A2 - Analysis

Das Moses Mabhida Stadion in Durban, Südafrika (Abbildung 1) ist eines der Stadien, in denen die Fußballweltmeisterschaft 2010 ausgetragen wurde. Das charakteristische Element ist der Stahlbogen, der das Stadion überspannt. Die äußere Bogenspannweite am Boden beträgt $340\,\text{m}$ und die Höhe im Scheitelpunkt $103\,\text{m}.$

Wähle für die folgenden Berechnungen das Koordinatensystem so, dass die Bodenlinie auf der $x$ -Achse und der höchste Punkt des Bogens auf der $y$ -Achse liegt.

Der äußere Rand des Bogens soll zum einen durch die Polynomfunktion $p$ mit $p(x)=a\cdot(x-x_{1})\cdot(x+x_{1}),$ zum anderen durch die Kosinusfunktion $c$ mit $c(x)=A\cdot\cos\left(\dfrac{2\pi}{T}\cdot x\right)$ beschrieben werden.

Bestimme die Parameter $a$ und $x_{1}$ sowie $A$ und $T$ so, dass die Graphen der Funktionen jeweils die im Text genannten Eigenschaften haben.

(8 BE)

Eine andere Möglichkeit, die Bogenform durch eine Funktion zu modellieren, ist die umgekehrte Kettenlinie $k$ mit $k(x)$ $=C-\dfrac{1}{2\lambda}\cdot\left(\mathrm e^{\lambda\cdot x}+\mathrm e^{-\lambda\cdot x}\right)$ und den Parametern $C\in\mathbb{R}$ und $\lambda\in\mathbb{R}^+.$

2.1

Zeige, dass der Graph dieser Funktion symmetrisch zur $y$ -Achse ist und erläutere die Bedeutung von $C$ für den Funktionsgraphen.

(4 BE)

2.2

Berechne die Koordinaten des Hochpunktes des Graphen dieser Funktion in Abhängigkeit von $C$ und $\lambda.$

Die Überprüfung der notwendigen Bedingung ist ausreichend.

(8 BE)

Für die Länge $L_{a}(x)$ des Bogens des Graphen einer Funktion $f$ von der Stelle $a$ bis zur Stelle $x$ wird die Formel $\(L_{a}$ hergeleitet.

Nachfolgend bedeutet $\overset{\displaystyle\frown}{AQ}$ die Länge des Kurvenbogens zwischen den Punkten $A$ und $Q.$

Herleitung anzeigen

3.1

Erkläre die obigen Herleitungsschritte bis einschließlich Zeile $(3).$

Beachte dazu die Zeichnung in Abbildung 2.

Material 2 Stahlbogen Hessen Mathe Abi 2014

Abbildung 2

(7 BE)

3.2

Zeige, dass gilt:

Gleichung anzeigen

Hinweis: Bilde zunächst auf beiden Seiten der Gleichung die Ableitung.

(8 BE)

3.3

Entlang des Stahlbogens verläuft auf einer Seite eine Bahn, mit der man vom Boden bis zur Aussichtsplattform im Scheitelpunkt des Bogens fahren kann.

Bestimme mit Hilfe der oben genannten Formel für $\(L_{a}$ und der Beziehung aus Aufgabe 3.2 die Länge der dabei zurückgelegten Strecke für $\lambda=0,00645.$

(5 BE)

Parameter der Polynomfunktion bestimmen

Der Parameter $x_1$ beschreibt den betrag des $x$ -Werts der Nullstellen des Graphen von $p.$ Da die äußere Bogenspannweite und somit der Abstand der Nullstellen $340 \,\text{LE}$ beträgt und der Bogen symmetrisch zur $y$ -Achse ist, folgen die Nullstellen mit $x=\pm 170.$

Der Parameter $x_1$ ist somit gegeben durch $x_1=170.$

Einsetzen der Koordinaten des Scheitelpunkts in $p(x)$ liefert nun:

Rechenweg anzeigen

$-0,0036 \approx a$

Der Graph, der die Kurve mit den gegebenen Eigenschaften beschreibt, lässt sich also durch die Polynomfunktion $p$ mit $p(x)=-0,0036 \cdot(x-170)\cdot (x+170)$ beschreiben.

Parameter der Kosinusfunktion bestimmen

Da die Amplitude $A$ den größten Abstand der Funktion von der $x$ -Achse darstellt, entpricht der Wert von $A$ dem $y$ -Wert des Scheitelpunkts. Es folgt also $A=103.$

Die Bogenspannweite von $340 \,\text{m}$ entspricht einer halben Periodenlänge, es gilt also $T=2\cdot 340=680.$

Der Graph, der die Kurve mit den gegebenen Eigenschaften beschreibt, lässt sich also durch die Kosinusfunktion $x$ mit $c(x)=103\cdot \cos\left(\dfrac{2\pi}{680}\cdot x\right)$ beschreiben.

