Wissenschaftler untersuchen auf einer Insel über einen großen Zeitraum hinweg eine Elchpopulation. Die Entwicklung der Anzahl der Elche innerhalb der ersten 50 Jahre ist in Abbildung 1 dargestellt. Im Folgenden wird die Anzahl der Elche in verschiedenen Zeiträumen durch die Funktionen , und modelliert. Dabei bezeichnet die Zeit in Jahren nach Beginn der Untersuchung zum Zeitpunkt jeweils die Anzahl der Elche. Die Graphen der drei Funktionen sind abschnittweise in Abbildung 2 dargestellt.

Zu Beginn der Untersuchung sind 50 Elche vorhanden, nach 18 Jahren 568 Elche. Die Anzahl der Elche wird in den ersten 18 Jahren durch eine Exponentialfunktion mit modelliert. Berechne die Parameter und Begründe, warum die Funktion nicht zur langfristigen Beschreibung der Anzahl der Elche geeignet ist.

Im Intervall soll die Anzahl der Elche durch eine lineare Funktion mit modelliert werden. Beschreibe die Bedeutung der Steigung im Sachzusammenhang.

Ab dem Zeitpunkt wird die Funktion mit zur Modellierung der Anzahl der Elche verwendet.

Untersuche das Grenzwertverhalten von für anhand des Funktionsterms.

Berechne mit Hilfe der Funktion den Zeitpunkt, ab dem die Wachstumsrate höchstens 10 Elche pro Jahr beträgt.

Berechne den Wert des Integrals und deute das Ergebnis im Sachzusammenhang.

Zeige mit Hilfe der Produktregel, dass gilt.

Bestätige unter Bezugnahme auf die Gleichung aus Aufgabe 2.1 nur unter Verwendung der notwendigen Bedingung, dass für die -Koordinate ein Wendepunkt des Graphen von vorliegt, und berechne den zugehörigen Zeitpunkt Beschreibe die Bedeutung von im Sachzusammenhang.

Für alle gilt Gib an, welche Symmetrieeigenschaft des Graphen von man aus dieser Gleichung folgern kann.

50 Jahre nach Beginn der Untersuchung aus Aufgabe 1 ist in einem strengen Winter das Wasser zwischen Festland und Insel teilweise zugefroren, sodass 23 Wölfe auf die Insel gelangen. Die Anzahl der Elche bzw. Wölfe lässt sich in guter Näherung durch die Funktionen bzw. modellieren mit: Hierbei bezeichnet mit die Zeit in Jahren nach Beginn der Untersuchung, bzw. die Anzahl der Elche bzw. Wölfe.

Beschreibe, durch welche geometrischen Operationen der Graph von aus dem Graphen der allgemeinen Sinusfunktion mit hervorgeht. Ermittle die Periodenlänge von sowie die maximale und minimale Anzahl der Wölfe.

Zeige, dass die zweite Ableitungsfunktion und die erste Ableitungsfunktion proportional zueinander sind, dass also gilt , und berechne die Proportionalitätskonstante

Begründe, dass sich an den Stellen, an denen ein Hochpunkt von vorliegt, auch ein Hochpunkt von befindet. Deute diese Aussage im Sachzusammenhang.

Parameter berechnen Gegeben sind die Koordinaten der beiden Punkte und Einsetzen der Koordinaten von in liefert: Mit den Koordinaten von folgt: Begründung Die Exponentialfunktion strebt mit zunehmenden Werten von gegen Unendlich. Ein solch enormes und rasch steigendes Wachstum kann durch verschiedene Umweltfaktoren nicht auftreten, da der Lebensraum, die Lebenszeit sowie die Nahrungsquellen der Elche begrenzt sind.

Die Steigung bedeutet, dass die Anzahl der Elche jedes Jahr um 76 Elche zunimmt.

Für verläuft Somit folgt für den gesamten Funktionsterm:

Kettenregel anwenden: Der Zeitpunkt ab dem die Wachstumsrate höchstens 10 Elche pro Jahr beträgt, ergibt sich aus: Mit Hilfe der Abbildung 2 folgt, dass die Wachstumsrate etwa ab dem 47. Jahr höchstens 10 Elche pro Jahr beträgt.

Mit dem WTR ergibt sich: In den Jahren 32 bis 50 nach Beginn der Untersuchung beträgt die Anzahl der Elche durchschnittlich 1987.

Mit der Produktregel ergibt sich:

-Koordinate des Wendepunktes bestätigen Notwendige Bedingung für Wendestellen: Einsetzen von in Somit liegt für die -Koordinate ein Wendepunkt des Graphen vor. -Koordinate des Wendepunktes berechnen Es gilt: Bedeutung im Sachzusammenhang beschreibt das Jahr nach Beginn der Untersuchung, in welchem die Anzahl der Elche am stärksten zunimmt.

Aus der Gleichung kann die Punktsymmetrie des Graphen zum Punkt gefolgert werden.

Geometrische Operationen beschreiben Der Faktor 10 streckt den Graphen der Sinusfunktion in -Richtung und vergrößert somit die Amplitude um das 10-fache. Der Faktor streckt den Graphen der Sinusfunktion in -Richtung und vergrößert somit die Periodenlänge. Durch Addition von 23 wird der Graph der Sinusfunktion um 23 Einheiten in positive -Richtung verschoben. Periodenlänge berechnen Es gilt: Die Periodenlänge von beträgt somit 25. Maximale und minimale Anzahl ermitteln Da die Sinusfunktion um den Faktor 23 in -Richtung verschoben ist und die Amplitude 10 besitzt, folgt die maximale Anzahl der Wölfe mit und die minimale Anzahl mit

1. Schritt: Ableitungen bestimmen 2. Schritt: Proportionalität nachweisen Somit sind die zweite Ableitungsfunktion und die erste Ableitungsfunktion propotional zueinander mit der Proportionalitätskonstante

Begründung Für die Stellen, an denen ein Hochpunkt von vorliegt, gilt Da proportional zu ist, folgt: Dies entspricht der notwendigen Bedingung für eine Extremstelle bei Aus der Proportionalität von und folgt auch die Proportionalität von und wodurch ebenso die hinreichende Bedingung erfüllt ist. Wegen wird außerdem garantiert, dass sich an den Stellen, an denen sich ein Hochpunkt von befindet, auch ein Hochpunkt und kein Tiefpunkt von befindet. Deutung im Sachzusammenhang In dem Jahr, in dem die Anzahl der Elche maximal ist, nimmt die Wolfspopulation am stärksten zu.