm dt \,$ $= \displaystyle\int_{1}^{2} \mathrm e^{2,7\cdot t-0,3\cdot t^2}\;\mathrm dt \,\approx 32$

Die mittlere Anzahl der Bakterien während des zweiten Tages nach Beobachtungsbeginn beträgt ungefähr $32 000$ Bakterien.

2.6

Beim Anlegen einer Sekante in einem bestimmten Intervall $[a;b]$ an den Graphen der Funktion, liegt bei einer Linkskrümmung des Graphen die Sekante oberhalb des Graphen, wodurch der Flächeninhalt des Trapezes deutlich höhere Werte, als die genaue Berechnung mithilfe des Integrals liefert.
Bei einer Rechtskrümmung des Graphen liegt die Sekante unterhalb des Graphen, sodass bei der Berechnung des Flächeninhalts kleinere Werte bestimmt werden.
Beim Krümmungswechsel (Wendestelle) liegt die Sekante allerdings teils unterhalb, teils oberhalb des Graphen, sodass hier ein Intervall der Länge $1$ existiert, in dem der Näherungswert durch die Trapezfläche exakt denselben Wert annimmmt, wie durch die Berechung des Mittelwerts $m$ für das Intervall. Aus Symmetriegründen des Graphen von $f_{2,7},$ der zwei Wendestellen besitzt, gibt es somit genau zwei solche Intervalle, in denen die beschriebene Eigenschaft zutrifft.

3.1

Der Wert in der Wurzel darf nicht $\lt0$ sein.

$1-x^2\geq0\Leftrightarrow1\geq x^2\Leftrightarrow -1\leq x\leq1$

Der Definitionsbereich der Funktion $h$ ist somit das Intervall $[-1;1]$ .

3.2

$\begin{array}[t]{rll} V& = & \pi\cdot\displaystyle\int_{-1}^{1}(0,5\cdot\sqrt{1-x^2})^2\; \mathrm dx\quad \scriptsize\;\\[5pt] & = & 2\pi\cdot\displaystyle\int_{0}^{1}(0,5\cdot\sqrt{1-x^2})^2\; \mathrm dx\quad \scriptsize\;\\[5pt] & = & 2\pi\cdot\displaystyle\int_{0}^{1}0,25\cdot(1-x^2)\; \mathrm dx\quad \scriptsize\;\\[5pt] & = &0,5\pi\cdot \left[x-\dfrac{1}{3}x^3\right]_{0}^1\quad \scriptsize \; \\[5pt] & = &0,5\pi\cdot\left[1-\dfrac{1}{3}\right]\quad \scriptsize\;\\[5pt] & = &\dfrac{\pi}{3} \end{array}$

$\dfrac{\pi}{3}\cdot \dfrac{2}{0,01}\approx209,4$

Die Tablette enthält etwa $209,4\,\text{mg}$ Antibiotikum.