B1 - Analytische Geometrie

Eine Radarstation bewacht die Bewegung eines Flugzeugs. Die Bewegung kann modellhaft in einem kartesischen Koordinatensystem dargestellt werden, dessen $x$ - $y$ -Ebene die Horizontale beschreibt; eine Längeneinheit entspricht einem Kilometer in der Realität. Der Standort der Radarstation wird durch den Punkt $R(18 \mid 0\mid -1)$ beschrieben.
Zu Beginn der Beobachtung um $14.00$ Uhr wird die Position des Flugzeugs durch den Punkt $A(0\mid 0\mid 0)$ beschrieben. Anschließend bewegt sich das Flugzeug im Modell entlang einer Geraden durch den Punkt $B(8\mid 4\mid 1)$ , der die Position um $14.02$ Uhr darstellt. Ab $14.14$ Uhr fliegt das Flugzeug in gleicher Himmelsrichtung horizontal weiter; im Modell bleibt es dabei in der Ebene, die die Punkte $A$ und $B$ enthält und zur $x$ - $y$ -Ebene senkrecht steht. Im Folgenden soll davon ausgegangen werden, dass das Flugzeug von $14.00$ Uhr bis $14.14$ Uhr mit konstanter Geschwindigkeit fliegt.

1.1

Berechne für die Zeit bis $14.14$ Uhr den Steigungswinkel der Flugbahn gegenüber der Horizontalen. Gib die Koordinaten des Punkts an, der die Position des Flugzeugs um $14.10$ Uhr darstellt.

(4 BE)

1.2

Die folgende Abbildung zeigt schematisch die Flugbahn des Flugzeugs sowie die Horizontale. Skizziere die Positionen des Flugzeugs zu den Zeitpunkten $14.02$ Uhr und $14.10$ Uhr in das Material.

(2 BE)

1.3

Ermittle für die Zeit bis $14.14$ Uhr die Geschwindigkeit des Flugzeugs in Kilometer pro Stunde.

(2 BE)

1.4

Gib eine Gleichung der Strecke an, die die Flugbahn von $14.00$ Uhr bis $14.14$ Uhr beschreibt.

(2 BE)

Zu einem bestimmten Zeitpunkt zwischen $14.00$ Uhr und $14.14$ Uhr ist die Entfernung des Flugzeugs von der Radarstation am geringsten. Die bis dahin seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit soll in Minuten bestimmt werden. Dafür werden zwei verschiedene Lösungsansätze $\text{I}$ und $\text{II}$ betrachtet:

$\(\begin{array}{} \text{I}\quad& d(t)&=& \left| \pmatrix{18-8t\\ -4t \\ -1-t}\right| \\[5pt] & &=& \sqrt{81t^2 -286t +325}\\[10pt] &d$

$\begin{array}{} \text{II}\quad& \pmatrix{8\\4\\1}\circ \pmatrix{18-8t\\-4t\\-1-t} = 0 \\ \end{array}$

2.1

Erläutere die beiden Lösungsansätze im Sachzusammenhang.

(4 BE)

2.2

Berechne die geringste Entfernung des Flugzeugs von der Radarstation, indem du einen der beiden Ansätze bis zur Lösung fortsetzt.

(4 BE)

Ist das Flugzeug mehr als $70\,\text{km}$ von der Radarstation entfernt, so kann es von dieser nicht mehr erfasst werden. Die Position, an der das Flugzeug nach $14.14$ Uhr den Erfassungsbereich der Radarstation verlässt, wird im Modell durch einen Punkt dargestellt.
Entwickle einen rechnerischen Ansatz zur Ermittlung der Koordinaten dieses Punkts.

(4 BE)

Das Flugzeug überfliegt eine geneigte Hangfläche, die in der Ebene $E$ mit $E: \; -x+25z = 0$ liegt. Durch das Sonnenlicht wirft das Flugzeug um $14.02$ Uhr einen Schatten auf die Hangfläche. Diese Parallelprojektion wird durch folgende Matrix beschrieben:

$P = \pmatrix{1&0&0\\ -\dfrac{1}{75} & 1&\dfrac{1}{3} \\ \dfrac{1}{25} & 0 & 0}$

4.1

Berechne mithilfe der Matrix $P$ den Schattenpunkt des Flugzeugs um $14.02$ Uhr.

(3 BE)

4.2

Zeige rechnerisch, dass die Ebene $E$ die Fixpunktmenge der durch die Matrix $P$ beschriebenen Abbildung ist.

(5 BE)

1.1

Steigungswinkel berechnen

Die Flugbahn kann als Gerade $g$ modelliert werden, die Horizontale wird durch die $x$ - $y$ -Ebene beschrieben.

