A1 - Analysis

In einem Nationalpark soll eine neue Tierart angesiedelt werden. Dafür werden zum Zeitpunkt $t = 0$ Tiere ausgewildert, von denen einige bereits trächtig sind. Die mögliche Entwicklung der Geburtenrate dieser Tiere kann durch geeignete Funktionen der drei Funktionsscharen $f_a,$ $f_b$ und $f_c$ modelliert werden. Dabei gibt $f_a(t),$ $f_b(t)$ und $f_c(t)$ jeweils die Geburtenrate in Tiere/Jahr in Abhängigkeit von der Zeit $t$ in Jahren nach der Auswilderung an. Es gilt $a, b, c \gt 0$ sowie $t \geq 0.$

Modell A: $f_a(t)=\dfrac{a}{ 1 + 4 \cdot \mathrm e^{- 0,5 \cdot t}}$

Modell B: $f_b(t)=\dfrac{10}{1 + b \cdot \mathrm e^{- 0,5 \cdot t}}$

Modell C: $f_c(t) = 10 \cdot t \cdot \mathrm e^{ - c \cdot t} +10$

In den Abbildungen 1 bis 3 in Material 1 sind jeweils einige Graphen der Funktionsscharen $f_a,$ $f_b$ und $f_c$ dargestellt.

Material 1

Abb. 1

Abb. 2

Abb. 3

1.1

Bestimme ohne Verwendung der Graphen für die Modelle A, B und C jeweils die Geburtenrate zum Zeitpunkt der Auswilderung sowie die langfristige Entwicklung der Geburtenrate. Gib für die Abbildungen 1 bis 3 aus Material 1 jeweils an, welchem der drei Modelle A, B und C sie zuzuordnen sind.

(6 BE)

1.2

Beschreibe unter Berücksichtigung deiner Ergebnisse aus Aufgabe 1.1, welchen Einfluss die Scharparameter $a,$ $b$ und $c$ jeweils auf die Geburtenrate zum Zeitpunkt der Auswilderung sowie auf die langfristige Entwicklung der Geburtenrate haben.

(3 BE)

Im Folgenden soll für die Modellierung der Geburtenrate das Modell C mit der zugehörigen Funktionsgleichung $f_c$ verwendet werden.
Die Gleichung der ersten Ableitung $\(f_c$ kann ohne Nachweis verwendet werden.

2.1

Berechne die Wendepunkte der Schar $f_c.$
Hinweis: Die Untersuchung der notwendigen Bedingung ist ausreichend.
Beschreibe die Bedeutung der Wendestelle im Sachzusammenhang.
$\bigg[$ Zur Kontrolle: $W\left(\frac{2}{c}\mid \frac{20}{c\cdot \mathrm e^2}+10\right)$ $\bigg]$

(7 BE)

2.2

Die Wendepunkte aller Graphen der Schar liegen auf einer Kurve, der sogenannten Ortskurve. Leite für diese Ortskurve der Wendepunkte die zugehörige Funktionsgleichung her und bestätige, dass alle Wendepunkte auf einer Geraden liegen.

(4 BE)

Bei der Betrachtung der Populationsentwicklung ist neben der Geburtenrate auch die Sterberate zu berücksichtigen. Die Population wurde ab dem Zeitpunkt der Auswilderung über 10 Jahre beobachtet. Die Entwicklung der Geburtenrate soll durch die Funktion $f_1$ der Schar $f_c$ aus Aufgabe 1 mit $f_1(t) = 10 \cdot t \cdot \mathrm e^{ - t} + 10$ modelliert werden, die Entwicklung der Sterberate durch die Funktion $s$ mit $s(t) = 10 \cdot t \cdot e^{ - 2 \cdot t} + 0,1 \cdot t + 10.$
Die Graphen der Funktionen $f_1$ und $s$ sind in Material 2 dargestellt.

Material 2

Abb. 4

3.1

Leite mit einer geeigneten Integrationsmethode die Gleichung einer Stammfunktion $F_1$ der Funktion $f_1$ her und benenne die von dir verwendete Integrationsmethode.
[Zur Kontrolle: $F_1(t)=\mathrm e^{-t}\cdot \left(-10\cdot t-10 \right) + 10\cdot t$ ]

(5 BE)

3.2

Berechne die Anzahl der Geburten in den ersten $10$ Jahren nach der Auswilderung.