2.1

Symmetrie zeigen

$\begin{array}[t]{rll} k(-x)&=& C-\dfrac{1}{2\lambda}\cdot\left(\mathrm e^{\lambda\cdot (-x)}+\mathrm e^{-\lambda\cdot(-x)}\right)&\\[5pt] &=& C-\dfrac{1}{2\lambda}\cdot\left(\mathrm e^{-\lambda\cdot x}+\mathrm e^{\lambda\cdot x}\right) &\\[5pt] &=& C-\dfrac{1}{2\lambda}\cdot\left(\mathrm e^{\lambda\cdot x}+\mathrm e^{-\lambda\cdot x}\right) &\\[5pt] &=& k(x)&\\[5pt] \end{array}$

Da $k(-x)=k(x)$ gilt, ist der Graph von $k$ symmetrisch zur $y$ -Achse.

Bedeutung von $\boldsymbol{C}$ erläutern

Eine Veränderung von $C$ bewirkt eine Veränderung des $y$ -Wertes. $C$ verschiebt den Graphen somit entlang der $y$ -Achse.

2.2

1. Schritt: Ableitungen bestimmen

Es gilt:

$\begin{array}[t]{rll} k(x)&=& C-\dfrac{1}{2\lambda}\cdot\left(\mathrm e^{\lambda\cdot x}+\mathrm e^{-\lambda\cdot x}\right) &\\[5pt] &=& C-\dfrac{1}{2\lambda}\cdot \mathrm e^{\lambda\cdot x} - \dfrac{1}{2\lambda}\cdot \mathrm e^{-\lambda\cdot x} \end{array}$

Mit der Kettenregel ergibt sich nun:

$\( k$

Rechenweg anzeigen

2. Schritt: Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden

Es gilt:

$\(\begin{array}[t]{rll} k$

Daraus folgt $x=0$ .

3. Schritt: $\boldsymbol{y}$ -Koordinate berechnen

$\begin{array}[t]{rll} k(0)&=&C-\dfrac{1}{2\lambda}\cdot\left(\mathrm e^{\lambda\cdot 0}+\mathrm e^{-\lambda\cdot 0}\right) & \\[5pt] &=&C-\dfrac{1}{2\lambda}\cdot2 & \\[5pt] &=&C-\dfrac{1}{\lambda} \end{array}$

Die Koordinaten des Hochpunkts folgen also mit $H\left(0 \,\bigg \vert \, C-\dfrac{1}{\lambda}\right).$

3.1

1. Schritt:

$x_0$ ist die $x$ -Koordinate von $P$ und $\Delta x$ beschreibt die Differenz der $x$ -Werte von $P$ und $Q.$
Der Wert $x_0+\Delta x$ stellt somit die $x$ -Koordinate von $Q$ dar.

Die Länge des Kurvenbogens $\overset{\displaystyle\frown}{PQ}$ ist folglich die Differenz von $\overset{\displaystyle\frown}{AQ}$ und $\overset{\displaystyle\frown}{AP}$ .

Es gilt also:

$\begin{array}[t]{rll} \overset{\displaystyle\frown}{PQ}&=&\overset{\displaystyle\frown}{AQ} -\overset{\displaystyle\frown}{AP}& \\[5pt] &=& L_a(x_0+\Delta x)-L_a(x_0) \end{array}$

2. Schritt:

In diesem Schritt wird die Länge der Strecke von $P$ zu $Q$ berechnet und mit $\overset{\displaystyle\frown}{PQ}$ verglichen.

Es gilt:

$\left|\overline{PQ}\right|=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$ .

Diese Strecke stellt eine Sekante dar und kann maximal so groß wie der Bogen $\overset{\displaystyle\frown}{PQ}$ sein.

Somit gilt:

$\left|\overline{PQ}\right|\leq\overset{\displaystyle\frown}{PQ}$

3. Schritt:

Die Gleichung wir auf beiden Seiten mit $\Delta x$ dividiert:

Rechnung anzeigen

Auf der rechten Seite ergibt sich dadurch der Differenzenquotient der Funktion $L_a.$

3.2

Einsetzen von $\(k$ in den linken Term liefert:

Gleichung anzeigen

Auf beiden Seiten kann nun die Ableitung gebildet werden. Hierbei entspricht die Ableitung eines Integrals der Funktion selbst.

Auflösen der Gleichung liefert nun:

Rechnung anzeigen

Da nun auf beiden Seiten derselbe Ausdruck steht, folgt, dass die Gleichung gilt.

3.3

Die Länge $L_a(x)$ des Stahlbogens kann mit folgender Formel berechnet werden:

$L_a(x)= \dfrac{1}{2\lambda}\cdot\left(\mathrm e^{\lambda\cdot x}-\mathrm e^{-\lambda\cdot x}\right)+C$

Rechenweg anzeigen

Der Scheitelpunkt liegt bei $x=170.$

Einsetzen von $\lambda=0,00645$ und den Intervallgrenzen $x_1=-170$ und $x_2=0$ ergibt:

Rechnung anzeigen

Die Länge der von der Bahn zurückgelegten Strecke beträgt somit etwa $206 \; \text{m}.$