A2 - Analysis

Eine Schokoladenglocke soll mathematisch modelliert werden. Dazu werden an sieben verschiedenen Stellen die Radien der Glocke gemessen. Im Material 1 sind die Messdaten als Punkte eingetragen. Die Punkte liegen auf dem oberen Rand der Querschnittsfläche, die bei einem Querschnitt durch eine Symmetrieebene der Glocke entsteht. Durch Rotation des oberen Randes der Querschnittsfläche um die $x$ -Achse erhält man die Glockenform.
Die Wertetabelle gibt die im Koordinatensystem eingetragenen Punkte an. Eine Einheit entspricht dabei einem Zentimeter.

$x$	$-1,5$	$-1,0$	$-0,5$	$0,0$	$0,5$	$1,0$	$1,5$
$y$	$0,00$	$0,55$	$0,80$	$1,00$	$1,20$	$1,45$	$2,00$

Die Form des oberen Randes der Querschnittsfläche soll in einem ersten Modell anhand der in der Wertetabelle gegebenen Punkte annähernd durch den Graphen einer ganzrationalen Funktion $f$ beschrieben werden.

1.1

Begründe unter Verwendung von Material 1, warum die ganzrationale Funktion $f$ mindestens dritten Grades sein muss.

(4P)

1.2

Bestimme eine ganzrationale Funktion $f$ dritten Grades so, dass ihr Graph durch $(0,5\;|\;1,20)$ und $(1,5\;|\;2,00)$ verläuft und in $(0,0\;|\;1,00)$ einen Wendepunkt besitzt.

(8P)

Die Form des oberen Randes der Querschnittsfläche soll in einem zweiten Modell annähernd durch den Graphen der Funktion $g$ mit $g(x)=0,16x^3+0,34x+1$ beschrieben werden.
Bestimme als Näherungswert für das Volumen der Glocke das Volumen des Rotationskörpers, der durch Rotation des Graphen der Funktion $g$ im Intervall $[-1,5;1,5]$ um die $x$ -Achse entsteht.

(3P)

Die Form des oberen Randes der Querschnittsfläche soll in einem dritten Modell in einer Umgebung von $x=0$ für eine geeignete Wahl des Parameters $t$ näherungsweise durch einen Graphen der Funktionenschar $f_t$ mit $f_t(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{tx}-\mathrm{e}^{-tx}}{5t}+1$ und $t\neq0$ beschrieben werden (Material 2).

3.1

Bestätige, dass für $t=1,183$ der Graph von $f_t$ durch den Punkt $(1,000\;|\;1,500)$ verläuft, wenn man auf drei Nachkommastellen rundet.

(2P)

3.2

Zeige, dass alle Graphen der um eine Einheit in Richtung der negativen $y$ -Achse verschobenen Schar $f_t$ punktsymmetrisch zum Ursprung sind, und stelle dar, was sich hieraus für die Symmetrieeigenschaft der Graphen der Schar $f_t$ ergibt.

(5P)

3.3

Zeige, dass alle Graphen der Schar $f_t$ genau einen Wendepunkt besitzen, und entscheide, ob dort ein Wechsel von einer Rechts- in eine Linskrümmung oder ein Wechsel von einer Links- in eine Recktskrümmung erfolgt.

(7P)

Die Schokoladenglocke soll mit Blattgold verziert werden. Dazu wird eine extrem dünne, essbare Blattgoldfolie benötigt. Das Blattgold soll in einem Streifen von $x_1=0$ bis $x_2=1$ rund um die Glocke aufgetragen werden. Um einen ersten Näherungswert für den Materialbedarf zu erhalten, wird zunächst vereinfachend eine Funktion $k$ betrachtet, deren Graph vom Punkt $(0\;|\;1)$ bis zum Punkt $(1\;|\;1,5)$ geradlinig verläuft und in diesem Intervall um die $x$ -Achse rotiert. Es ergibt sich die Form eines geraden Kegelstumpfs. Als Maß für den Materialbedarf dient der Flächeninhalt der Mantelfläche des Kegelstumpfs.

4.1

Zeige, dass beim Bestimmen des Flächeninhalts der Mantelfläche des Kegelstumpfs, der bei Rotation des Graphen von $k$ für $0\leq x\leq 1$ um die $x$ -Achse entsteht, beide in Material 3 angegebenen Methoden A und B zum gleichen Ergebnis führen.