(4 BE)

3.3

Erläutere zunächst ohne Verwendung des Sachzusammenhangs die einzelnen Zeilen der unten dargestellten Rechnung. Deute anschließend den Ansatz in Zeile (1) sowie den Wert $t_1$ jeweils im Sachzusammenhang.

Rechnung anzeigen

(5 BE)

3.4

Berechne die drei Zeitpunkte, zu denen sich die Größe der Population gemäß der vorgenommenen Modellierung nicht verändert hat.
Hinweis: Ersetze an geeigneter Stelle $\mathrm e^{-t}$ durch $z.$

(6 BE)

1.1

Geburtenrate bei $t=0$ bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} f_a(0) &=& \dfrac{a}{1+4\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot 0}} \\[5pt] &=& \dfrac{a}{5} \\[10pt] f_b(0) &=& \dfrac{10}{1+b\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot 0}} \\[5pt] &=& \dfrac{10}{1+b} \\[10pt] f_c(0) &=& 10\cdot 0\cdot \mathrm e^{-c\cdot 0} +10 \\[5pt] &=& 10 \\[5pt] \end{array}$

Zum Zeitpunkt der Auswilderung beträgt die Geburtenrate also im Modell A $\dfrac{a}{5}$ Tiere pro Jahr, im Modell B $\dfrac{10}{1+b}$ Tiere pro Jahr und im Modell C $10$ Tiere pro Jahr.

Entwicklung der Geburtenrate bestimmen

Für $t\to \infty$ gilt für den Nenner des Bruchs des Funktionsterms im Modell A:

$1+4\cdot \underbrace{\mathrm e^{\underbrace{-0,5\cdot t}_{\to -\infty} }}_{\to 0}\to 1$

Insgesamt gilt daher $f_a(t)\to a$ für $t\to \infty.$

Für Modell $B$ gilt ebenfalls $1+b\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot t} \to 1$ und damit $f_b(t)\to 10$ für $t\to \infty.$

Für Modell $C$ gilt:

$10\cdot \underbrace{t}_{\to \infty}\cdot \underbrace{\mathrm e^{-c\cdot t}}_{\to 0} + 10 \to 10$

Insgesamt entwickelt sich die Geburtenrate folglich nach Modell A langfristig zu $a$ Tiere pro Jahr und nach Modell B und Modell C zu $10$ Tiere pro Jahr.

Abbildungen zuordnen

Da im Modell C die Geburtenrate zum Zeitpunkt der Auswilderung unabhängig vom Parameterwert $10$ Tiere pro Jahr beträgt, gehört Abbildung 1 zu Modell C.

Die langfristige Entwicklung ist nur bei Modell B und C unabhängig vom Parameter. Somit gehört Abbildung 3 also zu Modell B.

Im Modell A hängt die Geburtenate sowohl bei Auswilderung als auch auf langfrsitig vom Parameter $a$ ab. Somit lässt sich Abbildung 2 dem Modell A zuordnen.

1.2

Modell A

Die Geburtenrate zum Zeitpunkt der Auswilderung beträgt $\dfrac{a}{5}$ Tiere pro Jahr.

Mit einem größeren Wert von $a$ steigt also auch die Geburtenrate zum Zeitpunkt der Auswilderung.

Die langfristige Entwicklung der Geburtenrate ist $a.$ Diese wird also direkt durch den Parameterwert $a$ angegeben, sodass die langfristige Geburtenrate steigt, wenn der Parameterwert von $a$ steigt.

Modell B

Die Geburtenrate zum Zeitpunkt der Auswilderung beträgt $\dfrac{10}{1+b}.$ Mit steigenden Werten von $b$ sinkt also die Geburtenrate zum Zeitpunkt der Auswilderung im Modell B.

Langfristig entwickelt sich die Geburtenrate in diesem Modell gegen den Wert $10.$ Dieser ist unabhängig vom Parameter $b.$ Der Wert $b$ hat also keinen Einfluss auf die langfristige Entwicklung der Geburtenrate.