Als Richtungsvektor von $g$ ergibt sich:

$\overrightarrow{r} = \overrightarrow{AB} = \pmatrix{8\\4\\1}-\pmatrix{0\\0\\0} = \pmatrix{8\\4\\1}$

Ein Normalenvektor der $x$ - $y$ -Ebene ist $\overrightarrow{n} = \pmatrix{0\\0\\1}$ .

Einsetzen:

Rechenweg anzeigen

$\alpha \approx 6,38^{\circ}$

Der gesuchte Steigungswinkel beträgt ca. $6,38^{\circ}$ .

Koordinaten der Position berechnen

Da das Flugzeug mit konstanter Geschwindigkeit fliegt, legt es bis $14.10$ Uhr das fünffache der Strecke $\overline{AB}$ zurück. Es folgt:

Rechenweg anzeigen

$\overrightarrow{OP} = \pmatrix{40\\20\\5}$

Der Punkt $P(40\mid 20 \mid 5)$ stellt die Position des Flugzeuges um $14.10$ Uhr dar.

1.2

Positionen einzeichnen

Zwischen Anfangs- und Endpunkt der Steigung liegen $14$ Minuten, in denen das Flugzeug, da es mit konstanter Geschwindigkeit fliegt, insgesamt siebenmal die Strecke $\overline{AB}$ zurücklegt. Durch Teilung der Gesamtstrecke in sieben gleichlange Teilstrecken folgt:

1.3

Geschwindigkeit ermitteln

Die Geschwindigkeit des Flugzeuges ist bis $14.14$ Uhr konstant.
Berechnung der Strecke $s=\overline{AB}$ , welche das Flugzeug in den ersten $2$ Minuten zurücklegt:

$\begin{array}[t]{rll} s&=& \overline{AB} \\[5pt] &=& \left|\overrightarrow{AB}\right| \\[5pt] &=& \sqrt{8^2+4^2+1^2} \\[5pt] &=& 9 \, \left[\text{km}\right] \\[5pt] \end{array}$

Ermittlung der Geschwindigkeit $v:$

$\begin{array}[t]{rll} v&=&\dfrac{s}{t} \\[5pt] &=& \dfrac{9\,\text{km}}{2\,\text{min}} \\[5pt] &=&\dfrac{270\,\text{km}}{60\,\text{min}} \\[5pt] &=& \dfrac{270\,\text{km}}{1\,\text{h}} \\[5pt] &=& 270 \,\dfrac{\text{km}}{\text{h}} \end{array}$

Bis $14.14$ Uhr fliegt das Flugzeug mit einer Geschwindigkeit von $270\,\frac{\text{km}}{\text{h}}$ .

1.4

Gleichung angeben

1. Schritt: Geradengleichung aufstellen

$\begin{array}[t]{rll} g: \; \overrightarrow{x}&=& \overrightarrow{OA}+t\cdot \overrightarrow{AB}\\[5pt] \overrightarrow{x}&=&\pmatrix{0\\0\\0}+t\cdot \pmatrix{8\\4\\1}\\[5pt] \overrightarrow{x} &=& t\cdot \pmatrix{8\\4\\1} \end{array}$

2. Schritt: Intervall von t bestimmen

Für $t=0$ wird der Startpunkt $A$ beschrieben und für $t=7$ der Endpunkt um $14.14$ Uhr. Für die Strecke der Flugbahn folgt:

$g: \; \overrightarrow{x} = t\cdot \pmatrix{8\\4\\1},$ $0\leq t\leq 7.$

2.1

Lösungsansatz $\boldsymbol{\text{I}}$ im Sachzusammenhang erläutern

Es handelt sich um den Betrag des Verbindungsvektors zwischen dem Punkt, in dem die Radarstation liegt, und dem allgemeinen Punkt der Geraden $g,$ die die Flugbahn beschreibt. Dieser Vektorbetrag liefert eine Funktion $d$ , die den Abstand des Flugzeugs zur Radarstation in Abhängigkeit von der Zeit $t$ beschreibt. Dieser wird minimal, wenn das notwendige Kriterium für Extremstellen erfüllt ist.

Lösungsansatz $\boldsymbol{\text{II}}$ im Sachzusammenhang erläutern

Hier wird mithilfe des Skalarprodukts des Richtungsvektors der Geraden $g$ und dem Verbindungsvektor zwischen Flugzeug und Radarstation überprüft, ob diese orthogonal sind. Wenn das eintritt, ist der Abstand des Flugzeuges zur Radarstation am geringsten.

