B1 - Analysis

Eine Flasche Wasser wird in einem Kühlschrank auf 8 °C abgekühlt. An einem Sommertag wird diese entnommen und in ein Zimmer mit 30 °C Raumtemperatur gestellt. 10 Minuten später hat sich das Wasser bereits auf 21,9 °C erwärmt. Im Modell wird davon ausgegangen, dass sich die Raumtemperatur nicht verändert.

Der Temperaturverlauf der Erwärmung des Wassers kann durch die Funktion $w$ beschrieben werden mit:

$w(t)=T_R-(T_R-T_0)\cdot \mathrm{e}^{-kt}$

Dabei bedeutet:

$t :$ Zeit in Minuten nach Entnahme aus dem Kühlschrank
$w(t):$ Temperatur des Wassers in °C zum Zeitpunkt $t$
$T_0:$ Temperatur des Wassers in °C zum Zeitpunkt $t=0$
$T_R:$ Raumtemperatur in °C

1.1

Nenne die Werte für die Parameter $T_R$ und $T_0.$
Ermittle auf vier Nachkommastellen gerundet den Wert für den Parameter $k$ und gib die zugehörige Funktionsgleichung $w(t)$ an.

[Zur Kontrolle: $k\approx 0,1$ ]

(4 BE)

Verwende im Folgenden die Funktionsgleichung $w(t)=30-22\cdot \mathrm{e}^{-0,1t}.$

1.2

Berechne, um wie viel Prozent die Temperatur des Wassers in den ersten $10$ Minuten nach Entnahme aus dem Kühlschrank zunimmt.

(2 BE)

1.3

Berechne den Wert des Terms $\dfrac{1}{10}\cdot \int\limits_0^{10}{w(t)dt}$ und deute das Ergebnis im Sachzusammenhang.

(4 BE)

1.4

Begründe mithilfe des Funktionsterms, dass gilt: $\lim\limits_{t\to\infty}{w(t)}=30$

Erläutere diesen Grenzwert im Sachzusammenhang.

(3 BE)

1.5

Berechne, mit welcher Geschwindigkeit sich das Wasser zum Zeitpunkt der Entnahme aus dem Kühlschrank erwärmt, und berechne, wann sich diese Erwärmungsgeschwindigkeit halbiert hat.

Zeige, dass gemäß der Modellierung durch die Funktion $w$ die Erwärmungsgeschwindigkeit im Zeitverlauf abnimmt, jedoch nie null wird.

(9 BE)

1.6

Eine Funktion $f$ beschreibt ein begrenztes Wachstum, wenn die Wachstumsgeschwindigkeit proportional zur Differenz aus Sättigungsgrenze $S$ und dem aktuellen Bestand ist, d.h., wenn $\(f$ gilt.
Zeige unter Verwendung des Kontrollergebnisses für $k$ aus Aufgabe 1.1, dass die Funktion $w$ ein begrenztes Wachstum beschreibt.
Deute den Wert für $k$ im Sachzusammenhang.

(4 BE)

Gegeben ist die Funktionenschar $f_n$ mit $f_n(x)=(x+1)^n \cdot \mathrm{e}^x$ , wobei $n \in \mathbb{N}$ und $n>1$ gilt. Im Material sind zwei ausgewählte Graphen der Schar abgebildet.

2.1

Zeige, dass alle Graphen der Schar dieselbe Nullstelle und den denselben $y$ -Achsenabschnitt besitzen, und gib die Schnittpunkte mit den oordinatenachsen an.

(3 BE)

2.2

Die Graphen von $f_n$ nähern sich für $x\rightarrow - \infty$ der $x$ -Achse an.
Begründe dieses Verhalten anhand des Funktionsterms.

Die beiden im Material abgebildeten Graphen unterscheiden sich bei der Annäherung an die $x$ -Achse.
Erkläre diesen Unterschied anhand des Funktionsterms.

(5 BE)

2.3

Ermittle die Gleichung der Ableitungsfunktion $\(f_n$ und zeige, dass gilt:

$\(f_n$

(4 BE)

2.4

Berechne die möglichen Extremstellen von $f_n.$ Die Untersuchung der notwendigen Bedingung ist hierbei ausreichend.

Gib die Skalierung der Achsen im Material an.
Bestimme für beide Graphen $\text{I}$ und $\text{II}$ im Material die zugehörigen Werte des Parameters $n.$

(6 BE)

2.5

An der Stelle $x=-1$ besitzen die Graphen der Funktionenschar $f_n$ für gerade Werte von $n$ einen Extrempunkt und für ungerade Werte von $n$ einen Sattelpunkt.

Begründe diese Aussage.

Material 1

(6 BE)

1.1

Parameter benennen

Die Parameter $T_R$ und $T_0$ können aus dem Aufgabentext abgelesen werden: Die Raumtemperatur beträgt $T_R=30$ und zu Beginn, also nach Entnahme aus dem Kühlschrank, hat das Wasser die Temperatur $T_0=8$ .

Parameter $k$ bestimmen

Durch Einsetzen von $T_R, \; T_0$ und der Temperatur nach 10 Minuten ergibt sich:

Rechenweg anzeigen

$0,0999\approx k$

Für die Funktionsgleichung gilt somit:

$w(t)=30-22\cdot \mathrm e^{-0,0999k}$

1.2

Das Wasser hat sich in den ersten $10$ Minuten um $21,9-8=13,9$ Grad erwärmt.