Modell C

Die Geburtenrate zum Zeitpunkt der Auswilderung beträgt $10$ und ist daher unabhängig vom Parameterwert $c.$

Langfristig entwickelt sich die Geburtenrate in diesem Modell gegen dern Wert $10.$ Dieser ist unabhängig vom Parameter $c.$ Der Wert $c$ hat also keinen Einfluss auf die langfristige Entwicklung der Geburtenrate.

2.1

Wendepunkte berechnen

$\(f_c$

Durch Anwendung der Produktregel kann die zweite Ableitung berechnet werden:

$\( f_c$

Vollständige Lösung anzeigen

1. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden

Rechenweg anzeigen

$t=\frac{2}{c}$

2. Schritt: $y$ -Koordinate bestimmen

Einsetzen in $f_c$ liefert:

$\begin{array}[t]{rll} f_c\left(\dfrac{2}{c} \right)&=& 10\cdot \dfrac{2}{c} \cdot \mathrm e^{-c\cdot \frac{2}{c}} +10 & \\[5pt] &=& \dfrac{20}{c} \cdot \mathrm e^{-2} +10 & \\[5pt] &=& \dfrac{20}{c\cdot \mathrm e^{2}} + 10 \end{array}$

Der Graphen der Schar $f_c$ besitzten also Wendepunkte mit den Koordinaten $W\left(\dfrac{2}{c} \mid \dfrac{20}{c\cdot \mathrm e^2} +10\right).$

Bedeutung beschreiben

Die Wendestellen von $f_c$ sind die Extremstellen der ersten Ableitungsfunktion $\(f_c$ welche die Änderungsrate von $f_c$ beschreibt.

Die Wendestelle gibt also den Zeitpunkt an, zu dem die Geburtenrate am stärksten abnimmt oder am stärksten zunimmt. Anhand von Abbildung 1 lässt sich erkennen, dass die Geburtenrate an dieser Stelle abnimmt. Die Wendestelle entspricht also dem Zeitpunkt im Modell C, zu dem die Geburtenrate am stärksten abnimmt.

2.2

Umformen der $t$ -Koordinate des Wendepunkts nach $c$ ergibt:

$\begin{array}[t]{rll} t &=& \dfrac{2}{c} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot c \\[5pt] t\cdot c&=& 2 &\quad \scriptsize \mid\;:t \\[5pt] c&=& \dfrac{2}{t} \end{array}$

Einsetzen in die $y$ -Koordinate liefert:

$\begin{array}[t]{rll} y_W&=& \dfrac{20}{c\cdot \mathrm e^2} +10 &\quad \scriptsize \mid\;c = \dfrac{2}{t} \\[5pt] &=& \dfrac{20}{\frac{2}{t}\cdot \mathrm e^2} +10 \\[5pt] &=& \dfrac{10}{\mathrm e^2}t +10\\[5pt] \end{array}$

Alle Wendepunkte der Schar $f_c$ liegen also auf dem Graphen mit der Gleichung $w(t)= \dfrac{10}{\mathrm e^2}t +10.$

Da diese Gleichung eine Gerade beschreibt, liegen folglich alle Wendepunkte der Schar $f_c$ auf einer Geraden.

3.1

Herleitung einer Stammfunktion mit partieller Integration:

$\displaystyle\int f_1(t)\;\mathrm dt = ...$

Rechenweg anzeigen

Eine Stammfunktion von $f_1$ ist also $F_1$ mit $F_1(t)= -10\cdot t\cdot \mathrm e^{-t} - 10\cdot \mathrm e^{-t}+10t.$

3.2

Die Anzahl der Geburten in einem bestimmten Zeitraum kann mithilfe eines Integrals über $f_1$ berechnet werden:

Rechenweg anzeigen

$\displaystyle\int_{0}^{10}f_1(t)\;\mathrm dt\approx 110$

In den ersten zehn Jahren nach der Auswilderung finden folglich ca. $110$ Geburten statt.