2.2

Geringste Entfernung bestimmen

Lösungsweg A: Ansatz $\boldsymbol{\text{I}}$

Gesucht ist der Funktionswertwert am Minimum von $d(t).$

1. Schritt: Ableitungsfunktionen bestimmen

Mithilfe von Ketten- und Produktregel folgt für die Ableitungen von $d(t)=\sqrt{81t^2-286t+325}:$

Rechenweg anzeigen

\begin{array}[t]{rll} d'(t)&=& ... \\[10pt] d''(t)&=& ... \end{array} 

2. Schritt: Notwendiges Kriterium für Extremstellen anwenden

Rechenweg anzeigen

$t = \frac{143}{81}$

3. Schritt: Hinreichendes Kriterium für Extremstellen überprüfen

Rechenweg anzeigen

$\( d$

Der Abstand des Flugzeugs zur Radarstation ist somit bei $t= \frac{143}{81}$ am geringsten.

4. Schritt: Funktionswert berechnen

Rechenweg anzeigen

$d\left(\frac{143}{81}\right) \approx 8,52$

Die geringste Entfernung zwischen Flugzeug und Radarstation beträgt ca. $8,5\,\text{km}$ .

Lösungsweg B: Ansatz $\boldsymbol{\text{II}}$

Gesucht ist der Abstand des Lotfußpunktes auf der Geraden zu dem Punkt $R$ der Radarstation.

1. Schritt: Gleichung nach t auflösen

Rechenweg anzeigen

$t = \frac{143}{81}$

2. Schritt: Lotfußpunkt bestimmen

Durch Einsetzen von $t$ in die Gleichung aus 1.4 folgt für den Lotfußpunkt $P:$

$\overrightarrow{OP}= t\cdot \pmatrix{8\\4\\1}$ $ = \frac{143}{81}\cdot \pmatrix{8\\4\\1} 

= \pmatrix{\frac{1144}{81}\\ \frac{572}{81}\\ \frac{143}{81}}$

3. Schritt: Abstand berechnen

Rechenweg anzeigen

$d \approx 8,5$

Die geringste Entfernung zwischen Flugzeug und Radarstation beträgt ca. $8,5\,\text{km}$ .

1. Schritt: Koordinaten des Punktes bestimmen, in dem sich das Flugzeug um $14.14$ Uhr befindet:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OC}&=&\overrightarrow{OA}+7\cdot \overrightarrow{AB} \\[5pt] &=&\pmatrix{0\\0\\0} + 7\cdot \pmatrix{8\\4\\1}\\[5pt] &=& \pmatrix{56\\ 28 \\ 7} \\[5pt] \end{array}$

Um $14.14$ Uhr befindet sich das Flugzeug an der Position mit den Koordinaten $C(56\mid 28\mid 7)$ .

2. Schritt: Halbgerade aufstellen, die die Flugbahn ab $14.14$ Uhr beschreibt:

Da das Flugzeug seine Höhe ab $14.14$ Uhr nicht mehr ändert, ergibt sich der neue Richtungsvektor aus dem alten, indem $x$ - und $y$ -Koordinaten gleich bleiben und die $z$ -Koordinate Null wird.
Die Halbgerade für die neue Flugbahn lautet damit:

$g_c: \; \overrightarrow{x}= \pmatrix{56\\28\\7} +s\cdot \pmatrix{8\\4\\0}$ mit $s\geq 0$ .

3. Schritt: Abstand der Punkte auf der Halbgeraden zur Radarstation mit 70 gleichsetzen:

Rechenweg anzeigen

$... = 70$

Dies ist eine Möglichkeit für den gesuchten rechnerischen Ansatz.

4.1

Koordinaten des Schattenpunkts berechnen

Um $14.02$ Uhr befindet sich das Flugzeug im Punkt $B$ . Parallelprojektion auf den Schattenpunkt $\(P$ durch Multiplikation mit der Matrix $P$ liefert:

Rechenweg anzeigen

$\( \overrightarrow{OP$

Der Schattenpunkt des Flugzeugs um $14.02$ Uhr hat die Koordinaten $\(P$ $\(\approx P$

4.2

Fixpunktmenge der Matrix nachweisen

Für einen Fixpunkt $\overrightarrow{x}$ einer von der Matrix $P$ beschriebenen Abbildung muss folgende Gleichung erfüllt sein:

$P\cdot \overrightarrow{x} = \overrightarrow{x}$

Durch Ausmultiplizieren folgt:

Rechenweg anzeigen

$\pmatrix{x\\ -\frac{1}{75}x +y+\frac{1}{3} z \\ \frac{1}{25}x}=\pmatrix{x\\y\\z}$

Daraus ergibt sich folgendes lineares Gleichungssystem:

Rechenweg anzeigen

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&x&=& x \\ \text{II}\quad&y&=& ... \\ \text{III}\quad&z&=& ... \end{array}$

Die erste Gleichung ist immer erfüllt. Aus der zweiten und dritten ergibt sich jeweils $0 = -x+25z$ . Alle Fixpunkte der Matrix $P$ müssen somit die Bedingung $0 = -x+25z$ erfüllen. Die Fixpunktemenge wird damit durch die Ebene $E$ mit $E:\; 0 = -x+25z$ beschrieben.