Die prozentuale Zunahme folgt mit $\dfrac{13,9}{8}=0,174= 174~\%.$

1.3

Wert des Terms berechnen

$\dfrac{1}{10}\cdot \displaystyle\int\limits_{0}^{10}\left(30-22\cdot \mathrm e^{-0,1t}\right) dt \approx 16,09$

Rechenweg anzeigen

Ergebnis deuten

Das Wasser hatte in den ersten $10$ Minuten eine durchschnittliche Temperatur von $16,09^{\circ}\text{C}.$

1.4

Grenzwert begründen

Da $\lim\limits_{t\to\infty}\mathrm e^{-t}=0$ gilt, muss dies auch für die gesamte Funktion gelten:

$\lim\limits_{t\to\infty}\left(30-22 \cdot \mathrm e^{-0,1t}\right)=30-22\cdot 0 = 30$

Grenzwert erläutern

Im Sachzusammenhang gibt der Grenzwert die Temperatur an, welcher sich das Wasser mit der Zeit annähert. Das Wasser passt sich also der Raumtemperatur an und wird nach genügend langer Zeit näherungsweise $30^{\circ}\text{C}$ annehmen.

1.5

Erwärmungsgeschwindigkeit berechnen

Die Geschwindigkeit, mit welcher sich das Wasser erwärmt, entspricht der ersten Ableitung:

$\(w$

Zum Zeitpunkt der Entnahme beträgt die Erwärmungsgeschwindigkeit somit:

$\(w$

Zeitpunkt der Halbierung berechnen

$\begin{array}[t]{rll} w(t)&=& \dfrac{2,2}{2} & \\[5pt] 2,2\cdot \mathrm e^{-0,1t}&=&1,1 &\quad \scriptsize \mid\; :2,2 \\[5pt] \mathrm e^{-0,1t}&=& 0,5 &\quad \scriptsize \mid\; \ln() \\[5pt] -0,1t &=& \ln(0,5)&\quad \scriptsize \mid\; :(-0,1) \\[5pt] t&\approx& 6,93 \end{array}$

Nach etwa $6,93$ Minuten hat sich die Erwärmungsgeschwindigkeit halbiert.

Erwärmungsverlauf begründen

Aus $\mathrm e^x\gt0$ folgt auch $\(w$ gelten.

Somit wird die Erwärmungsgeschwindigkeit nie kleiner oder gleich null.

Die Ableitung $\(w$ beschreibt die Änderungsrate der Erwärmungsgeschwindigkeit.

Da $\(w$ ist, nimmt $\(w$ streng monoton ab.

Die Erwärmungsgeschwindigkeit nimmt also immer ab, bleibt aber stets positiv.

1.6

Begrenztes Wachstum zeigen

Setze $k=0,1$ , die Schranke $S=30$ und die Funktion $f(t)=w(t)$ in die Gleichung ein:

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Somit beschreibt die Funktion $w$ ein begrenztes Wachstum.

Wert für $k$ deuten

Im Sachzusammenhang beschreibt $k=0,1=10~\%$ die Erwärmungsgeschwindigkeit zu jedem Zeitpunkt mit jeweiliger Temperaturdifferenz zwischen Wasser- und Raumtemperatur. Das Wasser erwärmt sich also immer um $10\,\%$ dieser Temperaturdifferenz.

2.1

Gleichheit der Nullstellen zeigen

$\begin{array}[t]{rll} f_n(x) &=& 0 \\[5pt] (x+1)^n\cdot\mathrm e^x &=& 0 \quad \scriptsize \mid\;:\mathrm e^x\\[5pt] (x+1)^n &=& 0 \\[5pt] \end{array}$

Die Nullstelle folgt mit $x=-1$ und ist somit unabhängig von $n$ .

Gleichheit des $y$ -Achsenabschnitts zeigen

$f_n(0)=1^n\cdot\mathrm e^0=1$

Der $y$ -Achsenabschnitt ist also unabhängig von $n$ .

Somit besitzen alle Graphen der Schar ihre Nullstelle bei $x=-1$ und ihren $y$ -Achsenabschnitt bei $y=1.$

Schnittpunkte angeben

Der Schnittpunkt der Schar mit der $x$ -Achse entspricht den Koordinaten der Nullstelle: $S_x(-1\mid 0)$

Der Schnittpunkt mit der $y$ -Achse folgt direkt aus dem $y$ -Achsenabschnitt: $S_y(0\mid 1)$

2.2

Verhalten für $x\to -\infty$ erklären

Es gilt $\lim\limits_{x\to -\infty}\mathrm e^x=0$ . Da der Faktor $\mathrm e^x$ das Verhalten der Graphen der Funktionenschar für $x\to -\infty$ dominiert, nähern sich die Graphen der $x$ -Achse an.

Unterschied erklären

Ob die Annäherung eines Graphen der Funkionenschar an die $x$ -Achse aus dem zweiten oder aus dem dritten Quadranten erfolgt, hängt vom Vorfaktor $(x+1)^n$ ab.
Für gerade $n$ strebt für $x\to -\infty$ der Faktor $(x+1)^n$ gegen $\infty$ . Somit erfolgt die Annäherung aus dem zweiten Quadranten.
Für ungerade $n$ strebt für $x\to -\infty$ der Faktor $(x+1)^n$ gegen $-\infty$ . Somit erfolgt die Annäherung aus dem dritten Quadranten.