(7P)

4.2

Bestimme mithilfe der Methode A den Inhalt der mit Blattgold bedeckten Fläche unter Verwendung der Funktion $g(x)=0,16x^3+0,34x+1$ aus Aufgabe 2 und vergleiche das Ergebnis mit dem Ergebnis aus Aufgabe 4.1.

(4P)

Material 1

Abb. 1

Material 2

Graph einer Funktion mit Achsen und einer Kurve, die einen Wert anzeigt.

Abb. 2

Material 3

Methode A:
Lässt man den Graphen einer Funktion $f$ für $x_1 \leq x \leq x_2$ um die $x$ -Achse rotieren, dann lässt sich der Flächeninhalt $M$ der Mantelfläche des Rotationskörpers folgendermaßen mithilfe eines Integrals ermitteln:
$M=2\pi\cdot\displaystyle\int_{x_1}^{x_2} f(x)\sqrt{1+(f‘(x))^2}\;\mathrm dx$ für $f(x)\geq0$

Methode B:
Der Flächeninhalt $M$ der Mantelfläche eines geraden Kreiskegelstumpfs lässt sich mit folgender Formel berechnen:
$M=\pi\cdot(r_1+r_2)\cdot\;s$

Abb. 3

Bildnachweise [nach oben]

[1]

[2]

[3]

1.1

Aus Material 1 ergibt sich: Der Graph der gesuchten ganzrationalen Funktion hat in der Nähe der Stelle $\mathrm{x}_{\mathrm{w}}=0$ einen Wendepunkt. Daher muss die notwendige Bedingung $f^{\prime \prime}\left(x_w\right)=0$ erfüllt sein. Also muss die zweite Ableitung mindestens ersten Grades sein, die erste Ableitung daher mindestens zweiten Grades, also die Funktion selbst mindestens dritten Grades.

1.2

Allgemeinen Funktionsterm einer Funktion dritten Grades aufstellen:

$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$

Aus der Aufgabenstellung resultieren folgende Bedingungen:

$\(\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&f$

Zweite Ableitung von $f$ bilden:

$\(f$

Aus Gleichung $\text{I}$ folgt:

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Aus Gleichung $\text{II}$ folgt nun:

$\begin{array}[t]{rll} f(0)&=&a\cdot0^3+c\cdot0+d &\quad \scriptsize \\[5pt] 1&=&d \end{array}$

Bedingung aus Gleichung $\text{III}$ in den Funktionsterm einsetzten und nach $a$ auflösen:

$\begin{array}[t]{rll} f(0,5)&=&a\cdot0,5^3+c\cdot0,5+1 &\quad \scriptsize \\[5pt] 1,2&=&\dfrac{1}{8}a+0,5c+1 &\quad \scriptsize \mid\;-1 \\[5pt] 0,2&=& \dfrac{1}{8}a+0,5c&\quad \scriptsize \mid\;-0,5c \\[5pt] 0,2-0,5c&=& \dfrac{1}{8}a&\quad \scriptsize \mid\;\cdot8 \\[5pt] 1,6-4c&=&a \end{array}$

Die berechneten Werte $a,b,d$ in den Funktionsterm einsetzen:

Daraus folgt ein Funktionsterm in Abhängigkeit von $c$ :

$f_c(x)=(1,6-4c)x^3 +cx +1$

Nun wird die Bedingung aus Gleichung $\text{IV}$ in den Funktionsterm eingesetzt, um $c$ zu berechnen.

$\begin{array}[t]{rll} f_c(1,5)&=&(1,6-4c)\cdot1,5^3+1,5c+1 &\quad \scriptsize \\[5pt] 2&=&5,4-13,5c+1,5c+1 &\quad \scriptsize \\[5pt] 2&=&6,4-12c &\quad \scriptsize \mid\;-6,4 \\[5pt] -4,4&=&-12c &\quad \scriptsize \mid\;:-12 \\[5pt] \dfrac{11}{30}&=&c \end{array}$

Den Wert für $a$ berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} a&=&1,6-4\cdot\dfrac{11}{30} &\quad \scriptsize \\[5pt] a&=&\dfrac{2}{15} \end{array}$

Daraus folgt: $f(x)=\dfrac{2}{15}x^3 +\dfrac{11}{30}x+1$

Volumenintegral berechnen

Die allgemeine Form des Volumenintegrals bei Rotation um die $x$ -Achse im Intervall $[a; b]$ ist beschrieben durch die Gleichung:

$V(x)=\pi \displaystyle\int_{a}^{b}(f(x))^2\;\mathrm dx$

Den Funktionsterm $g(x)$ und die Grenzen $a=-1,5$ und $b=1,5$ in die Gleichung einsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} V(x)&=&\pi \displaystyle\int_{-1,5}^{1,5}(0,16x^3+0,34x+1)^2\;\mathrm dx \\[5pt] V(x)&=&\pi \displaystyle\int_{-1,5}^{1,5}(0,16^2x^6+2\cdot 0,34\cdot0,16x^4+2\cdot 0,16x^3 + 0,34^2x^2+2\cdot0,34x+1)\;\mathrm dx \\[5pt] V(x)&=&\pi \cdot \left[\dfrac{1}{7}\cdot0,16^2x^7+\dfrac{1}{5}\cdot0,34\cdot 0,32 x^5+0,08x^4+\dfrac{1}{3}\cdot0,34^2x^3+0,34x^2+x\right]_{-1,5}^{1,5}\\[5pt] &\approx& 11,673 \left[\,\text{cm}^3 \right] \end{array}$

3.1

1. Schritt: Funktionsterm von $f_{1,183}(x)$ aufstellen

$f_{1,183}(x)=\dfrac{\mathrm e^{1,183x}-\mathrm e^{-1,183x}}{5,915}$

2. Schritt: $f_{1,183}(1)$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} f_{1,183}(1)&=& \dfrac{\mathrm e^{1,183}-\mathrm e^{-1,183}}{5,915}+1&\quad \scriptsize \\[5pt] &=&1,500049654 &\quad \scriptsize \\[5pt] &\approx&1,5 \end{array}$

3.2

Für eine Funktion, die punktsymmetrisch ist, gilt im Allgemeinen :

$f(-x)=-f(x)$

Funktionsterm der Scharen aufstellen, welche um eine Einheit in Richtung der negativen y-Achse verschoben sind und $-x$ in den Funktionsterm einsetzen:

$g_t(-x)=\dfrac{\mathrm e^{-tx}-\mathrm e ^{tx}}{5t}$

Umformen, bis die Bedingung der Punktsymmetrie gezeigt ist:

$\begin{array}[t]{rll} g_t(-x)&=&\dfrac{\mathrm e ^{-tx}-\mathrm e^{tx}}{5t} \\[5pt] &=& \dfrac{-(-\mathrm e^{-tx})+(-\mathrm e^{tx})}{5t} \\[5pt] &=& \dfrac{(-\mathrm e^{tx})-(-\mathrm e^{-tx})}{5t} \\[5pt] &=& \dfrac{-1\cdot(\mathrm e^{tx} - \mathrm e^{-tx})}{5t} \\[5pt] &=& -\dfrac{\mathrm e^{tx}-\mathrm e^{-tx}}{5t} \\[5pt] &=& -g_t(x) \\[5pt] \end{array}$

Die Graphen der Funktionsschar $f_t$ sind punktsymmetrisch bezüglich des Punktes $(0\mid 1).$

3.3

1. Schritt: Koordinaten des Wendepunktes bestimmen

Die erste und zweite Ableitung bilden:

$\(\begin{array}[t]{rll} f_t$

Die notwendige Bedingung für Wendestellen anwenden:

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Die Gleichung ist erfüllt, wenn gilt: $t^2(\mathrm e^{tx}-\mathrm e^{-tx})=0$ .

Da laut Aufgabenstellung $t^2\neq0$ sein muss, muss Folgendes gelten:

$\begin{array}[t]{rll} \mathrm e^{tx}-\mathrm e^{-tx} &=&0&\quad \scriptsize \mid\ +\mathrm e^{-tx} \\[5pt] \mathrm e^{tx}&=&\mathrm e^{-tx}&\quad \scriptsize \mid\ \ln() \\[5pt] tx&=& -tx \\[5pt] \end{array}$

Es gilt $t\neq 0.$ Daraus folgt: $x=0.$

Mit $f_t(0)=1$ folgen die Koordinaten des Wendepunktes jeder Schar mit $(0\mid 1).$

2. Schritt: Krümmungsverhalten untersuchen

Dritte Ableitung bestimmen:

$\(\begin{array}[t]{rll} f_t$

Steigung an der Wendestelle bestimmen:

$\(\begin{array}[t]{rll} f_t$

Da $t^2\gt0$ ist, gilt: $\(f$

Somit erfolgt im Punkt $(0\mid1)$ ein Wechsel von einer Rechts- in eine Linkskrümmung.