3.3

Rechnungen erläutern

(1)

Es wird eine Differenzenfunktion $d$ mit $d(t)= f_1(t) -s(t)$ gebildet.

(2)

Die erste Ableitungsfunktion $\(d$ von $d$ wird mithilfe der Produktregel gebildet und der Funktionsterm so weit wie möglich vereinfacht.

(3)

Anwendung des notwendigen Kriteriums für Extremstellen von $d$ , indem $\(d$ gesetzt wird. Diese Gleichung ergibt eine Lösung $t_1\approx 1,4.$ Bei $t_1$ handelt es sich also um eine mögliche Extremstelle von $d.$

(4)

Diese mögliche Extremstelle von $d$ wird in die zweite Ableitungsfunktion eingesetzt. Mit dem hinreichenden Kriterium ergibt sich wegen $\(d$ dass $d$ an der Stelle $t_1$ ein lokales Maximum annimmt.

Ansatz im Sachzusammenhang deuten

Die Differenzenfunktion $d$ im ersten Schritt wird gebildet als Differenz aus der Funktion für die Geburtenrate und der Funktion für die Sterberate.

Ist diese positiv, werden mehr Tiere geboren als sterben und die Population wächst. Ist sie negativ, schrumpft die Population, da mehr Tiere sterben als geboren werden.

Durch $d$ wird also die Änderungsrate der Größe der betrachteten Population beschrieben. Der Wert $t_1$ gibt daher den Zeitpunkt an, zu dem die Population am stärksten wächst.

3.4

Die Zeitpunkte, zu denen sich die Größe der Population nicht ändert, werden durch die Nullstellen der Funktion $d$ aus Aufgabe 3.3 beschrieben:

Rechenweg anzeigen

$t\cdot \left(10\cdot\mathrm e^{-t}-10\cdot \mathrm e^{-2\cdot t}-0,1 \right)= 0$

Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt $t_1=0.$

Berechnen der Werte für $t_{2/3}$ :

$\begin{array}[t]{rll} 10\cdot\mathrm e^{-t}-10\cdot \mathrm e^{-2\cdot t}-0,1 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; :(-10) \\[5pt] -\mathrm e^{-t}+\left(\mathrm e^{-t}\right)^2+0,01 &=& 0 \\[5pt] \left(\mathrm e^{-t}\right)^2-\mathrm e^{-t}+0,01 &=& 0 & \\[5pt] \end{array}$

Durch Substitution mit $z=\mathrm e^{-t}$ folgt:

$z^2-z+0,01 = 0$

Durch Anwenden der p-q-Formel ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} z_{1/2} &=& -\dfrac{(-1)}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{-1}{2} \right)^2 -0,01} \\[5pt] z_{1/2} &=& 0,5\pm \sqrt{0,24} & \\[5pt] z_1 &=& 0,5+\sqrt{0,24} \\[5pt] z_2 &=& 0,5-\sqrt{0,24} \\[5pt] \end{array}$

Resubstitution liefert nun:

$\begin{array}[t]{rll} z_1&=& \mathrm e^{-t_2} \\[5pt] 0,5+\sqrt{0,24}&=& \mathrm e^{-t_2} &\quad \scriptsize \mid\;\ln \\[5pt] \ln \left(0,5+\sqrt{0,24}\right)&=& -t_2 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot (-1) \\[5pt] -\ln \left(0,5+\sqrt{0,24}\right)&=& t_2 \\[5pt] 0,01 &\approx& t_2 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} z_2&=& \mathrm e^{-t_3} \\[5pt] 0,5-\sqrt{0,24}&=& \mathrm e^{-t_3} &\quad \scriptsize \mid\;\ln \\[5pt] \ln \left(0,5-\sqrt{0,24}\right)&=& -t_3 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot (-1) \\[5pt] -\ln \left(0,5-\sqrt{0,24}\right)&=& t_3 \\[5pt] 4,60 &\approx& t_3 \\[10pt] \end{array}$

Zum Zeitpunkt der Auswilderung, ca. $0,01$ Jahre danach und ca. $4,60$ Jahre nach der Auswilderung hat sich die Größe der Population gemäß der vorgenommenen Modellierung nicht verändert.