4.1

Um zu zeigen, dass beide Methoden auf das gleiche Ergebnis führen, wird die Flächeninhaltsberechnung mit beiden Methoden durchgeführt und anschließend das Ergebnis verglichen.

1. Schritt: Funktionsgleichung $k(x)$ aufstellen

Die allgemeine Form der Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion ersten Grades lautet

$k(x)=ax+b$

Den Punkt $(0\mid1)$ in die Funktionsgleichung einsetzen und nach $b$ auflösen:

$\begin{array}[t]{rll} && 1&=& a\cdot 0+b \\[5pt] && 1&=& b \\[5pt] \end{array}$

Den Punkt $(1\mid1,5)$ in die Funktionsgleichung einsetzen

$\begin{array}[t]{rll} && 1,5&=& a \cdot 1 +b &\quad\mid \text{setze$ b=1 $ein}\\[5pt] && 1,5&=& a +1 &\quad \mid\ -1\\[5pt] && 0,5&=& a\\[5pt] \end{array}$

Daraus folgt:

$k(x)=0,5x+1$

2. Schritt: Mantelfläche nach Methode A berechnen

$\(M_A=2\pi\cdot\displaystyle\int_0 ^1k(x)\sqrt{1+(k$

Erste Ableitung von $k$ aufstellen:

$\(k$

Mantelfläche $M$ mit Methode A berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} M&=& 2\pi\cdot\displaystyle\int_0 ^1(0,5x+1)\sqrt{1+0,5^2}\;\mathrm dx \\[5pt] &=& 8,781\,[\text{cm}^2] \\[5pt] \end{array}$

3. Schritt: Mantelfläche nach Methode B berechnen

$M=\pi\cdot(r_1+r_2)\cdot\;s$

Abb. 1: Kegelstumpf

Für den Kegelstumpf aus dieser Aufgabe sind die Werte für die beiden Radien die $y$ -Werte der beiden Punkte $(0\mid 1)$ und $(1\mid 1,5)$ .

$\begin{array}[t]{rll} r_1&=& 1\,\text{[cm]} \\[5pt] r_2&=& 1,5\,\text{[cm]}\\[5pt] \end{array}$

Die Länge der Mantellinie $s$ ist gleich dem Abstand der Punkte $(0\mid 1)$ und $(1\mid 1,5)$ .

$\begin{array}[t]{rll} s&=&\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} \\[5pt] &=&\sqrt{(1-0)^2+(1,5-1)^2} \\[5pt] &=&\sqrt{(1)^2+(0,5)^2} \\[5pt] &=&\sqrt{1+0,5^2}\,\text{[cm]} \\[5pt] \end{array}$

$r_1$ , $r_2$ und $s$ in die Gleichung der Methode B einsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} M_B&=&\pi\cdot(1+1,5)\cdot \sqrt{1+0,5^2} \\[5pt] &=&\pi\cdot 2,5\cdot \sqrt{1+0,5^2} \\[5pt] &=& 8,781 \,[\text{cm}^2] \\[5pt] \end{array}$

Daraus folgt: Die Berechnug mit den verschiedenen Methoden führt zum gleichen Ergebnis.

4.2

Mantelfläche bestimmen, indem in die Formel der Methode A $g(x)$ und $\(g$ eingesetzt wird :

Erste Ableitung von $g$ bilden:

$\(g$

$g(x)$ und $\(g$ in die Formel einsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} M&=& 2\pi\cdot\displaystyle\int_{0} ^{1}g(x)\sqrt{1+(g‘(x))^2}\;\mathrm dx\\[5pt] &=& 2\pi\cdot\displaystyle\int_{0} ^{1}(0,16x^3+0,34x+1)\sqrt{1+(3\cdot0,16x^2+0,34)^2}\;\mathrm dx \end{array}$

Durch Berechnung des Integrals mit Hilfe des Taschenrechners wird das Ergebnis $M=8,613\,[\text{cm}^2]$ geliefert.

Das hier berechnete Ergebnis ist also ein um 0,168 geringerer Wert als das Ergebnis aus Aufgabe 4.1.